中考数学二轮复习培优专题44几何中的最值问题之三角形的面积 (含答案)

这是一份中考数学二轮复习培优专题44几何中的最值问题之三角形的面积 (含答案)，共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
44第8章几何中的最值问题之三角形的面积

一、选择题
1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）

A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】D
【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．
【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，
故选：D．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
2．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 （ ）

A．4cm2 B．8cm2
C．12cm2 D．16cm2
【答案】B
【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，

∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．
3．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）

A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线的最小距离，由此即可解决问题．
【解答】过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，

令，则，令，则，
∴B（12，0），C（0，-5），
∴OB=12，OC=5，BC==13，
则由三角形面积公式得，BC×DM=OB×CD，
∴DM=，
∴圆D上点到直线的最小距离是，
∴△ABC面积的最小值是．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC的最大距离以及最小距离．
4．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】B
【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．
【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．

∵S△OMN＝•MN•OH＝12，MN＝6，
∴OH＝4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形，
∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．
5．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）

A．16 B．15 C．12 D．11
【答案】B
【分析】过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【解答】解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为的中点，

∴
设AE=x， ∵AB
∴HF





∴当 时，△CEF面积的最小值
故选：B．

【点评】本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．


二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为_________．

【答案】
【分析】作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得EDN≌DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝3，得到BM＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，根据三角形面积公式得到S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，

∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDN+∠CDM＝90°，
∴∠DEN＝∠CDM，
在EDN和DCM中

∴EDN≌DCM（AAS），
∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠MAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AM＝AC＝6＝3，
∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，
设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，
∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，
∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．
7．如图，⊙O的直径为5，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A，B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．则△PCD的面积最大为______________．

【答案】
【分析】由圆周角定理可知，再由可证明，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC：CA＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．
【解答】为直径，

，

又


BC：CA＝4：3，

当点P在弧AB上运动时，


当PC最大时，取得最大值
而当PC为直径时最大，
．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．

【答案】2+
【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小．
【解答】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，
∴只要求出△CDP面积的最小值，
作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，
易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，
易知AD＝2，
∵四边形ABCD的面积＝（1+3）×2＝4＝×1×1+•AD•OH+•1•3，
∴OH＝，
∴PH＝﹣11，
∴△CAD的面积最小值为2﹣，
∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（2﹣）＝2+．
故答案为2+．

【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．
9．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=2，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．

【答案】
【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即最小，可计算的值，从而得结论．
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=2，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=，
∴CG=，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，

Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=CG=，
则点G到BC边的距离为，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH==，
∴S△ADG，
当最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，

∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴，
∴，
∴△ADG的面积的最小值为，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
10．如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线上，则△ABP面积的最小值为__________．

【答案】
【分析】根据直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB解析式；平移直线AB到直线CD，直线CD当抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P坐标；再利用勾股定理逆定理，证明为直角三角形，从而计算得到△ABP面积的最小值．
【解答】设直线AB为
∵直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)
∴
∴
∴直线AB为
如图，平移直线AB到直线CD，直线CD为

当与抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值
∴
∴
∴
∴
∴
∴
将代入，得
∴
∴


∴
∴为直角三角形，
∴
即△ABP面积的最小值为
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．

三、解答题
11．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3)．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上AC下方的一个动点，是否存在点p，使△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线y＝x2-4x+3;（2）D(2，1)；（3）点的坐标为，
【分析】（1）（1） 将、坐标代入即可；
（2）由于长度不变， 要周长最小， 就是让最小， 而、关于对称轴对称， 所以就是的最小值， 此时点就是与抛物线对称轴的交点；
【解答】解：（1）抛物线经过点，点，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为；
（2），
，抛物线的对称轴为；
长度不变，
最小时，的周长最小，
、是关于抛物线对称轴对称的，
当点为对称轴与的交点时，最小， 即的周长最小， 如图，

，
解得：，
，
抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；
（3）存在，
如图，设过点与直线平行线的直线为，

联立，
消掉得，，
，
解得：，
即时，点到的距离最大，的面积最大，
此时，，
点的坐标为，，
设过点的直线与轴交点为，则，，
，
直线的解析式为，
，
点到的距离为，
又，
的最大面积．
【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．
12．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．

（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
【答案】（1）2‘（2）1；（3）（7-）．
【分析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；
（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而可得当x=时，△GCF的面积最小．
【解答】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，

∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×（7-6）=1；
（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤，
∴S△FCG的最小值为7-，此时DG=，
∴当DG=时，△FCG的面积最小为（7-）．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．

【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．
【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【解答】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，

，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
14．已知抛物线y＝a（x﹣1）2过点（3，4），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，1），且∠BDC＝90°，求点C的坐标：
（3）如图，直线y＝kx+1﹣k与抛物线交于P、Q两点，∠PDQ＝90°，求△PDQ面积的最小值．

【答案】（1）y＝（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（2，1）；（3）1
【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0＝（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得，即1＝＝，据此求得x0的值即可得；
（3）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG＝4，根据S△PDQ＝DG•MN列出关于k的等式求解可得．
【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a＝4，
解得：a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），
则y0＝（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CF⊥x轴，

∴∠BOD＝∠DFC＝90°，∠DCF+∠CDF＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDO+∠CDF＝90°，
∴∠BDO＝∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴，
∴1＝＝，
解得：x0＝2，此时y0＝1，
∴点C的坐标为（2，1）．
（3）设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k，得x2﹣（2+k）x+k＝0．
∴x1+x2＝2+k，x1•x2＝k．
∴MN＝|x1﹣x2|＝＝＝|2﹣k|．

则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，1），
所以DG＝1，
∴S△PDQ＝DG•MN＝×1×|x1﹣x2|＝＝|2﹣k|，
∴当k＝0时，S△PDQ取得最小值1．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
15．如图，已知二次函数的图象交x轴于A(－1，0),B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B,C重合），过点P作PE⊥BC，PF∥y轴交BC与F，则△PEF面积的最大值是___________．

【答案】
【分析】先证明△PEF∽△BOC,得出，再根据，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．
【解答】解：设(0