数学（沪教版2020A卷）2022-2023学年高一下学期期中考前必刷卷

2022-2023学年高一下学期期中考前必刷卷

数学·全解全析

一、填空题

1．已知，则______.

【答案】

【分析】结合诱导公式求得正确答案.

【解析】.

故答案为：

2．已知，则的单位向量的坐标为_______．

【答案】

【分析】先由向量的线性运算求得，再由模的坐标表示求得，从而求得所求.

【解析】因为，

所以，故，

则的单位向量的坐标为．

故答案为：.

3．函数的图像相邻的两条对称轴之间的距离是______；

【答案】

【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，求出其最小正周期，最小正周期的一半即为两相邻对称轴间的距离．

【解析】由已知，

它的周期是，相邻两条对称轴间距离为．

（也可求出对称轴方程后求解）．

故答案为：．

4．已知向量与的夹角为，，若，则____________．

【答案】

【分析】根据向量垂直的表示列关系式，结合数量积定义和运算律化简方程求.

【解析】因为，

所以，

所以，

所以，

又向量与的夹角为，，

所以

解得．

故答案为：.

5．如图为函数 的部分图像， 则其表达式为                     .

【答案】

【分析】由图象，首先得出的值，然后根据的值运用周期公式求出值，再将最高点的坐标代入函数式中求解的值即可得出表达式.

【解析】由图象可知，，，

，

，将代入得：

，

又

故答案为：.

6．已知，，若在方向上的数量投影是2，则与的夹角的余弦值是______.

【答案】

【分析】写出数量投影的定义，以及向量夹角公式，即可计算结果.

【解析】由条件可知，

设与的夹角为，则.

故答案为：

7．函数的定义域为________.

【答案】,

【解析】解不等式即可得定义域.

【解析】要使函数有意义,需,即.

结合正弦曲线可知,.

故定义域为,.

故答案为：,.

【点睛】本题考查含的函数定义域，是基础题.

8．已知，cos(α-β)=,sin(α+β)=,那么sin2α=________.

【答案】

【解析】试题分析：∵，∴，，又cos(α-β)=,sin(α+β)=,∴，，∴sin2α=

考点：本题考查了两角和差的正余弦公式

点评：熟练运用两角和差的正余弦公式及同角关系是此类问题常用方法，属基础题

9．若函数的最小值为1，则实数__________.

【答案】5

【解析】由辅助角公式得的最小值为，由此可求得值．

【解析】，其中，且终边过点．

所以，解得．

故答案为：5．

【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，掌握辅助角公式对解题关键．设，则，其中，角终边过点．由此易求得函数的最值，易研究函数的其他性质．

10．在中，若，则的最大值是____．

【答案】

【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解

【解析】结合正弦定理得，即，

所以，

因为，所以，则的最大值是．

故答案为：

11．已知，，,若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于________.

【答案】

【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得的坐标，可化为，再利用基本不等式求得它的最大值.

【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得, , ,

,

，

,

当且仅当，即时，取等号

的最大值为,

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.

12．设， 若函数  在区间  上恰有两个零点， 则  的取值范围为                              .

【答案】或或

【分析】由得则满足的k恰有两解，据此即可求解.

【解析】由得即，

∵函数在区间上恰有两个零点，

∴，即满足的k恰有两解，

又，所以取2,3或3,4或4,5；

当k取2,3时，且，即，

当k取3,4时，且，即，

当k取4,5时，且，即，

当时，不合题意；

所以的取值范围是或或.

故答案为：或或.

二、单选题

13．在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.

【解析】零向量与任何向量的数量积都为0，错误；

0乘以任何向量都为零向量，正确；

向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误；

向量模的平方等于向量的平方，正确；

不一定有，故错误；

故选：C

【点睛】本题考核查了向量，利用向量相关概念、性质判断正误，属于基础题.

14．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（   ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定

【答案】C

【分析】根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.

【解析】在中，原等式化为：，由正弦定理得，，

即，由余弦定理得：，整理得，

则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，

所以的形状是等腰三角形或直角三角形.

故选：C

15．设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的图像关于直线对称

C．在上单调递增 D．过点的直线与函数的图像必有公共点

【答案】D

【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.

【解析】由题意，，，而函数在处取得最大值，所以，所以，，则.

对A，因为，即，A错误；

对B，因为，所以B错误；

对C，因为，所以函数在上单调递减，所以C错误；

对D，因为的最大值为，而，所以过点的直线与函数的图象必有公共点，D正确.

故选：D.

16．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．

【解析】解：∀实数x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立⇔asinx+1﹣sin2x恒成立，

令f（y），

则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，

∵y＞0，f（y）23（当且仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；

所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．

①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），则a≤g（t）min．

由于g′（t）＝10，

所以，g（t）＝t在区间（0，1]上单调递减，

因此，g（t）min＝g（1）＝3，

所以a≤3；

②若sinx＜0，则a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；

③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；

综合①②③，﹣3≤a≤3．

故选：D．

【点睛】本题考查恒成立问题，将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y），求得f（y）min＝3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．

三、解答题

17．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，即可求解；

（2），从而即可求解.

【解析】（1）因为在菱形中，.

故，

故，所以.

（2）显然，

所以

①，

因为菱形，且，，

故，.

所以.

故①式.

故.

18．在中，内角所对的边分别为．若

（1）求角的大小；

（2）设的中点为，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据余弦定理的推论即可求出；

（2）设，在中利用正弦定理用的三角函数值表示出，再利用三角函数值域的求法即可求出的取值范围．

【解析】（1）因为，而，所以

（2）如图所示：

设，则中，由可知,

由正弦定理及，可得，

所以，

由，可知，，.

【点睛】思路点睛：本题第一问直接根据余弦定理的推论即可求出，第二问有两种思路，第一种转化为求即，在中利用余弦定理以及两边之和大于第三边即可求出；第二种引入角参数，由正弦定理用的三角函数值表示出，再利用三角函数值域的求法即可求出的取值范围，第二种方案可以求解任意形如的取值范围，解法更一般．

19．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶场A的仰角为45°.

(1)求出山高BE（结果保留一位小数）；

(2)如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角最大？

参考数据：，，，.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；

（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.

【解析】（1）由题意可知，，

在中，，

所以，

在中，，

所以出山高；

（2）由题意知，且，

则，

在中，，

在中，，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以取得最大值时，，

又因为，所以此时最大，

所以当时，最大.

20．已知函数的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的解析式；

（3）在（2）的条件下，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得．

（2）由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．

（3）令，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，

【解析】解：（1）

所以

因为函数的最小正周期为且，所以，解得，所以的值为1.

（2）因为图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像

又，所以

所以的解析式为

（3）令

因为对于任意的，，当时，恒成立，

所以在严格单调递增，

由，整理可得，

所以严格单调递增区间是，

所以，解得

所以的取值范围是.

21．对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．

(1)求证：函数在上是“1跃点”函数；

(2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；

(3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，或或

【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明；

（2）由题意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可；

（3）根据题意可得到，然后分，，或三种情况进行讨论即可

【解析】（1），

所以，，

令，

因为，，所以由零点存在定理可得在有解，

所以存在，使得，

即函数在是“1跃点”函数．

（2）由题意得

，

因为，

所以，当且仅当取等号，

所以的取值范围为．

（3），即，

化简得，的最小正周期为，

当，；当（为正整数），；

所以从在上的值可得

①当时，在有个“跃点”，

故，所以；

②当时，在有个“跃点”，故，无解；

③当或时，在上有个“跃点”，故，

综上，或或．

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.