第7章 锐角三角函数【题型专练】——2022-2023学年苏科版数学九年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

第7章 锐角三角函数

题型一：锐角三角函数的定义

典例1-1．（2022·高新期中）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是　　

A． B． C． D．

变式1-1．如图，已知，，，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

典例1-2．（2021·高州期末）在中，，若的三边都缩小3倍，则的值　　

A．缩小3倍 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定

变式1-2．（2022·姑苏期中）在直角三角形中，若各边都扩大为原来的2倍，则其锐角的三角函数值　　

A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的一半 

C．都没有变化 D．不能确定

题型二：锐角三角函数的增减性

典例2．若，则下列说法不正确的是　　

A．随的增大而增大 

B．随的增大而减小 

C．随的增大而增大 

D．、、的值都随的增大而增大

变式2．下列不等式中能成立的是　　

A． B． 

C． D．

题型三：同角三角函数的关系

典例3-1．在中，，，则等于　　．

变式3-1．已知为锐角且，则等于　　．

典例3-2．在中，，若，则　　．

变式3-2．中，，，则　　．

题型四：互余两角三角函数的关系

典例4-1．（2021·望奎模拟）中，，如果，那么的值为　　

A． B． C． D．不能确定

变式4-1．（2021·潜山开学）锐角满足，则　　．

典例4-2．（2021·工业园月考）三角函数、、之间的大小关系是　　

A． B． 

C． D．

变式4-2．（2021·广陵开学）若锐角满足，则的取值范围是　　．

典例4-3．设，则用可表示为　　

A． B． C． D．

变式4-3．（2021秋•龙凤区期中）若，则锐角　　．

题型五：利用特殊角的三角函数直接求值

典例5-1．（2022·广陵期末）计算：

（1）；

（2）．

变式5-1．（2021·崇川月考）计算：

（1）；

（2）．

典例5-2．若，则的大致范围是　　

A． B． C． D．

变式5-2．若锐角三角函数，则的范围是　　

A． B． C． D．

题型六：利用特殊角的三角函数反向求角

典例6-1．（2022·清江浦月考）求下列等式中的锐角

（1）；

（2）．

变式6-1．（2022·淮安模拟）（1）已知．求锐角的度数．

（2）已知．求锐角的度数．

典例6-2．（2021·乾县期末）在中，，则的度数为　　．

变式6-2．在中，若，则的度数为　　．

典例6-3．（2023·未央三模）若，则的度数估计在　　

A．在和之间 B．在和之间 

C．在和之间 D．在和之间

变式6-3．如果为锐角，，那么　　

A． B． C． D．

典例6-4．（2021·商河模拟）当为锐角，且时，的范围是　　

A． B． C． D．

变式6-4．已知，则锐角的取值范围是　　

A． B． C． D．

题型七：直接解直角三角形

典例7-1．（2022·姑苏期中）根据下列条件解直角三角形：

（1）在中，，，；

（2）在中，，，．

变式7-1．（2022·虎丘期中）（1）在中，．已知，，求，，；

（2）如图，在中，，，为上一点，，．求的长．

典例7-2．（2022·兴华期末）如图，在中，，于点，，，那么　　．

变式7-2．（2022·徐州期末）如图，在中，已知是边上的高，，，，则的值为　　．

题型八：利用辅助线构造解直角三角形

典例8-1．（2021·金坛月考）如图，点，，在正方形网格的格点上，则等于　　

A． B． C． D．

变式8-1．（2022·清江浦开学）如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为　　

A． B． C． D．1

典例8-2．如图在中，，是边的中点，，垂足为点．已知，．

（1）求线段的长；

（2）求的值．

变式8-2．（2022·靖江月考）如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，．

（1）求的长；

（2）求的正切值．
 

典例8-3．（2022·睢宁模拟）如图，中，，，，于，若将绕点逆时针方向旋转得到，当点恰好落在上，连接．则的长为　　

A． B． C． D．4

变式8-3．（2022·惠山期中）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点，若，，则的长为　　

A．5 B． C． D．

典例8-4．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在四边形中，与相交于点，，，，则　　．

变式8-4．（2022·姑苏期中）小华同学学习了《解直角三角形》后，对求三角形的面积方法进行了研究，得到了新的结论．

（1）如图1，已知锐角．求证：．

（2）根据题（1）得到的信息，请完成下题：如图2，在等腰中，，点从点出发，沿着边移动，点从点出发，沿着边移动，点的速度是，点的速度是点速度的2倍，若它们同时出发，设移动时间为．当为何值时，？

典例8-5．（2021·灌云月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，，延长至点，使得，连接，易知，，所以

任务：

（1）请根据上面的步骤，完成的计算．

（2）类比这种方法，画出图形，并计算的值．

变式8-5．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．

（1）初步尝试：我们知道：　　，　　，发现结论：　　（填“”或“” ；

（2）实践探究：如图1，在中，，，，求的值；小明想构造包含的直角三角形：延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．

请按小明的思路进行余下的求解：

（3）拓展延伸：如图2，在中，，，．

①　　；

②求的值．

题型九：解直角三角形——与圆相结合

典例9．（2022·锡山一模）如图，已知，两点的坐标分别为，，点，分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，的值是　　

A． B． C． D．

变式9．（2022·锡山二模）已知：如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一动点（不与，重合），连接，将沿翻折得，连接，，当线段的长取最大值时，的值为　　

A． B． C． D．

题型十：解直角三角形的应用——坡度、坡角问题

典例10-1．（2022·靖江期中）一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为　　

A．700米 B．米 C．米 D．米

变式10-1．（2022·工业园期中）2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为　　米．

典例10-2．（2022·江阴月考）如图，某公路紧邻一个山坡，坡面与地平面平行，斜坡米，坡比，为防止山体滑坡，有关单位准备对斜坡进行改造，将斜坡改为，坡度为，请求出的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，

变式10-2．（2022·高新期中）如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度为，坝顶宽米，坝高5米．求：

（1）坝底宽的长（结果保留根号）；

（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶加宽0.5米，背水坡的坡度改为，求横截面增加的面积．（结果保留根号）

题型十一：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题

典例11．（2022·苏州期末）如图，测绘飞机在同一高度沿直线由向飞行，且飞行路线经过观测目标的正上方．在第一观测点处测得目标的俯角为，航行1000米后在第二观测点处测得目标的俯角为，求第二观测点与目标之间的距离．

变式11．（2022·邳州期末）某地为庆祝2023年元旦来临，在银杏广场举行无人机表演，点、处各有一架无人机，它们在同一水平线上，与地面的距离为．此时，点到点处的俯角为，点到点处的俯角为，点到点处的俯角为，点到点处的仰角为．求两架无人机之间的距离的长．

题型十二：解直角三角形的应用——方向角问题

典例12．（2022·东海二模）如图轮船从岛向岛行驶，岛位于码头的正南方向80海里处，在处测得码头在的北偏西方向上，轮船行驶60海里到达岛，此时测得岛在岛的北偏东方向上，码头在的北偏西方向上，已知码头，都在码头的正西方向，求码头与码头之间的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：，，，

变式12．（2022·高新月考）如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上．

（1）求的距离；

（2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）