期中考试押题卷03（考试范围：选修二第五章、选性三第六-七章）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

2022-2023学年下学期期中考试押题卷03

高二·数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上，是增函数

B．当时，取到极小值

C．在区间上，是减函数

D．在区间上，是增函数

【答案】D

【解析】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．

故选：D.

2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（     ）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

【答案】D

【解析】如果规定每位同学必须报名，且每位同学限报其中的一个小组，每个同学都有2种选择，根据分步乘法计数原理，知不同的报名方法共有（种），

故选：D．

3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（    ）．

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【解析】因为，

所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l的斜率，

由切线与直线l垂直知，即，解得．

故选：C．

4．近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲､乙､丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,显然为相互独立事件,

则“三人中恰有两人通过”相当于事件,且互斥,

∴

.

故选:C.

5．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ）

A．

B．在第2022行中第1011个数最大

C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数

D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3

【答案】C

【解析】由可得

，故A错误；

第2022行中第1011个数为，故B错误；

，故C正确；

第34行中第15个数与第16个数之比为，故D错误.

故选：C.

6．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ）

①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为

④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，

对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，

所以最短路径条数为条，错误；

对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；

对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，

所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；

对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，

所以，错误.

故说法正确的个数是2.

故选：B.

7．已知函数，若，则的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，则函数在上单调递减，在上单调递增，

不妨设，有，可得，有，

令，有，令，可得，

令，可得，

可得函数的增区间为，减区间为，

可得，故的最大值为.

故选：D

8．关于函数，下列判断正确的是（    ）

①是的极大值点

②函数有且只有1个零点    

③存在正实数，使得成立    

④对任意两个正实数，且，若，则

A．①④ B．②③ C．②④ D．①③

【答案】C

【解析】对于①，由，求导得，

令，解得，可得下表：

则为函数的极小值点，故①错误；

对于②，由，

求导得：，

则函数在上单调递减，

当时，，

当时，，

由，故函数有且只有1个零点，故②正确；

对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，

令，求导得，

令，则，

在上，，函数单调递增；

在上，，函数单调递减，

，，

在上单调递减，无最小值，

不存在正实数，使得恒成立，故③错误；

对于④，令，则，，

令，

则，

在上单调递减，则，即，

令，由，且函数在上单调递增，得，

则，当时，显然成立，故④正确.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知函数，下列说法中正确的有（    ）

A．函数的极大值为，极小值为

B．当时，函数的最大值为，最小值为

C．函数的单调增区间为

D．曲线在点处的切线方程为

【答案】AD

【解析】因为，所以，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增，C不正确；

所以的极大值为，极小值为，A正确；

因为在上单调递增，

所以函数的最大值为，最小值为，B错误；

又，所以切线的斜率为，故切线方程是，即，D正确.

故选：AD.

10．袋中有6个大小相同的小球，4个红球，2个黑球，则（　　）

A．从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为

B．从袋中随机一次摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为

C．从袋中随机一个一个不放回地摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为

D．从袋中随机一个一个有放回地摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为

【答案】BCD

【解析】对于A选项：设“从袋中随机摸出一个球是黑球” ，则，

所以A选项错误；

对于B选项： 设“从袋中随机一次摸出2个球，2个球都是黑球”，

则，所以B选项正确；

对于C选项：设“从袋中随机一个一个不放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，

则，所以C选项正确；

对于D选项：设“从袋中随机一个一个有放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，

则，所以D选项正确；

故选：BCD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．可表示为

B．6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次

C．若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种

D．将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法

【答案】BC

【解析】因为，故A错误；

因为6人两两握手，共握（次），故B正确；

先在5个位置中选出3个位置，对进行全排列，剩下两个位置将放入即可，

故有：（种），而正确的共有1种，

所以可能出现的错误共有（种），故C正确；

因为，

当按3，1分组时，先选1人单独一组，剩下3人为一组，

再将两组分配到两个不同科室中：共（种）分法，

当按2，2分组，在4人中选出2人到呼吸科，剩下2人自动去感染科，

故有：（种）分法，故共有（种）安排方法，故D错误．

故选：BC

12．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是（   ）

A．1是函数的一个下界

B．函数有下界，无上界

C．函数有上界，无下界

D．函数有界

【答案】ABD

【解析】对于A，当时，（当且仅当时取等号），

恒成立，是的一个下界，故A正确；

对于B，∵，

当时，；当，，

在上单调递减，在上单调递增，

，∴有下界，

又当越来越大时，趋向于，∴无上界，

综上所述，有下界，无上界，故B正确；

对于C，，，，有下界，故C错误；

对于D，，，

又，，

，既有上界又有下界，故D正确．

故选：ABD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是_____．

【答案】

【解析】∵，∴．

由题意知有大于0的实根，由，得，

∵，∴，∴．

故答案为︰．

14．展开式中的系数为________（用数字作答）.

【答案】30

【解析】展开式通项为，，

当时，

由得的系数为，

故的系数为.

故答案为：30.

15．将红、黄、蓝三种颜色的涂料都涂在下图的六个区域中，每个区域涂一种颜色，要求有三个区域涂同一颜色，且相邻的两个区域不同色，共有_________涂法（用数字作答）．

【答案】

【解析】由题意可知，区域①③⑤或区域②④⑥或区域①③⑥或区域①④⑥涂同一种颜色，

（1）若区域①③⑤或区域②④⑥涂一种颜色，

则剩余三个区域中有两个区域涂一种颜色，最后一个区域涂第三种颜色，

因此，不同的涂色种数为种；

（2）若区域①③⑥涂同一种颜色，则区域④⑤涂剩余的两种颜色，区域②和区域①③所涂颜色不同，

此时，不同的涂色种数为种；

（3）若区域①④⑥涂同一种颜色则区域②③涂剩余的两种颜色，区域⑤和区域④⑥所涂颜色不同，

此时，不同的涂色种数为种.

综上所述，不同的涂色方法种数为种.

故答案为：.

16．已知函数，若存在，，使得，则的最小值是______.

【答案】

【解析】当时，，则，

由可得，由可得，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，的极小值为，作出函数的图象如下图所示：

因为存在，，使得，

设，则，且，所以，，

所以，，当且仅当时，等号成立.

故的最小值是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

已知.

(1)求；

(2)求.

【解析】（1）已知.

令，即时，此时

令，即时，此时.

故.

（2）由.

对等式两边求导，可得：

.

此时令，即时，

有.

18．（12分）

已知函数．

(1)若，求的单减区间.

(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

(3)若函数在区间上存在减区间，求的取值范围

(4)若函数在区间上不单调，求的取值范围；

【解析】（1）若，则，

可得的定义域为，且，

令，则

故的单减区间为.

（2）∵，则，

若函数在区间上单调递增，等价于对，恒成立，

可得对恒成立，

构建，可知开口向上，对称轴，

∴，

故，解得，

则的取值范围为.

（3）由（2）可得：，

若函数在区间上存在减区间，等价于，使得成立，

可得，使得成立，

构建，可知开口向上，对称轴，

∴，

故，解得，

则的取值范围为.

（4）由（2）可得：，

若函数在区间上不单调，等价于，使得，

可得，使得成立，

构建，可知开口向上，对称轴，

∴，

故，解得，

则的取值范围为.

19．（12分）

一个盒子里有9个球，其中4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．

(1)从盒子中随机抽取2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；

(2)从盒子中随机抽取4个球，记其中红球的个数为，求随机变量的数学期望．

【解析】（1）从盒子中随机抽取2个球，取出的2个球颜色相同的概率．

（2）从盒子中随机抽取4个球，其中红球个数的所有可能取值为0、1、2、3、4，

因为，，，，，

所以的数学期望.

20．（12分）

吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3个.

(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；

(2)求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率．

(3)设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.

【解析】（1）令A表示事件“三个粽子中有1个肉粽”， 从中任意选取3个有种可能,

其中恰有1个肉粽的可能选法有种,

∴由古典概型的概率计算公式有.

（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有种，

所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有种，

故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为.

（3）由题意知，ξ可能取的值为，则

∴，，，

故ξ的分布列为：

则的期望为.

21．（12分）

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．

(1)已知，，，，求；

(2)设表示该生物临近灭绝的概率，当时，证明：p是关于x的方程的最小正实根．

【解析】(1)由题知：，

(2)因为

所以，p是方程的正实根

令，则

令，所以当时，

所以在区间上单调递增

又因为，

当时，

所以存在，使得

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增；

又因为，

所以在上存在唯一零点，

综上，所以p是方程的最小正实根

22．（12分）

已知函数.

(1)当时，求函数的最小值；

(2)是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.

【解析】（1）当时，，

，

令，则，

当时，，当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，

故，仅当时取等号，

故对于，此时，

令，则，

即在在上单调递增，

，，故，使得，

函数的最小值为.

（2）由题意的定义域为，

，

当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合题意；

当时，时，，时，，

函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数取得最大值，且，

要使恒成立，即，

所以，即，

令，，

所以在上单调递增，

，，

所以存在最小正整数，使得，即使得恒成立.