专题03 利用导数研究函数恒成立问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题03 利用导数研究函数恒成立问题  

【考点预测】

1、分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．

一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．

2、直接讨论法

直接讨论法是指但成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过直接求导得到极值点，再对极值点直接讨论，从而求得参数的取值情况．其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法；若无法求得极值时，常可利用零点存在性定理，确定零点的范围后再进行讨论，研究函数的单调性等．

3、放缩法

在解决导数问题时，如果出现了指数与对数、三角与对数、三角与指数，或其它超越函数的组合时，则会因函数结构的复杂使问题的解决变得困难．如果我们利用熟悉的不等式过渡，利用不等式进行放缩，将原函数的复杂结构转化为较为简单的结构，则可提高解题速度，使解题效率大幅度地提高．其主要的放缩手段有以下三种：

（1）利用函数的有界性直接放缩；

（2）对一阶导数进行放缩；

（3）对二阶导数放缩．

【典型例题】

例1．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数.

(1)若，求在点处的切线方程；

(2)若恒成立，求的取值范围.

例2．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数

(1)若，求的极小值；

(2)讨论函数的单调性；

(3)当时，恒成立，求的最大整数值．

例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围．

例4．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)若，求a，b；

(2)若在上恒成立，求的取值范围.

例5．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知函数.

(1)若在上是增函数，求实数的取值范围；

(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

例6．（2023春·湖南衡阳·高二校考开学考试）已知函数．

(1)若恒成立，求a的取值范围；

(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围．

例7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，，其中．

(1)当时，证明：；

(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.

【过关测试】

1．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若对恒成立，求实数的取值范围.

2．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）已知函数在处取得极小值-2.

(1)求实数的值；

(2)若，都有成立，求实数的取值范围.

3．（2023春·天津静海·高二校联考阶段练习）已知函数.

(1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值及函数的单调性；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

4．（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知，

(1)讨论的单调性；

(2)当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数）

5．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知函数.

(1)当时，求的最值；

(2)当时，恒成立.求实数的取值范围.

6．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校考阶段练习）已知函数（其中，为自然对数的底数）．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围．

7．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）设函数．

(1)求的单调区间；

(2)若，为整数，且当时，，求的最大值．

8．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数

(1)当时，求证恒成立：

(2)讨论的单调性：

(3)当时，求证：恒成立．

9．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知函数．

(1)若，求函数的极值；

(2)当时，若对，恒成立，求的最小值．

10．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数．

(1)求的单调区间：

(2)若有两个零点，求a的取值范围；

(3)当时，，求a的取值范围．

11．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）已知函数，．

(1)求的极值；

(2)令，若，求a的取值范围．

12．（2023·全国·高二专题练习）函数，.

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

13．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围.

14．（2023春·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）已知函数．

(1)若函数在处有极值，求函数的解析式；

(2)若时，恒成立，求实数m的取值范围．

15．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围.

16．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数

(1)若对任意恒成立，求实数的取值范围;

(2)若函数 有两个极值点为，且， 若恒成立，求实数的取值范围.

17．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

18．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数.

(1)若在点处的切线过点，求的值；

(2)当时，恒成立，求整数的最大值.

19．（2023春·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）已知函数

(1)当时，证明：

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

20．（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知函数．

(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；

(2)若，恒成立，求正整数的值．