2022年江苏省南京师大附中特长生选拔招生数学试卷

这是一份2022年江苏省南京师大附中特长生选拔招生数学试卷，共8页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省南京师大附中特长生选拔招生数学试卷一、解答题1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6．2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3．3．解方程组．4．如图△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC＝　      　．5．△ABC中，，，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，则AD＝　                　．6．方程的正整数解（x，y）有 　   　组．7．如图，B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝，⊙M为△ABC的内切圆，则M的横坐标为 　              　．8．在直角三角形中，三边长均为两位正整数，其中一条直角边长的十位与个位交换位置后，数值等于斜边长．求斜边的长．9．已知．（其中x＞1）．（1），求y与t的函数关系式；（2）求y的最大值．10．已知，b为a的小数部分的相反数，求a3+b3+18ab．11．求方程x2+9xy+14y2+2x+9y﹣10＝0的整数解（x，y）．
2022年江苏省南京师大附中特长生选拔招生数学试卷（参考答案与详解）一、解答题1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6．【解答】解：x3﹣2x2﹣5x+6＝x3﹣3x2+（x2﹣5x+6）＝x2（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣2）＝（x﹣3）（x2+x﹣2）＝（x﹣3）（x+2）（x﹣1）．2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3．【解答】解：∵，∴＝，∴（1﹣2x）2＝1﹣4x+4x2＝2022，∴4x2﹣4x＝2021，∴原式＝[（4x3﹣4x2）+（4x2﹣4x）﹣2021x﹣2022]3＝（2021x+2021﹣2021x﹣2022）3＝（﹣1）3＝﹣1．3．解方程组．【解答】解：，②+3×①，得x3+3x2y+3xy2+y3＝﹣19+18．∴（x+y）3＝﹣1．∴x+y＝﹣1．由x+y＝﹣1得x＝﹣1﹣y③．把③代入①，得﹣（﹣1﹣y）×y＝6．∴y2+y﹣6＝0．解这个方程得y1＝﹣3，y2＝2．把y1＝﹣3，y2＝2代入③，得x1＝2，x2＝﹣3．∴原方程组的解为，．4．如图△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC＝　20°　．【解答】解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以 2x+y＝y+40，解得x＝20，所以∠EDC的度数是20°．故答案为20°．5．△ABC中，，，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，则AD＝　　．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，过C作CF⊥AD于点F，CG⊥AB于点G，则∠DEA＝∠CFA＝∠CGA＝90°，∵∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴DE＝AD，CF＝AC＝×＝，在Rt△ACG中，sin∠GAC＝＝sin60°＝，∴CG＝AC＝×＝1，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴AB•DE+AD•CF＝AB•CG，∴AB•DE+AD•CF＝AB•CG，即×AD+AD＝×1，解得：AD＝，故答案为：．6．方程的正整数解（x，y）有 　3　组．【解答】解：∵，去分母得：8y+xy＝8x，∴（x+8）（y﹣8）＝﹣64，又∵x与y是正整数，两整数之积为﹣64，∴存在三种情况：①，解得：；②，解得：；③，解得：．故方程的正整数解（x，y）有3组．故答案为：3．7．如图，B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝，⊙M为△ABC的内切圆，则M的横坐标为 　3　．【解答】解：⊙M为△ABC的内切圆，分别与AB，AC，BC相切于P，N，D，连接MD，∴AP＝AN，PB＝BD，CD＝CN，MD⊥BC，∵AB﹣AC＝6，∴AP+BP﹣（AN+NC）＝6，∴BP﹣CN＝6，∴BD﹣CD＝6，∵B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），∴OB＝OC＝5，∴BD+CD＝OB+OC＝10，∴CD＝5﹣3，∴OD＝OC﹣CD＝5﹣（5﹣3）＝3，∴M的横坐标是3．故答案为：3．8．在直角三角形中，三边长均为两位正整数，其中一条直角边长的十位与个位交换位置后，数值等于斜边长．求斜边的长．【解答】解：设斜边为10a+b，则有一直角边为10b+a，设另一直角边为m，其中a，b为一位正整数，m为两位正整数，显然a＞b，由勾股定理得，m2＝（10a+b）2﹣（10b+a）2＝（11a+11b）（9a﹣9b）＝32×11（a+b）（a﹣b），由3≤a+b≤17，1≤a﹣b≤8，可知（奇偶性要相同），解得，∴斜边的长为65．9．已知．（其中x＞1）．（1），求y与t的函数关系式；（2）求y的最大值．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝，∵，x＞1，∴（t＞0）；（2）∵＝（t＞0），∴≥＝20，当且仅当4t＝，即t＝时等号成立，∴y≤，即y的最大值为．10．已知，b为a的小数部分的相反数，求a3+b3+18ab．【解答】解：＝．∵6＜，∴6＜a＜7．∴a的小数部分是a﹣6．∴b＝6﹣a．∴a+b＝6．∴a3+b3+18ab＝（a+b）3﹣3ab（a+b）+18ab＝63﹣18ab+18ab＝216．11．求方程x2+9xy+14y2+2x+9y﹣10＝0的整数解（x，y）．【解答】解：x2+9xy+14y2+2x+9y﹣10＝0，整理，得（x+2y）（x+7y）+（x+2y）+（x+7y）+1＝11，即（x+2y+1）（x+7y+1）＝11，故或或或，解得（x，y）＝（﹣4，2）或（14，﹣2）或（2，﹣2）或（﹣16，2）．