中考数学二轮复习难点突破：动点问题专题训练 (含答案)

中考数学

动点问题专题训练

例题1.   抛物线与轴相交于、两点（点在的左侧），与轴相交于点，顶点为.

⑴ 直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；

⑵ 连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；

① 用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？

② 设的面积为，求与的函数关系式．

【答案】⑴，，．

抛物线的对称轴是：．

⑵①设直线的函数关系式为：．

把分别代入得：

解得：．

所以直线的函数关系式为：．

当时，，∴．

当时，，

∴．

在中，当时，．

∴

当时，∴．

∴线段，线段．

∵

∴当时，四边形为平行四边形．

由解得：．（不合题意，舍去）．

因此，当时，四边形为平行四边形．

②设直线与轴交于点，由，，可得：．

∵．

即．

∴．

例题2.   如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．

【答案】（1）∵抛物线经过点，

∴∴

∴二次函数的解析式为：

（2）∵为抛物线的顶点∴过作于，

则，，∴∴

∵

当时，四边形是平行四边形

∴∴

当时，四边形是直角梯形

过作于，则

（如果没求出可由求）

∴，

当时，四边形是等腰梯形

∴∴

综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．

（3）由（2）及已知，是等边三角形

则，∴

过作于，则

∴=

当时，的面积最小值为

∴此时∴

∴

例题3.   已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．

（1）求AB的长；

（2）如图1，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．

                                                        图1

【答案】

（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．

在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．

（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．

由△OAB∽△PAC，得．所以．所以．

在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得．

所以，．

在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得．

整理，得．定义域为x＞0．

图2                                     图3

（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．

因此．所以．

解方程，得．此时⊙P的半径为．

②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，．

如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．

所以．因此．

解方程，得．此时⊙P的半径为．

图4                     图5                     图6

例题4.   如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．

①求证：∠BDE＝∠ADP；

②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．                                                           图1

【答案】

（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．

（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；

②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，

因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．

所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到．

图2                        图3                       图4

（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：

由△DMB∽△BNF，知．

设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得．

因此．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．

②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．

图5                                     图6

例题5.   在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．

（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；

（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；

（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．

图1                     图2                    图3

【答案】

（1）        在Rt△ABC中，AC＝6，，

所以AB＝10，BC＝8．

过点M作MD⊥AB，垂足为D．

在Rt△BMD中，BM＝2，，所以．

因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．                          图4

（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．

②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．

在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时．

③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．

在Rt△BOE中，BE＝，，所以．此时．

图5                     图6

（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．

当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．

在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，．

在Rt△ONF中，，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．

于是得到．

整理，得．定义域为0＜x＜5．

图7                            图8

例题6.   如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；

（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？

（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．                                                          图1

【答案】    （1）当M、N都在O右侧时，，，

所以．因此MN与AB不平行．

（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．

②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．

③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么．

所以．解得t＝2．

图2                    图3                        图4

（3）①如图2，，，．

．

②如图3，，，．

．

③如图4，，，．

．

综合①、②、③，s

．

所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．

例题7.   已知点 (，)在函数()的图像上，矩形的边在轴上，是对角线的中点，函数()的图像经过、两点，若，求点的坐标.

【解析】点(，)在函数的图像上，.

又也在函数的图像上，故设点的坐标为(，).

过点作轴于，则.

又是对角线的中点，.

故点的纵坐标为，代入中，得点坐标为 (，).

因此.由，得，.

即有.解得.而，故.则点坐标为 (，).

【答案】(，)

例题8.   如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数()的图像上，斜边、、都在轴上，求点的坐标.

【解析】分别过点、做轴的垂线，根据题意易得，，，，得，所以(，).

【答案】(，).

例题9.   如图所示，，……，在函数的图象上，，，，…，，…都是等腰直角三角形，斜边都在轴上，则______________．

【解析】由已知易得，则，点横坐标为，

那么可得，解得，

同理点横坐标为，那么可得，

解得，

依此类推，的纵坐标为，

∴．

【答案】

例题10.   如图，是函数()图象上一点，直线交轴于点，交轴于点，轴于，交于，轴于，交于.求的值.

【解析】设点(，)，过点、分别作轴的垂线，易得，，.

【答案】1

例题11.   已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图

所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．

（1）求证：与的面积相等；

（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明：设，，与的面积分别为，，

由题意得，．

∴，．

∴，即与的面积相等．

（2）由题意知：两点坐标分别为，，

∴

∴．

当时，有最大值．

．

（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．

由题意得：，，，

∵

∴．

又∵，

∴．

∴

∴

∴．

，

解得．

∴

∴存在符合条件的点，它的坐标为．

例题12.   如图，点，都在反比例函数的图象上．

（1）求的值；

（2）如果为轴上一点，为轴上一点， 以点为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．

【解析】（1）由题意可知，．解，得．

∴；

∴．

（2）存在两种情况，如图：

①当点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴

上时，设点坐标为，点坐标为．

∵ 四边形为平行四边形，

∴线段可看作由线段向左平移3个单位，

再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．

由（1）知坐标为（3，4），坐标为（6，2），

∴点坐标为，即；

点坐标为（6－3，0），即（3，0）．

设直线的函数表达式为，把代入，解得．

∴ 直线的函数表达式为．

②当点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上时，

设点坐标为，点坐标为．

∵，

∴．

∴线段与线段关于原点成中心对称．

∴点坐标为（-3，0），点坐标为（0，-2）．

设直线的函数表达式为，把代入，解得，

∴ 直线M2N2的函数表达式为．

所以，直线MN的函数表达式为或．

【答案】（1），；（2）或