第一章 集合与常用逻辑用语【过题型】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc112310490" 考查题型1 元素与集合的关系 PAGEREF _Tc112310490 \h 1
\l "_Tc112310491" 考查题型2 利用元素与集合的关系求参数 PAGEREF _Tc112310491 \h 3
\l "_Tc112310492" 考查题型3 （真）子集的个数 PAGEREF _Tc112310492 \h 5
\l "_Tc112310493" 考查题型4 已知集合关系求参数 PAGEREF _Tc112310493 \h 6
\l "_Tc112310494" 考查题型5 集合运算综合运用 PAGEREF _Tc112310494 \h 8
\l "_Tc112310495" 考查题型6 由集合运算的结果求参数 PAGEREF _Tc112310495 \h 10
\l "_Tc112310496" 考查题型7 充分、必要条件的判定 PAGEREF _Tc112310496 \h 12
\l "_Tc112310497" 考查题型8 充分性必要性的证明 PAGEREF _Tc112310497 \h 15
\l "_Tc112310498" 考查题型9 全称、特称命题真假的判断 PAGEREF _Tc112310498 \h 18
\l "_Tc112310499" 考查题型10 全称特称求参数 PAGEREF _Tc112310499 \h 20
考查题型1 元素与集合的关系
1．集合P=xx=2k,k∈Z，Q=xx=2k+1,k∈Z，M=xx=4k+1,k∈Z，若a∈P，b∈Q，则一定有（ ）．
A．a+b∈PB．a+b∈Q
C．a+b∈MD．a+b不属于P，Q，M中任意一个
【答案】B
【解析】
若a∈P，b∈Q，则a=2k1，b=2k2+1，k1，k2∈Z，
所以a+b=2k1+k2+1，k1+k2∈Z，所以a+b∈Q．
故选：B.
2．已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A．4∈MB．2∈MC．0∉MD．-4∉M
【答案】A
【解析】
根据题意，分4种情况讨论；
①、x、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=-4；
②、x、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=0；
③、x、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=0；
④、x、y、z全部为正数时，则xyz也正数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=4；
则M={4,0,-4}；分析选项可得A符合．
故选：A.
3．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称M,N为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M=x∈Qx<0，N=x∈Qx>0满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【解析】
对于选项A，因为M=x∈Qx<0，N=x∈Qx>0，M∪N={x∈Qx≠0}≠Q，故A错误；
对于选项B，设M=x∈Qx<0，N=x∈Qx≥0，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m,n)使M∪N=Q不成立；若m=n，则M∩N=∅不成立，故C错误；
对于选项D，设M=x∈Qx<2，N=x∈Qx≥2，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．
故选:BD．
4．用符号“∈”和“∉”填空：
（1）12______N； （2）1______Z-； （3）-2______R；
（4）π______Q+； （5）32______N； （6）0______∅．
【答案】 ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉
【解析】
由N,Z-,R,Q+,∅所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）∉（2）∉（3）∈（4）∉（5）∈（6）∉.
故答案为：（1）∉（2）∉（3）∈（4）∉（5）∈（6）∉.
5．已知集合A={x|x=m+6n,其中m,n∈Q}．
(1)试分别判断x1=-6，x2=2-3+2+3与集合A的关系；
(2)若x1，x2∈A，则x1x2是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．
【答案】(1)x1∈A，x2∈A
(2)x1x2∈A，理由见解析
【解析】
(1)x1=-6=0+6×(-1)∈A，即m=0,n=-1符合；
x2=(3-1)22+(3+1)22=6=0+6×1∈A，即m=0,n=1符合.
(2)x1x2∈A．理由如下：
由x1，x2∈A知：存在m1，m2，n1，n2∈Q，使得x1=m1+6n1，x2=m2+6n2，
∴x1x2=(m1+6n1)(m2+6n2)=(m1m2+6n1n2)+6(m1n2+m2n1)，其中m1m2+6n1n2，m1n2+m2n1∈Q，
∴x1x2∈A.
考查题型2 利用元素与集合的关系求参数
1．设集合A=2,3,a2+4a+2，集合B=0,7,a2+4a-2,2-a，这里a是某个正数，且7∈A，求集合B．
【答案】B＝{0，7，3，1}．
【解析】
由题得a2+4a+2=7， 解得a=1或a=-5.
因为a>0，所以a=1.
当a=1时， B＝{0，7，3，1}.
故集合B＝{0，7，3，1}．
2．已知集合 A=0,m,m2-3m+2，且 2∈A，则实数m的值为（ ）
A．3B．2C．0或3D．0或2或3
【答案】A
【解析】
因为A=0,m,m2-3m+2，且2∈A，所以m=2或m2-3m+2=2，解得m=2或m=0或m=3，当m=2时m2-3m+2=0，即集合A不满足集合元素的互异性，故m≠2，当m=0时集合A不满足集合元素的互异性，故m≠0，当m=3时A=0,3,2满足条件；
故选：A
3．已知集合M=a,2a-1,2a2-1，若1∈M，则M中所有元素之和为（ ）
A．3B．1C．-3D．-1
【答案】C
【解析】
若a=1，则2a-1=1，矛盾；
若2a-1=1，则a=1，矛盾，故2a2-1=1，
解得a=1（舍）或a=-1，
故M=-1,-3,1，元素之和为-3，
故选：C.
4．已知集合A=2,a+1,a2+3a+3，且1∈A，则实数a的可能值为（ ）
A．0B．-1C．1D．-2
【答案】ABD
【解析】
已知集合A=2,a+1,a2+3a+3且1∈A，则a+1=1或a2+3a+3=1，
解得a=0或a=-1或a=-2.
若a=0，则A=2,1,3，合乎题意；
若a=-1，则A=2,0,1，合乎题意；
若a=-2，则A=2,-1,1，合乎题意.
综上所述，a=0或a=-1或a=-2.
故选：ABD.
5．已知集合A=a,1,a2-5a+6，若2∈A，则实数a的值构成的集合为_________．
【答案】{2,4}
【解析】
因为集合A=a,1,a2-5a+6，且2∈A
所以2=a或2=a2-5a+6
（1）当a=2时，此时a2-5a+6=0，A=2,1,0符合题意.
（2）当2=a2-5a+6时，解得a=1或a=4
当a=1时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；
当a=4时，A=2,1,4符合题意.
综上可知实数a的值构成的集合为{2,4}
故答案为：{2,4}
考查题型3 （真）子集的个数
1．满足{2,3}⊆P⊊{2,3,4,5,6}的集合P的个数为______________．
【答案】7
【解析】
∵{2,3}⊆P⊊{2,3,4,5,6}
∴集合P中至少有2个元素，最多有4个元素.
当集合P中有2个元素时，集合P可为：{2,3};
当集合P中有3个元素时，集合P可为：{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6};
当集合P中有4个元素时，集合P可为：{2,3,4,5},{2,3,4,6},{2,3,5,6};
故答案为：7.
2．已知集合A=1,2,3,5,10,B={x∣x为质数}，则A∩B的非空子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．16
【答案】B
【解析】
结合交集的运算易得A∩B=2,3,5，共含有3个元素，其非空子集个数为23-1=7.
故选：B.
3．设集合A=x|(x-a)(x-3)=0,B=3,5，则A∪B的子集个数可能为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】BC
【解析】
当a≠3时，A={3,a}，则：
若a≠5，则A∪B={3,5,a}，子集有8个，
若a=5，则A∪B={3,5}，子集有4个；
当a=3时，A={3}，此时A∪B={3,5}，其子集有4个；
综上，A∪B的子集个数可能为4或8个.
故选：BC.
4．若集合A=xk+1x2+x-k=0有且仅有两个子集，求实数k的值．
【答案】-1或-12
【解析】
由条件，知A中只有一个元素．
当k=-1时，A=-1．
当k≠-1时，Δ=1+4kk+1=0，解得k=-12，此时A=-1．
综上所述，实数k的值为-1或-12．
5．已知集合A=1，2，4，6，B=2，3，4，6，7，则A∩B的子集的个数为（ ）
A．2，4，6B．1，2，3，4，6，7C．7D．8
【答案】D
【解析】
因为集合A=1，2，4，6，B=2，3，4，6，7，
所以A∩B=2,4,6，所以A∩B的子集的个数为23=8个.
故选：D
考查题型4 已知集合关系求参数
1．设A=xx2-8x+12=0，B=xax-1=0，若A∩B=B，则实数a的值不可以是（ ）
A．0B．16C．12D．2
【答案】D
【解析】
由题意，A=2,6，因为A∩B=B，所以B⊆A，若a=0，则B=∅，满足题意；
若a≠0，则B=1a，因为B⊆A，所以1a=2或1a=6，则a=12或a=16.
综上：a=0或a=12或a=16.
故选：D.
2．已知集合A=-1,1，B=xkx=1，且B⊆A，则实数k的值可以为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】ABC
【解析】
由题意，集合A=-1,1，B=xkx=1，且B⊆A，
当k=0时，集合B=∅，满足B⊆A，符合题意；
当k≠0时，集合B=1k，要使得B⊆A，则满足1k=1或1k=-1，解得k=1或k=-1，
结合选项，实数k的值可以为-1,0,1.
故选：ABC.
3．已知集合A=x3x2-2x-5<0，B=xx>a，若A∪B=B，则实数a的取值范围为（ ）
A．-∞,53B．-∞,53C．-∞,-1D．-∞,-1
【答案】C
【解析】
依题意A=x3x2-2x-5<0=x(3x-5)(x+1)<0=x-1故选：C
4．集合A=1,4,a2，B=4,a，若A⊇B，则a的值为__________.
【答案】0
【解析】
因为A⊇B，所以a∈A，
显然a≠4，
若a=1，则a2=1与集合元素的互异性矛盾，舍去；
若a=a2，则a=0或a=1（舍去），
综上，a=0．
故答案为：0．
5．已知集合A=x-5(1)若B=xx≥m，A∪B=B，求实数m的取值范围；
(2)若B={x|xm}，A∪B=R，求实数m的取值范围．
【答案】(1)mm≤-5
(2)m-3【解析】
（1）由A∪B=B，知A⊆B，所以m≤-5，即实数m的取值范围为mm≤-5．
（2）由题意，得m-2>-5m≤2，解得-3考查题型5 集合运算综合运用
1．设全集U={-2,-1,0,1,2}，集合A=x∣x2=4,B=x∣x2+x-2=0，则 ∁U(A∪B)=（ ）
A．{-2,-1,1,2}B．{-2,-1,0}C．{-1,0}D．{0}
【答案】C
【解析】
因为A=xx2=4=-2,2,B=xx2+x-2=0=1,-2，
所以A∪B=-2,1,2，
因为全集U={-2,-1,0,1,2}，
所以∁U(A∪B)= {-1,0}，
故选：C
2．若全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,9，A=1,2,3,5，B=1,2,4,6,7,8，则∁UA∩∁UB=（ ）
A．∅B．3,4,5,6,7,8,9C．9D．1,2
【答案】C
【解析】
由题意可得∁UA={4,6,7,8,9},∁UB={3,5,9}，
故∁UA∩∁UB={9}，
故选：C
3．已知集合U={1,2,3,4,5,6}，M=2,3,5,N=1,3，则（ ）
A．M∪N=1,2,3,5B．∁UM∩∁UN=3
C．∁UN∩M=2,5D．∁UM∪N=1,3,4,6
【答案】ACD
【解析】
对于A选项，M=2,3,5,N=1,3，M∪N=1,2,3,5，故正确；
对于B选项，∁UM∩∁UN=1,4,6∩2,4,5,6=4,6，故错误；
对于C选项，∁UN∩M=2,4,5,6∩2,3,5=2,5，故正确；
对于D选项，∁UM∪N=1,4,6∪1,3=1,3,4,6，故正确.
故选：ACD
4．已知全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则A∩（∁UB）＝__________.
【答案】｛2，8｝
【解析】
全集U＝n∈N|1≤n≤10＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
因为B＝{1，3，5，7，9}，所以∁UB=2,4,6,8,10.
而A＝{1，2，3，5，8}，所以A∩（∁UB）=｛2，8｝.
故答案为：｛2，8｝.
5．已知集合A=x|3≤x<10，集合B=x|(x-2)(x-4)<0，
(1)求A∪B；
(2)求(∁RA)∩B．
【答案】(1)x|2(2)x|2【解析】
(1)由题意得，B=x|2∴A∪B=x|2(2)∁RA=x<3或x≥10，
∴∁RA∩B=x|2考查题型6 由集合运算的结果求参数
1．已知集合M，N均为R的子集，且∁RM∩N=∅，则M∩N=（ ）
A．∅B．MC．ND．R
【答案】C
【解析】
因集合M，N均为R的子集，且∁RM∩N=∅，如图，
则有N⊆M，所以M∩N=N.
故选：C
2．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若A∩∁RB有三个元素，则实数m的取值范围是（ ）
A．[3，4）B．[1，2）C．[2，3）D．（2，3]
【答案】C
【解析】
根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，∁RB=xx≤m，
若A∩∁RB有三个元素，则有2≤m<3，
即实数m的取值范围是[2，3）；
故选：C
3．已知U=R,A={x|3x-7⩾8-2x}，B={x|1<2a-x}，若A∩∁UB=A，则实数a的取值范围可以为（ ）
A．a⩾2B．a⩽2C．a>2D．a<2
【答案】BD
【解析】
由题意知A={x|x≥3}，B={x|x<2a-1}，
∴∁UB={x|x≥2a-1}，
由A∩CUB=A，∴A⊆∁UB，
则2a-1≤3，解得a≤2.
所以选项BD，满足条件.
故选：BD．
4．已知集合A=x|8【答案】-∞,92
【解析】
当B=∅时，2a-1≤a，解得：a≤1，此时∁UB=U，
∁UB∩A=U∩A=x|8当B≠∅时，2a-1>a，解得a>1，
因为集合U=x|0所以∁UB=x|0因为∁UB∩A=x|8所以2a-1≤8，解得：a≤92，
所以B≠∅时，1综上所述：实数a的取值范围是-∞,92.
故答案为：-∞,92.
5．已知集合A=x∈N13(1)当a=12时，求A∩B；
(2)若______，求实数a的取值范围．
请从①A∪B=B，②A∩B=∅，③A∩∁RB≠∅这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)A∩B=2,3
(2)答案见解析
【解析】
（1）由题意得，A=x∈N13当a=12时，B=x12x-1≥0=xx≥2．∴A∩B=2,3．
（2）选择①．
∵A∪B=B，∴A⊆B．
当a=0时，B=∅，不满足A⊆B，舍去；
当a>0时，B=xx≥1a，要使A⊆B，则1a≤1，解得a≥1；
当a<0时，B=xx≤1a ，此时1a<0，不满足A⊆B，舍去．
综上，实数a的取值范围为1,+∞．
选择②．
当a=0时，B=∅，满足A∩B=∅；
当a>0时，B=xx≥1a，要使A∩B=∅，则1a>3，解得0当a<0时，B=xx≤1a，此时1a<0，A∩B=∅．
综上，实数a的取值范围为-∞,13．
选择③．
当a=0时，B=∅，∁RB=R，∴A∩∁RB=A≠∅，满足题意；
当a>0时，B=xx≥1a，∁RB=xx<1a，要使A∩∁RB≠∅，则1a>1，解得0当a<0时，B=xx≤1a，∁RB=xx>1a，此时1a<0，A∩∁RB=A≠∅，满足题意．
综上，实数a的取值范围为-∞,1．
考查题型7 充分、必要条件的判定
1．“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当x为整数时，2x+1必为整数；
当2x+1为整数时，x比一定为整数，
例如当2x+1=2时，x=12.
所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
2．若x∈R，则“x=1”是“x3=x”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要
【答案】A
【解析】
由x3=x得xx2-1=0，即xx-1x+1=0，解得x=-1或x=1或x=0，
所以由“x=1”能得到“x3=x”，而由“x3=x”不能推出“x=1”，
所以“x=1”是“x3=x”是充分非必要的条件.
故选：A.
3．对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C．“a<5”是“a<3”的必要条件
D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】
A：由a=b有ac=bc，当ac=bc不一定有a=b成立，必要性不成立，假命题；
B：若a=1>b=-2时a2C：a<5不一定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，真命题；
D：a+5是无理数则a是无理数，若a是无理数也有a+5是无理数，故为充要条件，假命题.
故选：ABD
4．若a，b∈R，则“a-ba2≥0”是“a≥b”的______条件．
【答案】必要不充分
【解析】
因为a2≥0，所以由a-ba2≥0，得a-b≥0或a2≥0，
即a≥b或a=0，
所以“a-ba2≥0”是“a≥b”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
5．判断下列各题中，p是q的什么条件．（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选择一种作答）
(1)p：x-y=0，q：xy=1；
(2)p：三角形是锐角三角形，q：三角形的内角中有锐角；
(3)p：m>n，q：mn>1；
(4)p：a=±2，q：直线y=-2x+a与两坐标轴围成的三角形的面积等于1．
【答案】(1)必要不充分条件
(2)充分不必要条件
(3)既不充分又不必要条件
(4)充要条件
【解析】
（1）若x=y=0，则x-y=0成立，xy=1不成立；
但当xy=1时，必有x=y，即x-y=0成立．
故p是q的必要不充分条件．
（2）若三角形是锐角三角形，则其内角都是锐角；
但当三角形的内角中有锐角时，该三角形不一定是锐角三角形，
也可能是直角三角形或钝角三角形．
故p是q的充分不必要条件．
（3）若m=2，n=-2，显然有m>n，但mn=-1<1；
若m=-4，n=-2，则有mn=2>1，但m即p不能推出q，q也不能推出p．
故p是q的既不充分又不必要条件．
（4）若直线y=-2x+a与两坐标轴围成的三角形的面积等于1，
则12⋅a⋅a2=1，解得a=±2．
故p是q的充要条件．
考查题型8 充分性必要性的证明
1．已知a，b∈R，证明：“a≥2且b≤4”是“关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根，且两根均小于2”的充分条件．
【答案】证明见解析
【解析】
由a≥2且b≤4，得a≥2，-4≤b≤4，
则方程x2+2ax+b=0的判别式Δ=4a2-4b≥0，所以该方程有两根，不妨设方程两根分别为x1、x2，
因为x1-2x2-2=4+4a+b>0，x1-2+x2-2=-2a-4<0，所以x1<2且x2<2﹒
2．已知m，n∈R，证明:m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
【答案】证明见解析
【解析】
①(必要性)∵m2-n2=1，
∴m2=n2+1，
∴m4-n4=(m2+n2)(m2-n2)
=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1，
∴m4-n4=2n2+1成立;
②(充分性)∵m4-n4=2n2+1，
∴m4=n4+2n2+1=(n2+1)2，
∴m2=n2+1，即m2-n2=1，
∴m2-n2=1成立.
综上，m4-n4=2n2+1成立的充要条件是m2-n2=1.
3．（1）若关于x的不等式ax2-2x+3≤0在x∈R上有解，求实数a的取值范围；
（2）证明：关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解的充要条件是a=1.
【答案】（1）
-∞,13；
（2）证明见解析.
【解析】
（1）①当a=0时，-2x+3≤0，解得：x≥32，满足题意；
②当a<0时，令y=ax2-2x+3，则此二次函数开口向下，必满足题意；
③当a>0时，Δ=4-12a≥0，解得：a≤13；
综上所述：实数a的取值范围为-∞,13；
（2）充分性：若a=1，则x2-2x+3≤2x2-2x+3≥-2⇒(x-1)2≤0x2-2x+5≥0⇒x=1x∈R⇒x=1，
∴关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解
必要性：若关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解
①当a=0时，-2≤-2x+3≤2，即12≤x≤52，不满足条件，舍去；
②当a≠0时，令y=ax2-2x+3，
若a>0时，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向上，∴函数的最小值为2，
∴12a-44a=2，∴a=1；
若a<0时，则函数y=ax2-2x+3的图象开口向下，
∴函数的最大值为-2，∴12a-44a=-2，∴a=15（舍）；
由①②知：a=1.
综上所述：关于x的不等式-2≤ax2-2x+3≤2恰有一个实数解的充要条件是a=1.
4．对命题"a>0且b>0"的充要条件是"a+b>0且 ab>0".给出如下证法：必要性：若a>0且b>0，由不等式性质得a+b>0且 ab>0.充分性：若a+b>0且ab>0，考查函数f(x)=x2-(a+b)x+ab,当 x≤0时，有f(x)>0.从而其逆否命题：“若f(x)≤0,则 x>0”为真命题.因f(a)=f(b)=0,故 "a>0且b>0"成立.阅读上述材料，并利用上述方法证明：“a<0,b<0,c<0”的充要条件是“ a+b+c<0,ab+bc+ca>0,abc<0”.
【答案】证明见解析
【解析】
必要性：若a<0,b<0,c<0，由不等式性质得a+b+c<0,ab+bc+ca>0,abc<0；
充分性：若a+b+c<0,ab+bc+ca>0,abc<0，
考查函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc,
当x≥0时，有f(x)>0.从而其逆否命题：“若f(x)≤0,则 x<0”为真命题.
因f(a)=f(b)=f(c)=0,故 "a<0，b<0,c<0"成立.
综上：“a<0,b<0,c<0”的充要条件是“a+b+c<0,ab+bc+ca>0,abc<0”.
5．已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z}，证明：“x∈A”的充分条件是“x∈B”；但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.
【答案】（1）8∈A，9∈A，10∉A；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为4k,k∈Z．
【解析】
（1）8=32-12，9=52-42，8∈A，9∈A，
假设10=m2-n2，m,n∈Z，则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10，且|m|+|n|>|m|-|n|>0，
∴10=1×10=2×5，则{|m|+|n|=10|m|-|n|=1或{|m|+|n|=5|m|-|n|=2，显然均无整数解，
∴10∉A，
综上，有：8∈A，9∈A，10∉A；
（2）集合B={x|x=2k+1,k∈Z}，则恒有2k+1=(k+1)2-k2，
∴2k+1∈A，即一切奇数都属于A，又8∈A，而8∉B
∴“x∈A”的充分条件是“x∈B”；但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件；
（3）集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}，m2-n2=(m+n)(m-n)成立，
①当m，n同奇或同偶时，m+n,m-n均为偶数，(m+n)(m-n)为4的倍数；
②当m，n一奇，一偶时，m+n,m-n均为奇数，(m+n)(m-n)为奇数，
综上，所有满足集合A的偶数为4k,k∈Z．
考查题型9 全称、特称命题真假的判断
1．下列结论中正确的是（ ）
A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题
B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题
【答案】C
【解析】
当n＝1时，2n2+5n+2不能被2整除，
当n＝2时，2n2+5n+2能被2整除，
所以A、B、D错误，C项正确．
故选：C．
2．命题p：存在一个实数﹐它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是（ ）
A．¬p：任意实数，它的绝对值是正数，¬p为假命题
B．¬p：任意实数，它的绝对值不是正数，¬p为假命题
C．¬p：存在一个实数，它的绝对值是正数，¬p为真命题
D．¬p：存在一个实数，它的绝对值是负数，¬p为真命题
【答案】A
【解析】
因为命题p“存在一个实数﹐它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定¬p为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为0=0，所以¬p为假命题；
故选：A
3．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；
④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“∀x∈R，x2+1<0”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0，则¬p:∀x∈R,x2+2x+1>0，故③错误；
对于④：ac2>bc2可以推出a>b，所以a>b是ac2>bc2的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
4．下列语句是假命题的是______（填序号）．
①所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立；
②存在一个实数x0，使x02-3x0+6<0成立；
③存在一个实数x0，使x02-3x0+6=0．
【答案】②③
【解析】
因为在x2-3x+6=0中，Δ=-32-4×6=-15<0，
所以x2-3x+6=0无解，x2-3x+6>0恒成立．
所以所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立；①是真命题，
不存在实数x0，使x02-3x0+6<0成立，②是假命题，
不存在实数x0，使x02-3x0+6=0，③是假命题，
所以②③是假命题．
故答案为：②③.
5．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号)
①有的实数是整数；
②三角形是多边形；
③矩形的对角线互相垂直；
④∀x∈R，x2＋2>0；
⑤有些素数是奇数．
【答案】②③④
【解析】
①有的实数是整数表示存在实数，是整数，不是全称命题；
②三角形是多边形，表示任意的三角形都是多边形，是全称命题；
③矩形的对角线互相垂直，表示所有的矩形的对角线互相垂直，是全称命题；
④∀x∈R，x2＋2>0，表示任意的实数x，满足x2+2>0是全称命题；
⑤有些素数是奇数．表示存在素数是奇数，不是全称命题．
故答案为：②③④
考查题型10 全称特称求参数
1．已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+3>0是真命题，那么a的取值范围是（ ）
A．a<13B．013D．a≤13
【答案】C
【解析】
当a=0时，ax2+2x+3=2x+3>0仅当x>-32时成立，不符合题意；
当a≠0时，若∀x∈R,ax2+2x+3>0成立，
则a>022-4×3a<0，解之得a>13
综上，a的取值范围是a>13
故选：C
2．若命题“已知y=x-1，∀x∈R，有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．1,+∞B．-1,+∞
C．-∞,-1D．-∞,-1
【答案】C
【解析】
由y=x-1，得y≥-1，要使∀x∈R，有m≤y，只需m≤-1，
所以实数m的取值范围是-∞,-1
故选：C．
3．已知命题p：“∀x∈1,2，a≥x+1”，命题q：“∃x∈R，2x2+5x+a=0”，p的否定是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】3,258
【解析】
由∀x∈1,2，a≥x+1得，a≥3，因p的否定是假命题，则p是真命题，于是得a≥3，
因∃x∈R，2x2+5x+a=0，即方程2x2+5x+a=0有实根，则Δ=25-8a≥0，解得a≤258，
又q是真命题，则a≤258，
因此，由p是真命题，q也是真命题，可得3≤a≤258，
所以实数a的取值范围是3,258.
故答案为：3,258
4．若命题P:∀x∈R，x2+22x+a-1⩾0是真命题，则实数a的取值范围是____________．
【答案】[3，+∞)．
【解析】
因为命题P:∀x∈R，x2+22x+a-1⩾0是真命题，
所以x2+22x+a-1⩾0对∀x∈R恒成立，
则有Δ=(22)2-4(a-1)⩽0，解得a⩾3，
故实数a的取值范围是[3，+∞)．
故答案为：[3，+∞)．
5．已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m-1，且B≠∅．
(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围。
【答案】(1)2≤m≤3
(2)2≤m≤4
【解析】
（1）因为命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，又B≠∅，
所以m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5，解得2≤m≤3
（2）因为B≠∅，所以m+1≤2m-1，得m≥2．
又命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，
若A∩B=∅，且B≠∅时，则2m-1<-2或m+1>5，且m≥2
即m>4
故若A∩B≠∅，且B≠∅时，有2≤m≤4
故实数m的取值范围为2≤m≤4