专题06 极值点偏移问题与拐点偏移问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题06 极值点偏移问题与拐点偏移问题
【考点预测】
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．

图1极值点不偏移图2极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0．
（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令．
（3）判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
（4）比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
（5）转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
3、应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题．
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．
【典型例题】
例1．（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
例2．（2023春·山东威海·高二校考阶段练习）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.
【解析】（1），.
①当时，恒成立，单调递增；
②当时，由得，，单调递增，
由得，，单调递减.
综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）∵在上有两个不相等的零点，，不妨设，
∴在上有两个不相等的实根，
令，，∴，
由得，，单调递减，由得，，单调递增，
，，，，
∴
要证，即证，又∵，
只要证，即证，
∵，即证
即证，即证，即证
令，，∴，
令，，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，∴，∴，∴
∴在上递增，∴，∴
∴.
例3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上有两个极值点、．
①求实数的取值范围；
②求证：．
【解析】（1），
令，，
因为，所以当时，，单调递减，
所以当时，，单调递增，所以，
所以当时，，当时，，
因此，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）（i），
要使在上有两个极值点、，
则在上有两个不同的零点，
①时，由（1）知，，
令，故，
所以在上为增函数，所以，故，
故在上无零点，舍；
②当时，，，，
则在上单调递减，故最多只有一个零点，不合题意，舍去；
③当时，，
当时，；当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即要使，解得.
综上所述，的取值范围为；
（ii）由（i）知，，，
先证不等式，其中，
即证，即，
令，即证，
构造函数，则，
所以，函数在区间上单调递减，故，
由已知可得，故，
所以，则，所以，，
因此，.
例4．（2023·江苏·高二专题练习）已知定义在上的函数．
（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；
（2）若，，，为的极小值，求证：．
【解析】（1）由得：．
为上的增函数，在上恒成立，
即，
令，则，
在上单调递减，，即，
，即实数的取值范围为.
（2）当时，，则，
，在上单调递增，
又，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，则为的极小值.
设，，，，
设，
，．
，，又，，
在上单调递增，
，
，在上单调递增，
，

，，，
又在上单调递减，，即.
例5．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，．
（1）若在定义域内是减函数，求的最小值；
（2）若有两个极值点分别是，，证明：．
【解析】（1）定义域为，，
在定义域内是减函数，在上恒成立，
即，，
令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：，
的最小值为.
（2）由（1）知：若有两个极值点，则；
令，则，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则；
令，
则，
在上单调递增，，
，即，
又，，
，，
又，在上单调递增，
，即.
例6．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．
【解析】（1）定义域为，，
令，解得：或，
当时，；当时，；
的单调递增区间为和，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为.
（2）由（1）知：，，．
令，，
则；
令，则；
令，则，
在上恒成立，在上单调递增，
，
在上恒成立，在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，，
对任意恒成立．
，，又，，
在上单调递增，，，即；
令，，
则；
在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，
，对任意恒成立．
，．又，，
在上单调递增，且，，；
由得：，，.
例7．（2023·陕西安康·统考二模）已知函数，（e为自然对数的底数）
(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；
(2)若，方程有两个根，（），求证：．
【解析】（1）当时，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，故切线斜率为1，则切线方程为.
又，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，又切线斜率为1，则
；
（2）当时，，
则由题可得有两个根，
令，则可得方程有两个根，
则.令，，则，
.注意到，
则构造函数，.
因，则在上单调递增，得
.
故命题得证.
例8．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数
(1)若时，求的最值；
(2)若函数，且为的两个极值点，证明：
【解析】（1），，，，
所以当单调递减；单调递增.
所以在处有唯一极小值，即最小值，为，无极大值，即无最大值.
（2）证明：，令
因为，所以单调递减；单调递增，所以.
因为为的两个极值点，所以，且.
所以在、，，单调递增；在，，单调递减；
因为，则，则，
设，则，
所以在单调递减，所以，
所以，因为在，单调递减，所以.
所以要证，只需证，即，
令，
令.
所以在单调递增，，
所以在单调递增，，
所以，即.
【过关测试】
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
【解析】（1），
该方程有两个不等实根，由，
所以直线与函数的图象有两个不同交点，
由，
当时，单调递减，
当时，单调递增，因此，
当时，，当，，
如下图所示：

所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；
（2）因为是函数的两个极值点，
所以，由（1）可知：，不妨设，
要证明，只需证明，显然，
由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，
而，所以证明即可，
即证明函数在时恒成立，
由，
显然当时，，因此函数单调递减，
所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.
2．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最大值；
(2)设函数有两个零点，证明：．
【解析】（1）函数的定义域是.
当时，恒成立，故在上单调递增，无最大值；
当时，令，得；令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
．
（2），
因为为的两个零点，
所以，不妨设．
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又证明等价于证明，
又因为在上单调递增，
因此证明原不等式等价于证明，即要证明，
即要证明，
即恒成立．
令，
则，
所以在上为减函数，
所以，
即在时恒成立，
因此不等式恒成立，
即．
3．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数（）．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，（），求证：．
【解析】（1）由已知，的定义域为，，
①当时，，恒成立，
∴此时在区间上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）若函数有两个零点，（），
则由（1）知，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
当时，，当时，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需证明，即有.
下面证明，
设
，，
设，则，
令，解得，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
∴，在区间上单调递增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命题得证.
4．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实数根，证明：．
【解析】（1）函数的定义域为：

当时，，的单调递增区间为
当时，当时，，的单调递增区间为；
           当时，，的单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为方程存在两个不同的实数解，
因此不为单调函数，所以，
令，则的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值，
，令，，
，
在上单调递增，且，
当时，，
，，

，
的单调递增区间为，、
，.
5．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数.
(1)若有两个零点，的取值范围；
(2)若方程有两个实根、，且，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为.
当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，
由可得，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，由可得，列表如下：









增
极大值
减
所以，函数的极大值为，如下图所示：

且当时，，
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
（2）证明：因为，则，
令，其中，则有，
，所以，函数在上单调递增，
因为方程有两个实根、，令，，
则关于的方程也有两个实根、，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，所以，，整理可得，
不妨设，即证，即证，
令，即证，其中，
构造函数，其中，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
6．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知函数．
(1)证明：若，则；
(2)证明：若有两个零点，，则．
【解析】（1）因为定义域为，所以等价于．
设，则，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
故．
因为，所以，于是．
（2）不妨设，由（1）可知，也是的两个零点，且，，于是，由于在单调递减，故等价于．
而，故等价于．①
设，则①式为．
因为．
设，
当时，，故在单调递增，
所以，从而，因此在单调递增．
又，故，故，于是．
7．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，
时，恒成立，所以在上单调递减；
时，令得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：时，由（1）知至多有一个零点.
时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，
又，
由（1）知在上有一个零点.
又，
由（1）知在有一个零点，
所以在上有两个零点，的取值范围为
不妨设，则，且，
令

，
则，
由于（且仅当等号成立，
所以当时，在单调递减，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上单调递增，
所以即.
8．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数，且
(1)求实数的值
(2)若关于的方程有个不同的实数根，，求证：．
【解析】（1）因为，所以
设，则．
当时，，所以单调递增，
所以，不满足题意．
当时，在区间上单调递增，
所以，不满足题意．
当时，在区间上单调递减，
所以，不满足题意．
当时，在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，
所以，所以
综上可知：．
（2）因为，所以，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以．
要证，即证．
因为，，所以即证，
因为，所以即证
设，
则，
所以在区间上单调递减，所以．
综上可知，原命题得证．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，都有，求实数的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.
【解析】（1）函数的定义域为，.
①当时，令，即，解得：.
令，解得：；令，解得：；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
②当时，则，所以函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
（2）当时，都有，即，
亦即对恒成立.
令，只需.
.
令，则，所以当时，，
所以在上单增，所以，
所以当时，.
所以，所以在上单减，
所以.
所以.
综上所述：实数的取值范围为.
（3）可化为：.
令，上式即为.
由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减，
则为的两根，其中.
不妨设，要证，只需，即，
只需证.
令.
则
当时，；当时，.
由零点存在定理可得：存在，使得.
当时，，单增；当时，，单减；
又，所以.
.
因为， ，
所以.
所以恒成立.
所以.
所以.
所以
即证.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若存在，，使得，则．
【解析】（1），，令，解得，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，要使，则有，而，故，
所以的取值范围为．
（2）证明：当时，由（1）知，当时，单调递增；
当时，单调递减，
设，所以，，
①若，则，成立；
②若，先证，此时，
要证，即证，即，，
令，，

，
所以在(1,2)上单调递增，所以，
即，，所以，
因为，，所以，
即．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，其极小值为-4.
(1)求的值；
(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.
【解析】（1）因为，所以.
当时，，
所以单调递增，没有极值，舍去.
当时，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以当时，的极小值为，舍去
当时，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以当时，的极小值为.
所以.
（2）由（1）知，在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
在区间上，，单调递增，
所以不妨设.
下面先证.
即证，因为，所以，
又因为区间上，单调递减，
只要证，又因为，
只要证，只要证.
设，
则，
所以单调递增，
所以，所以.
下面证.
设，因为，
在区间上，；在区间上，.
设，，因为，
所以，所以.
设，，因为，
所以，所以.
因为，所以，
所以.
12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知函数有两个极值点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
【解析】（1）由于，则.
设，则，令，解得.
所以当时，；当时，，所以
①当时，，所以函数在上单调递增，没有极值点.
②当时，，，
此时，有两个零点、，不妨设，则,
所以函数有2个极值点时，的范围时.
（2）由（1）知，、为的两个实数根，不妨设，则，
在上单调递减.
下面先证，只需证.
由于，所以，
所以.
设，则，
所以在上单调递减，所以，，
所以.
由于函数在上单调递减，所以.
要证，只需证，即证.
设函数,则.
设，则,
所以在上单调递增，，即.
所以在上单调递增，.
故当时，,则,
所以,即
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求函数单调区间；
(2)设函数，若是函数的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：．
【解析】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为.
（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；
由（1）知：，又，
在的图象如下图所示，

由图象可知：，，即的取值范围为.
②不妨设，由①知：，
，，
在上单调递增，在上单调递减；
设，则，
在上单调递减，，，
又，，又，；
，，在上单调递增，
，则.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，．
(1)若在x＝0处的切线与在x＝1处的切线相同，求实数a的值；
(2)令，直线y＝m与函数的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，证明：．
【解析】（1），．，，1－a＝a－1，a＝1．
检验a＝1时两个函数切线方程都是y＝1．
（2），x＞0，令，则，
∴在递增，，，
因为函数连续不间断，所以存在唯一实数，
，，从而在递减，递增．
不妨设，则，
当时，．
当，则，，在递增，
，
令，，
令，，
令，，
，在递减，
因为，，，在递增，
，所以在递减，
所以，
即，即，
因为，，在递增，
所以，所以．综上可得，．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求在上的最小值.
(2)设，若有两个零点，证明：.
【解析】（1），
令，，
则当时，恒成立，在上单调递增，；
又当时，，，在上单调递增，
.
（2）由题意得：，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
有两个零点，，；
要证，只需证，
又，，在上单调递减，只需证，
又，只需证，
即证：；
设，则，
在上单调递增，，
；
由（1）知：，成立，
综上所述：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)证明：.
(2)若函数，若存在使，证明：.
【解析】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在递增，在递减，则，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在递增，在递减.
又∵，，，，且，.
要证，即证.
∵，∴，
又∵，∴只证即可.
令，，
恒成立，
∴在单调递增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
17．（2023秋·江苏南京·高三南京市中华中学校考阶段练习）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
【解析】（1）  
当时，， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减；
当时，， 所以单调递减；， 所以单调递增；
（2）证明：
， ∴ ，
即当时，
由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令
要证，即证：
①当时，成立；
②当时
先证
此时  
要证，即证：，即，即
即： ①
令 ，
∴
∴在区间上单调递增
∴，∴①式得证.
∴
∵，
∴  ∴   ∴
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
【解析】（1）∵， ，∴，
设 ，，
当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，与已知矛盾．
当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；
综上，取值范围是．
（2）证明：当时，，当，，当，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
不妨设，则，要证，只需证，
∵在区间上单调递增，∴只需证，
∵，∴只需证．
设，则，
∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，
∴．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设是两个不相等的实数，且．求证：
【解析】（1）当时，，
因为，所以，即，不符合题意；          
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．          
所以．          
由恒成立可知，所以．          
又因为，所以的取值范围为．
（2）因为，所以，即．
令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．          
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
不妨设，则．
设，          
则，
所以在上单调递增，          
所以，即在区间上恒成立．
因为，所以．          
因为，所以．          
又因为，，且在区间上单调递增，
所以，即．