第五章 相交线与平行线【知识梳理课件】——2022-2023学年人教版数学七年级下册单元综合复习

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同位角、内错角、同旁内角
1.进一步熟悉相交线所成的角及其基本结论;2.进一步理解垂线、垂线段的概念及性质，点到直线的距离;3.熟练掌握三线八角(同位角、内错角、同旁内角)，两直线平行的判定及其应用;4.熟练掌握平行线的性质及一些结论，并会应用;5.平移的特征并会应用其解决问题.
2、对顶角如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角.如上图∠2 的对顶角是∠3.对顶角的性质：对顶角相等 注意：两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角.
㈠相交线1、邻补角如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角.如图中∠1 和∠2， ∠1 和∠3 都互为邻补角.邻补角互补。
㈡垂线：1、垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
2、垂直的表示方法：AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”。3、几何语言：∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠BOC=∠AOD=∠BOD
4. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(2) 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。5.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。注意：点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。
同位角：像∠1和∠5两角的位置分别在直线AB，CD的同一方(上方)，并且都在直线EF的同侧(右侧)。
内错角：像∠3和∠5两角的位置都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧(∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧)。
同旁内角：像∠3和∠6两角的位置都在直线AB，CD之间，并且都在直线EF的同一旁(左侧)。
（四） 同位角、内错角、同旁内角的结构特点
此题需要正确地 应用、对顶角、 邻补角、垂直的 概念和性质。
例2.如图， AC⊥BC，CD⊥AB 于点 D，CD=4.8 cm，AC=6 cm，BC=8 cm，则点 C 到 AB 的距离是 cm；点 A 到 BC 的距离是 cm；点 B 到 AC 的距离是 cm.
答：∠ BAC,∠BAE ,∠2
∠1与哪个角是同旁内角？
∠2与哪个角是内错角?
例3、 ∠1与哪个角是内错角？
1.如图，三条直线 AB，CD，EF 相交于点O，且 CD⊥EF，∠AOE＝70°，若 OG 平分∠BOF．求∠DOG 的度数．
2.如图，AD 为三角形 ABC 的高，能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
解析：从图中可以看到共有三条，A 到 BC 的垂线段 AD，B 到 AD 的垂线段 BD，C 到 AD 的垂线段 CD.
∠1和∠2不是同位角，
3、如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
∵∠1和∠2无一边共线。
∵∠1和∠2有一边共线、同向
（四）平行线 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 注意：“在同一平面内”是前提条件；2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.3.平行公理的推论(平行线的传递性)：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.几何语言：∵a∥c b∥c ∴a∥b（五）平行线的判定1.判定1：同位角相等，两直线平行。几何语言：∵∠1=∠5 ∴a∥b（同位角相等，两直线平行。）
2、判定2：内错角相等，两直线平行。 几何语言：∵∠3=∠6 ∴a∥b（内错角相等，两直线平行。）3、判定3：同旁内角互补，两直线平行。 几何语言：∵∠3+∠5=180° ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行。）
（六）平行线的性质1、性质1：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等。）
2、性质2：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠6（两直线平行，内错角相等。）
3、性质3：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补。）
注意：平行线的性质与判定区别平行线的判定以两直线平行为结论，即由两角相等或互补得到两直线平行，是由数量关系得到位置关系；平行线的性质以两直线平行为条件，即由两直线平行得到两角相等或互补，是由位置关系得到数量关系.
（七）命题、定理、证明1、命题定义：判断一件事情的语句。注意：1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. 2、题设和结论：命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后接的部分是题设，即已知事项.“那么”后接的部分是结论，即由已知事项推出的事项.
3、真假命题：题设成立时，结论一定成立，这样的命题叫做真命题. 题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
4、定理：有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.5、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
证明的一般步骤：1.分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；3.经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.
（八）平移1、平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动。平移的要素：1.平移的方向；2.平移的距离.注意：图形平移的方向可以是任意指定的方向,不限于是水平的或竖直的,但必须是直线方向.
2.平移的性质①平移不改变图形的形状和大小.②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等.③平移前后两个图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等.
（九）平移作图步骤1.定：确定平移的方向和距离；2.找：找出确定图形形状的关键点；3.移：按平移的方向和距离平移各个关键点，得到各个关键点的对应点；4.连：按原图形的顺序依次连接各对应点；5.写：写出结论.
拐点模型（经常在拐点处作平行线） 1、铅笔模型：若AB∥DE，则∠ABC+∠BCD+∠CDE=360° 2、猪蹄模型：若AB∥CD，则∠BED=∠ABE+∠EDC3、锯齿模型：若DM∥EN，则∠DAB+∠BCE=∠ADM+∠ABC+∠CEN
例4.如图，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4的度数.
解：∵∠1=∠2=72°，∴a//b (内错角相等，两直线平行).∴∠3+∠4=180° (两直线平行，同旁内角互补).∵∠3=60°，∴∠4=180°-∠3=180°-60°=120°.
例5.如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点D′、C′ 的位置上，ED′ 与BC 的交点为 G，若∠EFG = 55°，求∠1、∠2 的度数.
解：由题意可知 AD//BC，∴∠3 =∠EFG = 55°(两直线平行，内错角相等).由折叠的性质可知∠4 =∠3 = 55°.∴∠1 = 180°-∠4 -∠3= 180°- 55°- 55° = 70°.∵AD//BC，∴∠1+∠2 = 180°(两直线平行，同旁内角互补).∴∠2 = 180°-∠1= 180°- 70° = 110°.
证明: ∵∠DAC= ∠ACB (已知)，∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行).∵ ∠D+∠DFE=180°(已知)，∴ AD// EF(同旁内角互补，两直线平行).∴ EF// BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行).
例6.如图，已知∠DAC=∠ACB，∠D+∠DFE=180°，求证：EF//BC.
例7.下列语句中是真命题的是( )A.若 a2=b2，则 a=bB.已知 a2=4，a 的值是多少？C.过直线外一点，作已知直线的垂线D.对顶角相等
例8.如图，三角形 ABC 沿线段 BA 方向平移得到△DEF，若AB=6，AE=2，则平移的距离为( )A．2B．4C．6D．8
解：∵ AB=6，AE=2，∴ BE=AB-AE=6-2=4，∴ 平移的距离为4．
【变式训练】4．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．
证明：∵∠A=∠F，∴AC∥DF，∴∠C=∠FEC，∵∠C=∠D，∴∠D=∠FEC，∴BD∥CE．
∵ EF⊥AB，CD⊥AB （已知）
(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)
∴ ∠EFB＝ ∠DCB
（两直线平行，同位角相等）
∵ ∠EFB=∠GDC （已知）
∴ ∠DCB=∠GDC （等量代换）
（内错角相等,两直线平行）
∴ ∠AGD=∠ACB
【变式训练】5.已知EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC，求证：∠AGD=∠ACB
【变式训练】6．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4
解：如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，
7.能说明命题“若 x2≥4，则 x≥2”为假命题的一个反例是( )A. x=-1B. x=2C. x=-3D. x=5
8.如图，下列四组图形中，有一组中的两个图形通过平移其中一个能得到另一个，这组图形是( )
两条直线被第三条直线所截