第二十八章 锐角三角函数【单元检测】——2022-2023学年人教版数学九年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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第二十八章 锐角三角函数
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．如果∆ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（   ）
A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．
【详解】三角形各边长度都扩大为原来的3倍，
∴得到的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的正弦、余弦值不变，
故选：C．
【点睛】三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化．
2．（2021·黑龙江·大庆市第六十九中学九年级阶段练习）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为 （　　）

A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求解即可；
【详解】由图可知：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确利用勾股定理和正弦的定义求解是解题的关键．
3．（2022·湖北·武汉市江夏区第一初级中学一模）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：由勾股定理得，，
所以，．
故选：．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（　　）

A．55m B．60m C．65m D．70m
【答案】C
【分析】本题根据迎水坡坡比以及DE长度求解AE，根据背水坡坡比以及CF长度求解BF，最后将AE、EF、BF长度相加即可求得AB．
【详解】解：由题已知：四边形CDEF为矩形，
∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
又∵EF=CD=10m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，即坡度坡角问题，解题关键是确定坡度比的比例关系，其次注意计算要仔细．
5．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又∵动力臂，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
6．（2019·湖南怀化·中考真题）已知为锐角，且，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】∵为锐角，且，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2022·重庆梁平·九年级期中）计算：________．
【答案】5
【分析】原式利用零指数幂法则、二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算，即可得到结果．
【详解】解：
=
=
=4+1
=5
故答案为：5．
【点睛】此题考查了零指数幂法则、二次根式的乘法法则以及二次根式的性质，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝_____．
【答案】60°
【分析】利用正弦定义计算即可．
【详解】解：如图，

∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．
9．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为______米．

【答案】3.2
【分析】根据三角函数定义可知，可得的长，再根据，即可解答．
【详解】解：由题意可得：，

解得

故答案为3.2
【点睛】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是利用三角函数的定义求得的长．
10．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．

【答案】
【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
11．（2022·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为_____米．

【答案】1200
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．
【详解】解：作交于点，如图所示，

，，
，
，
，
故答案为：1200．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
12．如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于___米．

【答案】2
【分析】由题意知CE＝2BC，CD＝2AC，进而得到CD＝DE+CE＝4+2BC，由BE∥AD得到△BCE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到＝＝，化简即可求出AB．
【详解】解：由题意知，DE＝4，
∴CE＝2BC，CD＝2AC，
∴CD＝DE+CE＝4+2BC，
∵AD∥BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，
∴＝＝，
∴BC+AB＝2+BC，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．（2022·河南周口·九年级期末）计算：．
【答案】
【分析】先求特殊角三角函数值，再计算即可．
【详解】解：，
=
=
=．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数的运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．
14．（2022·山西实验中学九年级阶段练习）如图，富邦城即将建造一个大型摩天轮，工程师介绍若你站在距离摩天轮40米处（点），以的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（点），以的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（点）．（人的身高忽略不计）

（1）求摩天轮的底部（点）到地面（点）的距离；（精确到个位）
（2）求摩天轮的圆轮直径（即）．（精确到个位）（参考数据：）
【答案】（1）22米；（2）摩天轮直径为56米
【分析】首先分析图形根据题意构造直角三角形．在RT△ABC和RT△ABD中，根据三角函数可求BC和BD的长，从而求解．
【详解】（1）（米）
（2）（米）
（米）
答：底部到地面距离为22米，摩天轮直径为56米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答此题的关键是此题的两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条边．
15．如图，菱形中，，F是中点，连接，，垂足是E．

（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等，对角相等，又由∠D=120°可得∠A=∠C=60°，则△ABD、△CBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出BF垂直平分AD，易得∠AFB=∠CEB，所以由角角边可得△ABF≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等，即可得BF=BE；
（2）由（1）得△ABF是直角三角形，∠A=60°，解三角形求出AB，即可求得菱形ABCD和Rt△ABF的面积，菱形面积减去两个直角三角形的面积即可．
【详解】（1）证明：连接BD

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=CB=CD=AD，∠A=∠C=60°，
∵F是AD中点，BE⊥DC，
∴△ABD、△CBD是等边三角形，
∵F是AD中点，BE⊥DC，
∴BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CEB =90°，
∵∠A=∠C，AB=CB，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴BF=BE；
（2）由（1）得△ABF是直角三角形，∠A=60°，
∵BF=，sin60°=，
∴AB=CB=CD=AD=4，AF=AB=2，
∴=，=，
∴四边形BEDF的面积==．
【点睛】本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，解直角三角形．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．

(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
【答案】(1)4
(2)

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
（1）
解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝，
∴BD＝BC－CD＝，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
（2）
解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴＝．
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
∴＝，＝．
∴＝．
∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG，
∴．

【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
17．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．

(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
【答案】(1)
(2)的余弦为

【分析】（1）利用正切函数求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；
（2）取CD的中点F，利用梯形中位线定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函数的定义即可求解．
（1）
解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，
∴=，即=，
∴DE=4，
由勾股定理得CE=；
（2）
解：取CD的中点F，连接EF，

∵E是AB的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中，，，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
即的余弦为．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2019·湖北荆门·中考真题）如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上处放一面镜子，向后退到处，恰好在镜子中看到楼的顶部；再将镜子放到处，然后后退到处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部（在同一条直线上），测得，如果小明眼睛距地面高度，为，试确定楼的高度．

【答案】32米
【分析】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，先根据镜面反射的基本性质，得出，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
【详解】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，

由题意可知且、
∴
∴
∴
即：
∴
∴
答：楼的高度为米.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键.
19．（2018·辽宁锦州·中考真题）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者．在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米．为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数．参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4）

【答案】云梯需要继续上升的高度约为9米．
【分析】过点作于点，于点，在中，求得AD的长；在中，求得CD的长，根据即可求得BC的长．
【详解】过点作于点，于点，

∵，
∴，
∴四边形为矩形．
∴米．
∴（米），
由题意可知，，，
∵，
∴，
在中，，
∴（米）．
在中，，
∴（米）．
∴（米）．
答：云梯需要继续上升的高度约为9米．
【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．
20．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．

（1）求证：．
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析1；（2）
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：在中，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
∵
∴
在中，，.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．（2022·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)或

【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；
（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；
（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解．
（1）
解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
（2）
解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或；
（3）
解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH=，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，

，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
22．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结，在（2）的条件下，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，的半径为2，
，
，
如图，连接，

是的直径，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，连接，

在中，，，
，
．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点F，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据SAS证明即可得到结论；
（2）证明即可得出结论；
（3）先证明，连接，证明，设，，在上取点M，使得，连接，证明为等边三角形，得，根据可求出，得，，过点H作于点N，求出，再证，根据可得结论．
（1）
如图1．∵点D，点E分别是半径的中点

∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴；
（2）
如图2．∵，
∴

由（1）得，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
（3）
如图3．∵，
∴
∴

连接．∵
∴，
∴，
∵
设，
∴
在上取点M，使得，连接
∵，
∴
∴，
∴为等边三角形
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
过点H作于点N
，
∴，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．