第5章 二次函数【单元检测】——2022-2023学年苏科版数学九年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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第5章 二次函数
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（2021·杜尔伯特期末）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，﹣5）
B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5）
D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
【解析】解：二次函数的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，
∴将x＝0代入y＝﹣4（x+6）2﹣5中，得：y＝﹣149，
∴图象与y轴得交点为（0，﹣149），
故A项不合题意；
对称轴为x＝﹣6，顶点坐标为（﹣6，﹣5），
故B，C两项不合题意；
a＝﹣4＜0，图象开口向下，
∴当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，
故D项符合题意．
故本题选：D．
2．抛物线y＝﹣3x2可由y＝﹣3（x﹣1）2+5如何平移得到（　　）
A．先向右平移1个单位，再向下平移5个单位
B．先向左平移1个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移5个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移5个单位
【解析】解：将抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+5先向左平移1个单位，再向下平移5个单位即可得到抛物线y＝﹣5x2．
故本题选：C．
3．（2022·桐庐月考）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝2x C．y＝3x2+1 D．y＝x2+1
【解析】解：A、该函数是一次函数，故本选项不合题意；
B、该函数是反比例函数，故本选项不合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数不是二次函数，故本选项不合题意．
故本题选：C．
4．（2022·无为月考）将二次函数y＝12x2+4x﹣3化成y＝a（x+h）2+k的形式，则变化后正确的是（　　）
A．y＝12（x+4）2﹣3 B．y＝12（x+4）2﹣11
C．y＝（x+4）2﹣3 D．y＝12（x+2）2﹣11
【解析】解：y＝12x2+4x﹣3＝12（x2+8x+16﹣16）﹣3＝12（x+4）2﹣11．
故本题选：B．
5．（2022·长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（12，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【解析】解：∵y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2．
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（12，y3），﹣4＜﹣2＜12＜1，
∴y1＞y2＞y3．
故本题选：B．
6．（2021·雁塔模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　）
A．3 B．﹣3或38 C．3或﹣38 D．﹣3或﹣38
【解析】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣38．
故本题选：C．
7．（2021·溧阳期末）如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　）

A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【解析】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A正确，不合题意；
B、在A点的速度为5255＝105m/min，在A到B点的平均速度为：1200-52520-5＝67515＝45m/min，故B错误，符合题意；
C、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入，得：1200=25k+b2000=50k+b，
解得：k=32b=400，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故C正确，不合题意；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200），
将（5，525）代入s＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），得：525＝a（5﹣20）2+1200，
解得：a＝﹣3，
∴曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），故D正确，不合题意．
故本题选：B．
8．（2021·红谷滩期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解析】解：A、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣b2a＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确；
B、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误；
C、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴＝﹣b2a＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误；
D、对于直线y＝﹣bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
故本题选：A．
9．（2022·江都一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，交y轴于点（0，﹣1），有如下结论：①abc＜0；②b﹣2a＝0；③若A（﹣3，y1），B（2，y2）在该函数的图象上，则y1＞y2；④关于x的不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2．其中结论正确的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣b2a＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴b﹣2a＝0，②正确；
∵抛物线与y轴交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∴abc＜0，①正确；
∵A（﹣3，y1）到对称轴的距离小于B（2，y2）到对称轴的距离，抛物线开口向上，
∴y1＜y2，③错误；
∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣2，﹣1），
∴不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2，④正确．
故本题选：A．
10．（2021·蕉岭模拟）已知抛物线y＝a（x﹣3）2+254过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x＝3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（　　）

A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【解析】解：由抛物线y＝a（x﹣3）2+254可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+254过点C（0，4），
∴4＝9a+254，解得：a＝﹣14，
∴抛物线的解析式为y＝﹣14（x﹣3）2+254，
令y＝0，则﹣14（x﹣3）2+254＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）；
∴AB＝10，
∴AD＝5，
∴OD＝3，
∵C（0，4），
∴CD＝OC2+OD2＝5，
∴CD＝AD，
∴点C在圆上，故②错误；
过点C作CE∥AB，交抛物线于E，
将y＝4代入y＝﹣14（x﹣3）2+254，得：4＝﹣14（x﹣3）2+254，
解得：x＝0或x＝6，
∴CE＝6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；
由抛物线y＝a（x﹣3）2+254可知：M（3，254），
∵C（0，4），
∴直线CM为：y＝34x+4，直线CD为：y＝﹣43x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD＝AD＝5，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故本题选：B．

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
11．（2022·香坊月考）若函数y＝（m﹣2）x6-m2﹣mx﹣1是关于x的二次函数，则m＝　　．
【解析】解：∵函数y＝（m﹣2）x6-m2﹣mx﹣1是关于x的二次函数，
∴6﹣m2＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故本题答案为：﹣2．
12．（2021·平阳月考）若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不论p取何值都过定点A，则点A坐标为　　．
【解析】解：∵不论p取何值，抛物线恒过某定点P，
∴令p＝0，则y＝2x2+1，令p＝1，则y＝2x2﹣x+5，
联立方程得：y=2x2+1y=2x2-x+5，解得：x=4y=33，
∴A的坐标为（4，33）．
故本题答案为：（4，33）．
13．（2022·天心三模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是　　．
【解析】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x＝﹣-2a2a＝1，
二次函数的图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（4，0），
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积为﹣8．
故本题答案为：﹣8．
14．（2021·甘州期末）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+2与x轴有两个交点，则整数k的最小值是　　．
【解析】解：由题意得：（2k+1）2﹣4（k2+2）＞0，解得：k＞74，故整数k的最小值是2．
故本题答案为：2．
15．（2022·鼓楼一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为　　．
【解析】解：把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣ax2+bx﹣2，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，
∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴y＝﹣ax2+bx﹣2的最小值为﹣6，
∴y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为：﹣6+4＝﹣2．
故本题答案为：﹣2．
16．（2021·兴化模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是　　．

【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，
即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣2＜x＜3．
故本题答案为：﹣2＜x＜3．
17．（2022·相城自招）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，14}＝14”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为　　．
【解析】解：如图，将y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2画在同一个坐标系中，

易得点A的坐标为（﹣1，﹣1），点B的坐标为（0，0），
由题意可知：关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}，即y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2的不同范围内的部分图形，
①当x≤﹣1时，y＝﹣x﹣2，当x＝﹣1时，有最小值为﹣1；
②当﹣1≤x≤0时，y＝﹣x2，当x＝﹣1时，有最小值为﹣1；
③当x＞0时，y＝2x，当x＝0时，有最小值为0．
综上，关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为﹣1．
故本题答案为：﹣1．
18．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是　　．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
∴a+b+c＝﹣1 ①，a﹣b+c＝1 ②，
①+②得：a+c＝0，即a与c互为相反数，
①﹣②得：b＝﹣1；
∴抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），
∴对称轴为x＝12a，
（1）当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，
∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
画图可知，当12a≤﹣1时符合题意，此时﹣12≤a＜0，

（2）当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0，
画图可知，当12a≥1时符合题意，此时0＜a≤12，

综上，a的取值范围是﹣12≤a＜0或0＜a≤12．
故本题答案为：﹣12≤a＜0或0＜a≤12．

三、解答题（本题共8小题，共66分。）
19．（2022·通州月考）（6分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【解析】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：-1-b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
20．（2022·南通月考）（6分）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，请用含有m的代数式表示x1和x2；
（3）在（2）的条件下若|x1﹣x2|＝6，求m的值．
【解析】（1）证明：∵Δ＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）＝（5m+1）2，
∵m≠0，
∴（5m+1）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）解：当y＝0时，mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0，
∴x＝5m-1±5m+12m，
∴x1＝5，x2＝﹣1m；
（3）解：∵x1＝5，x2＝﹣1m，
而|x1﹣x2|＝6，
∴|5+1m|＝6，
①当5+1m＝6，解得：m＝1；
②当5+1m＝﹣6，解得：m＝﹣111．
综上，m的值为1或﹣111．
21．（2022·沂南一模）（8分）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜m3时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【解析】解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得：3＝4a+8a+3a，
解得：a＝15，
∴函数y的表达式y＝15x2+45x+35；
（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝4a-2a＝﹣2，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵x＜m3时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴m3≤﹣2，即m≤﹣6；
（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，
①当a＞0 时，开口向上，
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴a＝38；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3．
综上，a＝38或a＝﹣3．
22．（2022·江阴月考）（6分）据统计，某景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【解析】解：①由题意得：
100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元），
答：景区六月份的门票总收入为798万元；
②设丙种门票价格降低x元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意得：W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），
化简得：W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝24时，W取最大值，为817.6万元，
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．
23．（2022·南通月考）（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．

【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，
∴0=a-b+c0=9a+3b+c-3=0+0+c，解得：a=1b-2c=-3，
∴抛物线的函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，

点A是关于直线l成轴对称，MA+MC＝BM+MC，
当且仅当点B、M、C三点共线时，MB+MC取到最小值，即为点M到点A，点C的距离之和最短，
设直线BC的解析式为：y＝kx+m，
∵直线BC经过点C（0，﹣3），点B（3，0），
∴-3=0+m0=3k+m，解得：k=1m=-3，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴直线l为：x＝1，
联立方程得：x=1y=x-3，解得：x=1y=-2，
∴点M的坐标为（1，﹣2）．
24．（2022·常熟模拟）（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C为y轴上一点，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）经过A、C、B三点，点D是抛物线的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求证：S△AOC＝12S△BCD；
（3）当△BCD为直角三角形时，求m的值．

【解析】（1）解：y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）证明：∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，
∴顶点D坐标（1，﹣4m），
∵当x＝0时，y＝﹣3m，
∴C（0，﹣3m），
∴OA＝1，OC＝﹣3m，OB＝3，
∴S△AOC＝12OA•OC＝﹣3m2，
如图，连接DO，

∴S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△BCO＝12×（﹣3m）•1+12×3×（﹣4m）﹣12×3×（﹣3m）＝2×（﹣3m2），
∴S△AOC＝12S△BCD；
（3）解：由（1），（2）知：点D（1，﹣4m），C（0，﹣3m），B（3，0），
∴CD2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，
DB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，
BC2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，
当△BCD为直角三角形时，分两种情况：
①当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2，
解得m1＝﹣1，m2＝1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；
②当∠BDC＝90°时，有CD2+DB2＝BC2，
解得m1＝﹣22，m2＝22（∵m＜0，∴m＝22舍去）．
综上，m＝﹣1或﹣22时，△BDM为直角三角形．
25．（2022·沭阳模拟）（11分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移210个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．

【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
令y＝0，得：x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为（﹣3，0）；
（2）如图，延长DE交x轴于点K，

∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴n=-3-3k+n=0，
解得：k=-1n=-3，
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，
设D（t，t2+2t﹣3），其中﹣3＜t＜0，
∴E（（t，﹣t﹣3），K（t，0），
∴DE＝﹣t2﹣3t，KE＝t+3，
∵S1＝S△ADC＝12DE•OA＝32（﹣t2﹣3t）＝﹣32t2﹣92t，
S2＝S△AEO＝12EK•OA＝32（t+3）＝32t+92，
∴S1﹣S2＝﹣32t2﹣92t﹣（32t+92＝﹣32t2﹣6t﹣92）＝﹣32（t+2）2+32，
∴当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为32，
此时点D的坐标为（﹣2，﹣3）；
（3）∵C（0，﹣3），B（1，0），
∴BC＝10，
∵抛物线沿射线CB方向平移210个单位长度，
∴抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+1﹣2）2﹣4+6＝（x﹣1）2+2，
当x＝0时，y＝3，
∴M（0，3），
∵原抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设N（﹣1，n），
①当AM＝AN时，9+9＝4+n2，
∴n＝±14，
∴N（﹣1，14）或N（﹣1，﹣14）；
②当AM＝MN时，9+9＝1+（3﹣n）2，
∴n＝3+17或n＝3﹣17，
∴N（﹣1，3+17）或N（﹣1，3﹣17）．
综上，N点坐标为（﹣1，14）或（﹣1，﹣14）或（﹣1，3+17）或（﹣1，3﹣17）．
26．（2022·开州期中）（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（52，0），直线y＝x+12与抛物线交于C、D两点，与坐标轴交于E、F两点．点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当2PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和2PG+PQ的最大值；
（3）将抛物线向右平移134个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当（2）中2PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标．


【解析】解：（1）把A（﹣1，0），B（52，0）代入y＝x2+bx+c，
得：1-b+c=0254+52b+c=0，
解得：b=-32c=-52，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣32x﹣52；
（2）如图1，延长PQ交直线CD于点H，

∵直线y＝x+12与坐标轴交于E、F两点．
∴E（﹣12，0），F（0，12），
∴OE＝OF＝12，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EFO＝45°，
∵PQ∥y轴，即PQ∥EF，
∴∠PHG＝∠EFO＝45°，
∵PG⊥CD，
∴PH＝2PG，
设P（t，t2﹣32t﹣52），则H（t，t+12），Q（t，0），
∴PH＝t+12﹣（t2﹣32t﹣52）＝﹣t2+52t+3，PQ＝﹣（t2﹣32t﹣52）＝﹣t2+32t+52，
∴2PG+PQ＝PH+PQ＝﹣t2+52t+3+（﹣t2+32t+52）＝﹣2t2+4t+112＝﹣2（t﹣1）2+152，
∵﹣2＜0，
∴当t＝1时，2PG+PQ取得最大值152，此时，点P的坐标为（1，﹣3）；
（3）存在点N，使以点A，P，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵A（﹣1，0），B（ 52，0），
∵原抛物线的对称为：直线x＝34，
∴新抛物线的对称轴为：直线x＝4，并设对称轴与x轴的交点为T；
由（2）知P（1，﹣3），
∴AP＝-1-12+0--32＝13．
设点M的坐标为（4，s），点N的坐标为（m，n），
（一）当AP为菱形的边时，
①如图，以点P为圆心，AP长为半径作圆，交直线x＝4于点M1，M2，过点P作PR⊥y轴交直线x＝4于点R，

此时PM1＝PM2＝AP＝13，PR＝3，
由勾股定理可得：M1R＝M2R＝2，
∴M1T＝1，M2T＝5，
∴M1（4，﹣1），M2（4，﹣5），
∵A（﹣1，0），P（1，﹣3），
∴点A向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度可得到点P，
∴点M1（4，﹣1）向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度可得到点N1（2，2），
点M2（4，﹣5）向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度可得到点N2（2，﹣2）；
②以点A为圆心，AP长为半径作圆，
∵AT＝5，且5＞13，
∴此圆与直线x＝4无交点；此时不存在点N，不能构成菱形．
（二）当AP为菱形的对角线时，MN为另一对角线，AP与MN互相垂直平分，如图，

设MN与直线x＝4的交点为M3，
∵点A（﹣1，0），P（1，﹣3），
∴直线AP的解析式为：y＝﹣32x﹣32，AP的中点为（0，﹣32），
∴直线MN的解析式为：y＝23x﹣32．
∴M3（4，76），
由中点坐标公式可知：N3（﹣4，﹣256）．
综上，点N的坐标为N1（2，2），N2（2，﹣2），N3（﹣4，﹣256）．