专题09 排列组合常用技巧与归纳-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题09 排列组合常用技巧与归纳
【考点预测】
1、求解有限制条件排列问题的主要方法
直
接
法
分类法
选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数
分步法
选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
除法
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列
间接法
对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法
2、两类含有附加条件的组合问题的解法
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．
3、分组问题的求解策略
（1）对不同元素的分配问题．
①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数．
②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
（2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
4、常用类型归纳：
（1）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）
（2）相邻问题捆绑法
（3）相离问题插空法
（4）定序问题除序（去重复）、空位、插入法
（5）平均分组问题倍除法（去重复法）
（6）元素相同问题隔板法
（7）正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）
（8）重排问题求幂法
（9）环（圆）排问题直排法
（10）多排问题单排法
（11）排列组合混合问题先选后排法
（12）小集团问题先整体后局部法
（13）含约束条件问题合理分类与分步法
（14）简单问题实际操作穷举法
（15）数字排序问题查字典法
（16）复杂问题分解与合成法
（17）复杂问题转化归结法（化归法）
（18）复杂分类问题表格法
（19）运算困难问题树图法
（20）不易理解问题构造模型法
【典型例题】
例1．（2023春·山东枣庄·高二枣庄八中校考阶段练习）体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（    ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．16种
【答案】B
【解析】首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，这样就剩三个足球了，这三个足球随便放置，
下面是一个分类计数问题，
第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；
第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置排列，有种结果；
第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果，
综上可知共有种结果.
故选：B.
例2．（2023春·高二课时练习）在一次抗洪救灾中，甲、乙、丙、丁4名党员被安排到A，B，C三个村，参与抗洪救灾任务，每个村至少安排1名党员，且甲不能安排到A村，则不同的分配方案种数为（    ）
A．12 B．14 C．24 D．28
【答案】C
【解析】因为4名党员被安排到A，B，C三个村，每个村至少安排1名党员,
所以必须有2人一组，
分两类，第一类，甲在两人组，取1人与甲一组有种，分配到村，有种安排方法，其余2人分配到剩余2个村有种，由分步乘法计数原理可得种；
第二类，甲在1人组，先分配到B，C其中一个村，有种安排方法，再把剩余的人分成两组有种，分配到剩余2个村，有种分配方法，由分步乘法计数原理可得种，
根据分类加法计数原理可得，
故选：C
例3．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）书架上已有《诗经》、《西游记》、《菜根谭》、《呐喊》、《文化苦旅》五本书，现欲将《围城》、《骆驼祥子》、《四世同堂》三本书放回到书架上，要求不打乱原有五本书的顺序，且《骆驼祥子》和《四世同堂》必须相邻，则不同的放法共有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】分以下两种情况讨论：
（1）《围城》与《骆驼祥子》、《四世同堂》这两本书不相邻，
将《骆驼祥子》和《四世同堂》捆绑，形成一个“大元素”，
然后将“大元素”与《围城》插入由《诗经》、《西游记》、《菜根谭》、《呐喊》、《文化苦旅》五本书所形成的个空位中的个，
由捆绑法结合插空法可知，不同的放法种数为种；
（2）《围城》与《骆驼祥子》相邻且《四世同堂》与《围城》或《骆驼祥子》相邻，
将《骆驼祥子》和《四世同堂》捆绑，然后《四世同堂》放在《骆驼祥子》或《四世同堂》旁边（相邻），
然后将这三本书形成的“大元素”插入五本书所形成的个空位中的个，
此时，不同的放法种数为.
由分类加法计数原理可知，不同的放法种数为种.
故选：D.
例4．（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）4名同学参加跑步、跳远、跳高三个项目，每人限报1项，共有（  ）种报名方法.
A．64种 B．81种 C．32种 D．12种
【答案】B
【解析】每名同学有3种选法，根据分步乘法原理得共有种报名方法.
故选：B
例5．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，成功将中国空间站建设完毕.如果空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，三舱中每舱至少有1人且甲、乙不在同一个舱，则不同的安排方法有（　　）
A．36种 B．30种 C．33种 D．66种
【答案】B
【解析】根据题意可知，可将4人先分成三组共有种，
其中甲、乙在同一组有1种可能，所以符合题意的分组共有5种，
再将三组人员分配到不同的舱，共有种.
故选：B
例6．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）某公园有如图所示至共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（    ）








A．168 B．336 C．338 D．84
【答案】B
【解析】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有种，
第二步：排女生，若男生选，则女生有共7种选择， 由于女生可以互换，故女生的排法有种，
根据分步计数原理，共有种，
故选：B
例7．（2023·江苏·高二专题练习）如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6，24，2013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（    ）
A．50 B．51 C．52 D．53
【答案】B
【解析】本题可以把数归为“四位数”(含0006等)，
因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，
第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；
第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，
第二类可分为：2 004，共1个
故2 013为第28+21+1+1=51个数，故n＝51.
故选：B.
例8．（2023·全国·高二专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（    ）.
A．105种 B．225种 C．315种 D．420种
【答案】C
【解析】如图所示，以A为钝角顶点，在直径的左边取点，右边依次取，得到6个钝角三角形，当取时，△为锐角三角形；
同理，直径的左边取点，右边依次取，得到5个钝角三角形，当取，时，△、△为锐角三角形；
……
在直径的左边取点时，得到一个钝角△，
在直径的左边取点时，没有钝角三角形.
故以A为钝角顶点的三角形共有（个）.
以其余14个点为钝角顶点的三角形也各有21个，
所以总共有（个）钝角三角形.

故选：C
例9．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同.若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ）

A．720种 B．780种 C．600种 D．660种
【答案】B
【解析】先涂点数为2的区域，有5种选择；再涂点数为4的区域，有4种选择；再涂点数为6的区域，有3种选择.当点数为6的对面区域与点数为6的区域涂的颜色不同时，有两种情况，剩下的区域分两种情况讨论：第一种情况，点数为4的对面区域与点数为4的区域涂的颜色不同，则剩下的一个区域只有1种选择；第二种情况，点数为4的对面区域与点数为4的区域涂的颜色相同，则剩下的一个区域有2种选择.当点数为6的对面区域与点数为6的区域涂的颜色相同时，分两种情况讨论：第一种情况，点数为4的对面区域与点数为4的区域涂的颜色不同，有2种选择，则剩下的一个区域也有2种选择；第二种情况，点数为4的对面区域与点数为4的区域涂的颜色相同，则剩下的一个区域有3种选择.故不同的涂色方案有种.
故选：B
例10．（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）小明的弟弟喜欢玩黏土，现在有4种颜色的黏土，小明的弟弟想要在如图所示圆盘（分为5个区域）上填入黏土，要求每个区域只能填入一种颜色的黏土，且相邻区域不得使用同一种颜色的黏土，则不同的填入方法共有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】C
【解析】由题意知，可分2种情况讨论：
（1）选用3种颜色时，必须是区域2、4同色，区域3、5同色与区域1全排列填入方法有：种，
（2）选用4种颜色时，区域2、4同色或区域3、5同色的填入方法有：种，
所以不同的填入方法有种.
故选：C.
例11．（2023·上海·高二专题练习）正整数2022有______个不同的正约数．
【答案】
【解析】因为，
故所有的正约数有：个.
故答案为：.
例12．（2023·全国·高二专题练习）若正边形有条对角线，则的值为___________.
【答案】
【解析】正边形有个顶点，
共可连接个连线，
故对角线为，
即，
所以或（舍）.
故答案为：
例13．（2023·全国·高二专题练习）五个不同的点最多可以连成线段的条数为_____________.
【答案】10
【解析】五个不同的点，没有共线的三个点，任取两个点即可连成一条线段，最多可以连成线段的条数为条.
故答案为：10.
例14．（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）将4个不同的小球分成3组，每组至少一个，共有______种分法.
【答案】6
【解析】将4个不同的小球分成3组，每组至少一个，即将4个元素分为三堆，满足条件的分法有种，
故答案为：6.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高二专题练习）在某国际级乒乓球比赛中，组委会将来自中国、英国、瑞典的6名乒乓球裁判（其中每个国家各两名）安排到某个比赛场馆的一号二号和三号场地进行裁判工作，要求每个场地都有两名裁判，且这两名裁判来自不同的国家，则不同的安排方案有_____种.
A．96种 B．90种 C．48种 D．24种
【答案】C
【解析】由题意第一步先确定去一号场地的两名裁判，方法有种，
第二步确定去二号场地的两名裁判，方法有种，余下的两名去三号场地，
因此不同的安排方案有种,
故选：C
2．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（    ）
A．216 B．288
C．432 D．512
【答案】C
【解析】求不同的排法种数这件事需要5步：
先排3位妈妈，有种方法；
把这位爸爸与2位男宝宝按爸爸在2位男宝宝之间，视为一个整体插入3位妈妈排列形成的中间2个间隙，有种方法；
下面分为两类：①再任取2位女宝宝排在2位没有宝宝的妈妈间，有种方法；
然后把余下的女宝宝排在男宝宝与妈妈的2个间隙中，有种方法；
最后排2位男宝宝，有种方法，
由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；
②再任取2位女宝宝排在男宝宝和妈妈间，有种方法；
然后把余下的女宝宝排在没有宝宝的妈妈中间，有种方法；
最后排2位男宝宝，有种方法，
由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；
所以不同的排法共有种.
故选：C
3．（2023春·河北衡水·高二校考阶段练习）学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种
故选：D
4．（2023·高二单元测试）小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（    ）
A．28种 B．32种 C．34种 D．40种
【答案】C
【解析】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种；
②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种；
③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种；
④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种；
⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，
共计34种．
故选：C．
5．（2023春·吉林长春·高二长春市实验中学校考开学考试）某校选派4名党员干部．下沉到两个街道社区做志愿服务，每名党员只能选择去一个社区，每个社区里至少要有一名该校党员，则不同的安排方法共有（    ）
A．10种 B．14种 C．16种 D．20种
【答案】B
【解析】先将4名党员干部分为组，有两种分组方法，一组人数为，一组人数为，
人数为的分组分到个社区有种方法；
人数为的分组分到个社区有种方法；
故不同的安排方法共有为种.
故选：B.
6．（2023春·全国·高二专题练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（    ）
A．64 B．56 C．53 D．51
【答案】C
【解析】由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0，
从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式，
其中，，，，，重复了4次，
所以得到不同对数值的个数为.
故选：C
7．（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（    ）
A．95 B．91 C．88 D．75
【答案】B
【解析】由题设，直线分别交x、y轴于、，

以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线上的整数点有、、、、、，共6个，
所以，矩形对角线两侧的三角形中整点的个数为个，
综上，△中整点的个数为个.
故选：B
8．（2023·全国·高二专题练习）凸八边形的对角线有（   ）条
A．20 B．28 C．48 D．56
【答案】A
【解析】凸八边形过每一个顶点有5条对角线，故共有条
故选：A
9．（2023·全国·高二专题练习）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（    ）
A．18 B．30 C．36 D．54
【答案】C
【解析】如图，分以下几类：
棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对；
棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对；
侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
所以共有对.
故选：C.

10．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成（    ）个三位偶数
A．30 B．24 C．18 D．36
【答案】A
【解析】当个位为0时，先从1,2,3,4中选出两个数字排列在百位和十位，共有种方法；
当个位为2或4时，先从2, 4中选出1个数字排列在个位，有种方法，再从剩下的3个非0数字中选一个排在百位，有种方法，最后从剩下的3个数字中选一个排在十位，有种方法，共有种方法.
综合得能组成个三位偶数.
故选：A
11．（2023春·吉林·高二东北师大附中校考阶段练习）用、、、、五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，末位数字为或，首位数字有种选择，则中间的数位有种选择，
由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为.
故选：A.
12．（2023春·重庆江北·高二字水中学校考阶段练习）从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（    ）
A．60 B．80 C．100 D．120
【答案】C
【解析】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数，
百位上的数字有除0外的5种选法，
十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法，
个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法，
所以总共有种不同的三位数，
故选：C
13．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有（    ）种

A．24 B．72 C．120 D．144
【答案】C
【解析】第一类：若区域6与区域4相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域3有2种方法，涂区域2有1种方法，
则不同的涂色方案有种；
第二类：若区域6与区域4不相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域6有1种方法，
再分类，若区域6与区域3相同，涂区域2有2种方法；若区域6与区域3不相同，涂区域3，2有1种方法；
则不同的涂色方案有种；
根据分类计数原理，不同的涂色方案有种.
故选：C.
14．（2023春·安徽六安·高二校考阶段练习）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ）

A．72 B．56 C．48 D．36
【答案】C
【解析】将四个区域标记为，如下图所示：
第一步涂：种涂法，
第二步涂：种涂法，
第三步涂：种涂法，
第四步涂：种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，

故选：.
15．（2023春·广东惠州·高二惠州一中校考阶段练习）用红､黄､蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（    ）

A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】C
【解析】设六个圆的序号依次为1，2，3，4，5，6，
可知1，2共有种涂色方法，则有：
若3与1的颜色相同，则5必须与2的颜色相同，此时只有1种涂色方法；
若3与1的颜色不相同，即3的颜色与1，2均不相同，则4，5，6的颜色均不相同，共有种涂色方法；
故不同的涂色方案的种数是.
故选：C.
16．（2023·全国·高二专题练习）据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当."算筹计数法有纵､横两种形式，如图为纵式计数形式，一竖表示1个单位，一横表示5个单位，例如三竖一横表示8.

现从上图中选择三个数构成等比数列，则能构成等比数列的组合中所有数的纵式计数形式中共有横数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】正整数1~9中能构成等比数列的三个数一共有四组，分别是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9.
其中只有6，8，9的纵式计数形式中各有1横，所以共有4横
故选：D
17．（2023·全国·高二专题练习）有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为
A．24 B．14 C．10 D．9
【答案】B
【解析】由题意可得，不同的选择方式.
故选：B.
18．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818，若用欧拉数的前6位数字2，7，1，8，2，8设置一个6位数的密码，则不同的密码有（    ）个
A．180 B．240 C．360 D．720
【答案】A
【解析】∵因为2出现2次，8出现2次，
∴不同的密码有个.
故选：A.
19．（2023春·北京大兴·高二校考阶段练习）直线的斜率大于零，且互不相同，那么这样的不重合直线的条数是（    ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【解析】因为直线的斜率大于零，
所以且，则，不妨设，
当时，有种选法，有两种选法，
因为直线和直线重合，
所以这样的直线有种，
当时，则有种选法，有种选法，且其中任意两条直线都不重合，
所以这样的直线有种，
当时，则有种选法，有种选法，且其中任意两条直线都不重合，
所以这样的直线有种，
综上所述，符合题意的直线有种.
故选：A.
20．（2023春·河北邢台·高二邢台一中校考阶段练习）8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从8人中任取3人有种，
3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，所以有种，
所以不同调换方式有种.
故选：C.
21．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）某高校有4名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种类为（    ）
A．12 B．18 C．24 D．144
【答案】C
【解析】由题意，
4名志愿者参加社区志愿工作，每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，
∴值班当天不同的排班种类为：
故选：C.
22．（2023春·北京·高二北京市第一六六中学校考阶段练习）某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（    ）
A．78 B．24 C．21 D．18
【答案】D
【解析】由题意得多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，
则多人多足有3种安排方法，
将踢毽、跳绳、推火车、安排在剩下的3个位置，有种安排方法，
所以共有种安排方法，
故选：D
23．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而数学老师因故不能上第二节和第四节，则不同排课方案的种数是（    ）
A．24 B．22 C．20 D．12
【答案】D
【解析】因为数学教师因故不能上第二节和第四节课，
所以先排数学老师的课，共有种排课方案，
然后再排剩下三位老师的课，共有种排课方案，
由分步计数乘法原理可得共有种排课方案，
故选：.
24．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有（    ）
A．48种 B．60种 C．72种 D．96种
【答案】B
【解析】分三类讨论：
（1）当数学排在第一二节，则语文、英语、体育和物理任选三科排在
第三四五节即可，共有种方法；
（2）当数学排在第三四节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节，
再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二五节即可.共有种方法；
（3）当数学排在第四五节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节，
再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二三节即可.共有种方法；
则符合要求的方法总数为
故选：B
25．（2023春·湖北黄冈·高二浠水县第一中学校考期中）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舲中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（    ）
A．72种 B．90种 C．360种 D．540种
【答案】B
【解析】先把6名航天员分成三组，每组2人，有种方法；
再把这三组分配到三舱中，每舱一组有种方法.
所以名航天员的安排方案共有种.
故选：B.
26．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）甲乙等5位同学去三个兴趣小组，每个小组至少安排1位同学，每个同学只能去一个小组，则不同方案有（    ）种
A．100 B．120 C．150 D．180
【答案】C
【解析】先把5人分为三组，每组的人数可能为1,1,3或者1,2,2，
当每组的人数为1,1,3时，共有种情况，
当每组的人数为1,2,2时，共有种情况，
所以把5人分为三组共有种情况，
再将三组人员分配到三个兴趣小组，有种.
故选：C
27．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】问题可转化为，10个相同的小球放到三个不同的盒子里，每个盒子不能空着，每个盒子中小球的数目就是方程的一组解，
由隔板法可知，共有种不同的分法，
即方程共有组不同的解.
故选：A
28．（2023·全国·高二专题练习）的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（    ）
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
【答案】C
【解析】由题设，多项式展开式各项形式为且，
故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即.
故选：C
29．（2023·全国·高二专题练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为.
故选：C.
30．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（    ）
A．10种 B．种 C．种 D．60种
【答案】A
【解析】依题意，采用隔板法，在个空中插入块板，则不同的放法共有种；
故选：A
二、填空题
31．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）新年音乐会安排了2个唱歌、2个乐器和2个舞蹈共6个节目，则2个唱歌节目不相邻且两个乐器节目相邻的节目单共有______种．（用数字表示）
【答案】144
【解析】将两个乐器节目排成一排，共有种排法，
将其视为一个整体和两个舞蹈节目排成一排，共有种排法，
再将两个唱歌节目插入所得排列的空隙中，有种排法，
由分步乘法计数原理可得满足要求的排法共有种排法，
故答案为：144.
32．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字）
【答案】144
【解析】第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有种方法，
第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有种方法，
第三步：甲乙两个人之间全排列，
由分步乘法计数原理可得总的排法有，
故答案为：144
33．（2023春·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）体育课上四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生相邻，则不同排法的种数是：__________．（用数字作答）
【答案】240
【解析】两女生看成一个元素与其它四名男生全排列，．
故答案为：240
34．（2023春·安徽六安·高二校考阶段练习）五名同学站成一排合影，若站在两端，和相邻，则不同的站队方式共有___________种.（用数字作答）
【答案】24
【解析】C，相邻，将排在一起并看成一个整体，有2种方法，站两端，有2种方法，与，进行3个元素的全排列，有种方法，故不同的站队方式共有种.
故答案为：24
35．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）现有6种不同的颜色，给图中的5个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用四种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有______种.

【答案】3030
【解析】由题意选出的颜色可以是二种，三种或者四种，规定左边起为第一个空，情况如下：
当选出两种颜色时，第一个空有两种情况选择，第一个空颜色确定后，其余空颜色就确定了，共有种方法；
当选出三种颜色时，第一个空有三种选择，第二个空有两种选择，第三个空可分为与第一个空颜色相同和不同的情况，
第四个空和第五个空都各有两种选择，但要去掉整体只用了两种颜色的情况，共有种方法；
当选出四种颜色时，必有两个颜色相同，可采用插空法，这两个相同颜色去插入另外三种颜色形成的空，共有种方法，
所以不同的涂色方法共有种，
故答案为：
36．（2023春·高二课时练习）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1与2不相邻的六位数，可以组成________个．
【答案】480
【解析】因为数字1与2不相邻，故可用插空法．
第一步，先排数字3，4，5，6， 有种不同排法，每种排法留出五个空位；
第二步，再将1，2插入五个空位，有种排法．
所以由分步计数原理可知共有（种）不同排法．
故答案为：480.
37．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）因疫情原因，杭州2022年第19届亚运会延期于2023年9月23日至10月8日举行.现从4名男大学生和5名女大学生中选出3人参加杭州亚运会志愿者工作，要求至少有男生和女生各1人，则不同的选取方法有___________种.
【答案】70
【解析】因为从4名男大学生和5名女大学生中选出3人，且要求至少有男生和女生各1人，
所以有两种情况：男生选1个，女生选2个；男生选2个，女生选1个，
当男生选1个，女生选2个时，有种；
当男生选2个，女生选1个时，有种；
所以共有种.
故答案为：70
38．（2023春·贵州遵义·高二遵义清华中学校考阶段练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有种___分配方案.
【答案】21
【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为.
故答案为：21
39．（2023春·河南信阳·高二淮滨高中校考阶段练习）将红、黄、蓝三种颜色的涂料都涂在下图的六个区域中，每个区域涂一种颜色，要求有三个区域涂同一颜色，且相邻的两个区域不同色，共有_________涂法（用数字作答）．

【答案】
【解析】由题意可知，区域①③⑤或区域②④⑥或区域①③⑥或区域①④⑥涂同一种颜色，
（1）若区域①③⑤或区域②④⑥涂一种颜色，
则剩余三个区域中有两个区域涂一种颜色，最后一个区域涂第三种颜色，
因此，不同的涂色种数为种；
（2）若区域①③⑥涂同一种颜色，则区域④⑤涂剩余的两种颜色，区域②和区域①③所涂颜色不同，
此时，不同的涂色种数为种；
（3）若区域①④⑥涂同一种颜色则区域②③涂剩余的两种颜色，区域⑤和区域④⑥所涂颜色不同，
此时，不同的涂色种数为种.
综上所述，不同的涂色方法种数为种.
故答案为：.
40．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额，分配到某年级的6个班级中，若每班至少1个名额，共有________种不同分法．（用数字作答）
【答案】252
【解析】采用“隔板法”，11个名额之间有10个空，隔5块板就可以分成6份，每份至少一个名额，故共有种方案.
故答案为：252.
41．（2023春·高二课时练习）将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有_____种．
【答案】20
【解析】7 个小球之间有6个空位， 插入3个隔板，便把 7 个小球分成 4 份，有种方法，
故使每个盒子至少有1个小球的不同分法共有种．
故答案为：20.
42．（2023春·北京丰台·高二北京市第十二中学校考阶段练习）用数字，组成五位数，且数字，至少都出现一次，这样的五位数共有___________个．（用数字作答）
【答案】
【解析】首先确定数字中和的个数，
当数字中有1个，4个时，共有种结果，
当数字中有2个，3个时，共有种结果，
当数字中有3个，2个时，共有种结果，
当数字中有4个，1个时，共有种结果，
根据分类加法原理知共有种结果，
故答案为：．
43．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数______．
【答案】1224
【解析】第一类：从0，2，4，6中任取3个数字不含0，
第一步：把2，4，6都取出，有1种方法；
第二步：从1，3，5中任取2个数字，有种方法；
第三步：把取出的5个数字任意排成一排组成五位数，有种方法；
根据分步乘法计数原理共有：种方法；
第二类：从0，2，4，6中任取3个数字含0，
第一步：把0取出，再从2，4，6中任取2个数字，有种方法；
第二步：从1，3，5中任取2个数字，有种方法；
第三步：先把0不放在首位，然后其余4个数字在其它4个位置上任意排列，有种方法；
根据分步乘法计数原理共有：种方法；
综上所述，共有种方法，即一共可以组成1224个没有重复数字的五位数.
故答案为：1224.