第7章 锐角三角函数【单元检测】——2022-2023学年苏科版数学九年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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第7章  锐角三角函数

（时间：120分钟，满分：130分）

一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）

1．（2022•宝塔期中）在中，，，．下列四个选项中正确的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：在直角中：．

、，选项错误；

、，选项正确；

、，选项错误；

、，选项错误．

故本题选：．

2．已知，则锐角的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，，余弦函数随角增大而减小，

．

故本题选：．

3．（2022•兴化期末）在中，，，则的值为　　

A． B． C． D．2

【解析】解：如图，

，

，

设，则，

，

．

故本题选：．

4．（2022•宣州一模）下列计算错误的个数是　　

①；

②；

③；

④．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】解：，而，因此①是错误的；

，因此②是正确的；

，因此③是错误的；

，，因此④是错误的；

综上，错误的有①③④，共3个．

故本题选：．

5．（2021•潍坊期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解析】解：．

故本题选：．

6．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是　　

A． B． C． D．

【解析】解：如图，取格点，连接，，

观察图象可知，，，共线，，

，，

．

故本题选：．

7．（2022•广陵期末）如图，边长为1的小正方形网格中，点、、、在格点上，连接、，点在上且满足，则的正切值是　　

A． B．7 C． D．

【解析】解：如图，连接，

，是中点，

，

，

点、、、在以为圆心，1为半径的同一个圆上，

，

．

故本题选：．

8．（2022•历下期末）某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小聪所在小组想测量古塔的高度，经研究得出一个测量方案如下：在点用距离地面高度为米的测角器测出古塔顶端的仰角为，然后沿方向前进米到达点，用同样的测角器测出古塔顶端的仰角为，小聪小组计算出的古塔高度约为　　米．

A． B． 

C． D．

【解析】解：观察图象可知，四边形是矩形，

，

设，

在中，，

，

在中，，

，

，即，

，

答：古塔的高度为．

故本题选：．

9．（2022•仪征二模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则　　

A．2 B． C．3 D．

【解析】解：如图，过作于，延长交于，

依题意可知，，，，

在中，，

在中，，

，

，

，

．

故本题选：．

10．（2022•姑苏月考）已知：如图，点是直线外一点，点到直线的距离是4，点、点是直线上的两个动点，且，则线段的长的最小值为　　

A． B． C．3 D．4

【解析】解：如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于，

在中，，

的值最小时，的值最小，

，

当，，共线时，的值最小，此时的值最小，

直线垂直平分线段，

，

，

，，

，

，

，

，

可以假设，，

，

，

，

，

，解得：，

的最小值．

故本题选：．

二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）

11．（2021·怀宁期末）在中，，，则　　．

【解析】解：在中，，

，

．

故本题答案为：．

12．（2022·江阴月考）若，则锐角　　．

【解析】解：，

，解得：．

故本题答案为：70．

13．比较大小：　　（填“”、“ ”或“” ．

【解析】解：，，

，

．

故本题答案为．

14．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为，宽为，为方便残疾人士，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为点，斜坡的起点为点，准备设计斜坡的坡度，则的长度是　　．

【解析】解：如图，作，
 

则，

斜坡的坡度，

，

．

故本题答案为：270．

15．（2022·嘉裕期末）在中，，则的形状是　　．

【解析】解：由题意得：，，

解得：，，

，．

，

是等边三角形．

故本题答案为：等边三角形．

16．在中，，，，则的长为　　．

【解析】解：如图，过作（或的延长线）于点，

（1）如图①，中，，，

，，

在中，，，

由勾股定理，得：，

；

（2）如图②，同（1）可求得：，．

则；

综上，．

17．如图，是的中线，，，，求线段的长　　．

【解析】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
 

在中，，，

，，

，

又是的中线，

，

，

，，

在中，，

由，可得：，

在中，，

，

在中，，

．

故本题答案为：．

18．（2022•虎丘模拟）如图，在四边形中，与相交于点，，，，则　　．

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，
 

，

，，

，，

又，

，

，

，

，

，

设，

由，得：，

，，，

，

．

故本题答案为：．

三．解答题（本题共10小题，共76分。）

19．（2021·岱岳月考）（6分）计算：

（1）；

（2）．

【解析】解：（1）原式

；

（2），，

原式．

20．（2022·清江月考）（6分）求下列等式中的锐角

（1）；

（2）．

【解析】解：（1），

，

，

；

（2），

，

，

，

．

21．（2022·姑苏期中）（6分）根据下列条件解直角三角形：

（1）在中，，，；

（2）在中，，，．

【解析】解：（1），，

，

，

，

，，；

（2）在中，，，，

，

，

，

，

，，．

22．（8分）如图，在中，，，，的平分线交边于点，延长至点，且，连接．

（1）求线段的长；

（2）求的面积．

【解析】解：（1）如图，过点作，垂足为点，
 

平分，，

，

则，

，，，

，

，

，

，即；

（2），

，

，

．

23．（2021•鄞州期末）（8分）如图，是的外接圆，点在延长线上，且满足．

（1）求证：是的切线；

（2）若是的平分线，，，求的半径．

【解析】（1）证明：如图，连接，与相交于点，
 

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是的半径，

是的切线；

（2）解：是的平分线，

，

，

，

，，

在中，

，

，

，

，

设的半径为，则，

在中，

，

，

解得：．

24．（2022•高新期中）（8分）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，．

（1）求的长；

（2）垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？

【解析】解：（1），

设，，

，

，

，

，解得：，

，，

，

答：的长为；

（2）如图，过点作于点，
 

，

，

，

，

，

显示屏的顶部比原来升高了．

25．（2021•姜堰月考）（8分）如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔．游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上．

（1）求点到线段的距离；

（2）求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：，

【解析】解：（1）如图，过点作，垂足为，

由题意可得，，，

在中，，

是等腰直角三角形，

由题意得，，

，

即点到线段的距离为40海里；

（2），

，

，

，

，

，

，

（海里），

答：处与灯塔相距109海里．

26．（2023·青岛一模）（8分）如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为．测得在点的仰角，测得在点的仰角．求银幕的高度．（参考数据：，，，，，

【解析】解：如图，延长、交于、，

由题意知，，

在中，，

，即，

在中，，

，即，

，，

，

，

，

，解得：，

，

答：银幕的高度约为．

27．（2022•海陵月考）（8分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．

（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？

（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．

（参考数据：，，

【解析】解：（1）如图，连接，

由题意知，筒车每秒旋转，

在中，，

，

盛水筒首次到达最高点的时间：（秒；

（2）如图，

盛水筒浮出水面3.4秒后，，

，

过点作于，

在中，（米，

盛水筒距离水面距离为：（米；

（3）如图，

点在上，且与相切，

当点在上时，此时点是切点，连接，则，

在中，，

，

在中，，

，

，

（秒，

至少经过7.6秒恰好在直线上．

28．（10分）已知：，，以为一边作正方形，使、两点落在直线的两侧．

（1）如图，当时，求及的长；

（2）当变化，且其它条件不变时，求的最大值，及相应的大小．

【解析】解：（1）①如图，作于点，

中，，，

，

，，

在中，，

；

②解法一：如图，因为四边形为正方形，可将绕点顺时针旋转得到△，
 

可得：△，，．

，，

，

；

解法二：如图，过点作的平行线，与的延长线交于，与的延长线交于，
 

在中，可得：，，，

在中，可得：，，

在中，可得：；

（2）如图，将绕点顺时针旋转得到△，的最大值即为的最大值，

△中，，，，

且、两点落在直线的两侧，

如图，当、、三点共线时，取得最大值，

此时，即的最大值为6，则的最大值为6，

此时度．