第三章函数的概念与性质【过关测试】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

第三章  函数的概念与性质

考试时间：120分钟，满分：150分

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：函数的图像的对称轴为，

因为函数在区间上单调递增，

所以，解得，

所以的取值范围为，

故选：D

2．设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

3．函数f（x）满足f（x），则f（3）的值为_____．

【答案】﹣2

【解析】由，所以，

又，

所以，

故答案为：

4．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

5．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】 是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.

6．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

7．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】解：因为，所以，

因为奇函数是定义在上的单调函数，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B

8．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】不等式为(*)，

当时，(*)式即为，，

又（时取等号），

（时取等号），

所以，

当时，(*)式为，，

又（当时取等号），

（当时取等号），

所以，

综上．故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．给出下列命题，其中是真命题的是（       ）

A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，1]；

B．函数的单调递减区间是；

C．若定义在上的奇函数在区间上是单调递增，则在区间上也是单调递增的；

D．定义域内存在两个值，，且，若，则是减函数.

【答案】AC

【解析】解：对于A，若函数的定义域为，

则函数的定义域为，故A正确；

对于B，函数的单调递减区间是和，故B错误；

对于C，若定义在上的奇函数在区间上是单调增函数，

则在区间上也是单调增函数，故C正确；

对于D，应该是任意，不能是存在，故D错误.

故答案为：AC.

10．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（       ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.

所以，

显然在定义域上为增函数，所以A正确.

的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.

当时，，即，所以C正确.

当若时，

=

=.

即成立，所以D正确.

故选：ACD.

11．函数的图像可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】由题可知，函数，

若时，则，定义域为：，选项C可能；

若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为 选项B可能；

若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能，

故不可能是选项D，

故选：

12．已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（       ）．

A．是偶函数 B．的周期

C． D．在单调递减

【答案】ABC

【解析】由的图象关于直线对称，则，

即，故是偶函数，A正确；

由，令，可得，则，

则的周期，B正确；

，故C正确；

又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，

故D错误.

故答案为：ABC

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，函数若，则___________.

【答案】2

【解析】，故，

故答案为：2.

14．已知，则x的取值范围是________．

【答案】

【解析】，

所以.

故答案为：

15．已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.

16．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.

【答案】

【解析】分类讨论：当时，方程即，

整理可得：，

很明显不是方程的实数解，则，

当时，方程即，

整理可得：，

很明显不是方程的实数解，则，

令，

其中，

原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.

结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，

同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，

结合观察可得，实数的取值范围是.

四、解答题：共6小题，其中第1大题10分，其余题目每题12分，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．函数，，其中表示不超过的最大整数，例，.

（1）写出的解析式；

（2）作出相应函数的图象；

（3）根据图象写出函数的值域.

【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）.

【解析】（1）当时，，所以，

当时，，所以，

当时，，所以，

综上；

（2）图象如图所示：；

（3）由图象可得的值域为

18．已知函数满足对一切都有，且，当时有．

（1）求的值；

（2）判断并证明函数在R上的单调性；

（3）解不等式：．

【答案】（1）；（2）在R上是减函数；证明见解析；（3），或．

【解析】解：（1）令，得，则，

再令，得，

即，从而．

（2）任取，

．

，即．

在R上是减函数．

（3）由条件知，，

设，则，即，

整理，得，解得，

而，不等式即为，

又因为在R上是减函数，，即，

，从而所求不等式的解集为或．

19．已知函数，.

(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

(2)当时，求函数的最大值；

(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】（1）        

因为函数在区间上单调递增，且函数是连续不间断的，

所以，解得，故所求实数的取值范围是.

（2）当时，函数在上单调递增，上单调递增，在单调递减，

所以，当时取得最大值.

（3）由不等式恒成立知，，所以，        

当时，故恒成立；                 

当时，函数在上单调递减，上单调递减，在单调递增，

所以，当时取得最小值成立，       

综上所述，实数的取值范围是.

20．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且x>1时，f(x)>0.

(1)求f()的值；

(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；

(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.

【答案】（1）-1 ； （2）见解析； （3）{x|}．

【解析】(1)对于任意x，y∈R都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，

∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.

当x＝2，y＝时，有f(2×)＝f(2)＋f()，

即f(2)＋f()＝0，又f(2)＝1，∴f()＝－1.

(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：

设0<x1<x2，则f(x1)＋f()＝f(x2)，

即f(x2)－f(x1)＝f()．

∵>1，故f()>0，

即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

(3)由(1)知，f()＝－1，∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()

＝f( (8x－6))＝f(4x－3)   

∴f(2x)>f(4x－3)，

∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴

解得解集为{x|}．

21．已知()是偶函数，当时，．

(1) 求的解析式；

(2) 若不等式在时都成立，求m的取值范围．

【答案】(1) f(x)＝   (2)

【解析】（1）设x＜0时，则－x＞0，

∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x．

∴f(x)＝ ;

(2) 由题意得x2－2x≥mx在1≤x≤2时都成立，

即x－2≥m在1≤x≤2时都成立，

即m≤x－2在1≤x≤2时都成立，   

当1≤x≤2时，(x－2)min＝－1，   

则m≤－1．   

22．函数是定义在上的奇函数，且.

(1)确定的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)解关于的不等式.

【答案】(1)；

(2)增函数，证明见解析

(3)

【解析】(1)解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，

经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，

又，解得，

故；

(2)解：函数在上为增函数.证明如下：

在任取且，

则，

因为，

所以，即，

所以在上为增函数.

(3)解：因为为奇函数所以，

不等式可化为，即，

又在上是增函数，所以 ，解得

所以关于的不等式解集为.