第二章 一元二次函数、方程和不等式【过题型】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
考查题型1 不等式性质
1．已知a>b>c>0，则（       ）
A．2aba-c
C．1a-c>1b-c D．a-c3>b-c3
【答案】D
【解析】
解：对于A，因为a>b>c>0，所以a+a>b+a>b+c，即2a>b+c，故错误；
对于B，取a=3>b=2>c=1>0，则ab-c=3b>c>0，得a-c>b-c>0，所以1a-cb>c>0，得a-c>b-c>0，所以a-c3>b-c3，故正确.
故选：D.
2．若a>b>0，c0 ，
∴-ac>-bd，即acb>0,cbc B．如果a>b，那么ac2>bc2
C．如果a>b，那么ac>bc D．如果a>b，cb-d
【答案】D
【解析】
对于A，如果c=0，那么ac=bc，故错误；       
对于B，如果c=0，那么ac2=bc2，故错误；
对于C，如果cb-d，故正确.
故选：D.
4．设ab，则a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)[(a+b2)2+b24]>0，
故A正确；
对于B，当c=0时，ac2=bc2，故B不正确；
对于C，不妨取a=1,b=-1 ，则1a>1b，故C错误；
对于D，若a>b，c>d，不妨取a=2,b=1,c=-1,d=-2 ，则ac=bd，D错误，
故选：A
考查题型2 比较大小
1．（1）已知a≥b>0，求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；
（2）已知a∈R，且a≠1，比较a+2与31-a的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【解析】
（1)3a3+2b3-3a2b+2ab2
=3a2a-b+2b2b-a
=a-b3a2-2b2 ，
因为a≥b>0，所以a-b≥0，3a2-2b2>0 ，
所以a-b3a2-2b2≥0，
故3a3+2b2≥3a2b+2ab2 .
(2)a+2-31-a=a+21-a-31-a=a2+a+1a-1 ．
由于a2+a+1=a+122+34≥34>0，所以当a>1时，a2+a+1a-1>0，即a+2>31-a；当aa3b2+a2b3．
【答案】详见解析
【解析】
a5+b5-a3b2-a2b3=a3a2-b2+b3b2-a2
=a2-b2a3-b3=a+ba-ba-ba2+ab+b2
=a+ba-b2a2+ab+b2
因为a>b>0，所以a+b>0,a-b2>0,a2+ab+b2>0，
所以a5+b5-a3b2-a2b3>0，
即a5+b5>a3b2+a2b3
3．（1）比较3x2-x+1与2x2+x-1的大小；
（2）已知c>a>b>0，求证：ac-a>bc-b．
【答案】（1）3x2-x+1>2x2+x-1；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由3x2-x+1-2x2+x-1=x2-2x+2=x-12+1>0，
可得3x2-x+1>2x2+x-1．
（2）ac-a-bc-b=ac-b-bc-ac-ac-b=a-bcc-ac-b，
∵c>a>b>0，∴a-b>0，c-a>0，c-b>0，
∴a-bcc-ac-b>0，∴ac-a>bc-b．
4．已知a0， 则ab>1，a-b>0， (ab)a-b>1， 此时aabb>abba成立；
(2)若b>a>0， 则0abba总成立.
考查题型3 代数式的取值范围
1．已知实数x，y满足-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5，则z=9x-y的取值范围是（       ）
A．z-7≤z≤26 B．z-1≤z≤20
C．z4≤z≤15 D．z1≤z≤15
【答案】B
【解析】
令m=x-y，n=4x-y，则x=n-m3y=n-4m3，所以z=9x-y=83n-53m．因为-4≤m≤-1，所以53≤-53m≤203．因为-1≤n≤5，所以-83≤83n≤403，所以-1≤z≤20.
故选：B
2．已知1≤a≤2，-1≤b≤4，则a-2b的取值范围是（       ）
A．-7≤a-2b≤4 B．-6≤a-2b≤9
C．6≤a-2b≤9 D．-2≤a-2b≤8
【答案】A
【解析】
因为-1≤b≤4，所以-8≤-2b≤2，
由1≤a≤2，得-7≤a-2b≤4.
故选：A.
3．x-y≤0，x+y-1≥0，则z=x+2y的最小值是___________.
【答案】32
【解析】
设x+2y=mx+y+nx-y=m+nx+m-ny，则m+n=1m-n=2，解得m=32n=-12，
所以，z=x+2y=32x+y-12x-y≥32，
因此，z=x+2y的最小值是32.
故答案为：32.
4．若实数x，y，z，t满足2≤x≤y≤z≤t≤100则xy+zt的最小值为______.
【答案】25
【解析】
因为2≤x≤y≤z≤t≤10 0，所以zy≥1,
所以xy+zt≥2y+z100≥22z100y≥22100=25，
当且仅当2y=z100即yz=200时等号成立，
即xy+zt的最小值为25.
故答案为：25.
5．实数a，b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求3a-2b的取值范围．
【答案】(1)-2,3；
(2)-4,11.
【解析】
（1）解：由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4两式相加得，-4≤2a≤6，∴-2≤a≤3，
即实数a的取值范围为-2,3．
（2）解：设3a-2b=ma+b+na-b=m+na+m-nb，
则m+n=3m-n=-2，解得m=12n=52，
∴3a-2b=12(a+b)+52(a-b)，
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4．
∴-32⩽12(a+b)⩽1，-52⩽52(a-b)⩽10，
∴-4≤3a-2b≤11，
即3a-2b的取值范围为-4,11．
考查题型4 条件等式求最值
1．已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0，则（       ）
A．xy的取值范围是1,9
B．x+y的取值范围是2,+∞
C．x+4y的最小值是3
D．x+2y的最小值是42-3
【答案】BD
【解析】
对于A，因为x>0，y>0，所以x+y≥2xy，当且仅当x=y时取等号，
即3-xy≥2xy，解得00,3-x+y=xy≤x+y22，当且仅当x=y时取等号，
得x+y2+4x+y-12≥0，所以x+y≥2,
又3-x+y=xy>0，所以x+y0，y>0，x+y+xy-3=0，得x=-y+3y+1=-1+4y+1，
则x+4y=-1+4y+1+4y=4y+1+4y+1-5 ≥24y+1⋅4y+1-5=3，
当且仅当4y+1=4y+1，即y=0时等号成立,但y>0，
所以x+4y>3．（等号取不到）,故C错误；
对于D，由C的分析知：x>0，y>0,x=-1+4y+1,
x+2y=-1+4y+1+2y=4y+1+2y+1-3≥42-3，
当且仅当4y+1=2y+1，即y=2-1时等号成立，D正确，
故选：BD
2．已知a>0，b>0，a2+b2=1，则（       ）
A．ab的最大值为12 B．2ab+3a+b的最小值为22
C．a21+2b2的最大值为94 D．1a2+4b2的最小值为9
【答案】ABD
【解析】
因为a>0，b>0，a2+b2=1，
所以1≥2ab，即ab≤12，2ab+3a+b=a+b2+2a+b=a+b+2a+b≥22，当且仅当a=b=22时等号成立，则A，B正确．
a21+2b2=a21+21-a2=3a2-2a4=-2a2-342+89，当a2=34时取得最大值98，则C错误．
1a2+4b2=a2+b21a2+4b2=5+b2a2+4a2b2≥5+24=9，当且仅当b2=2a2=23时等号成立，则D正确．
故选：ABD
3．若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x2+y2的取值范围为______．
【答案】23,2
【解析】
由于x2+y2⩾2xy，(当且仅当|x|=|y|时取等号)，
∴-x2+y22≤xy≤x2+y22，又xy=1-x2+y2，
所以-x2+y22≤1-x2+y2≤x2+y22，
故23≤x2+y2≤2，即x2+y2的取值范围为23,2.
故答案为：23,2．
4．若正实数a,b,c满足2ab=2a+b,abc=2a+b+c，则c的最大值为________.
【答案】4
【解析】
因为abc=2a+b+c，2a+b=2ab
所以c=2a+bab-1=2abab-1，
又2ab=2a+b且2a+b≥22a⋅b，
所以2ab≥22a⋅b，
解得ab≥2，
=2abab-1=21-1ab
结合ab≥2知，c有最大值4.
故答案为：4.
5．已知正实数a，b，满足a+b=6，则aa2+1+bb2+1的最大值为___．
【答案】1+106
【解析】
解：因为正实数a，b，满足a+b=6，
则aa2+1+bb2+1=ab2+a+b+a2b(a2+1)(b2+1)=6(ab+1)(ab)2+a2+b2+1=6(ab+1)(ab)2-2ab+37=6(ab+1)(ab-1)2+36，
因为a+b=6，a>0，b>0，
所以00，∴2m+n=1≥22mn，
整理得mn≤18，当且仅当n=12m=14时取“=“，故选项A错误；
∵1m+1n=2m+n(1m+1n)=3+nm+2mn≥3+22，
当且仅当m=2-22n=2-1时取“=“，故选项B错误；
∵2m+n=1，∴2m+1+n+2=5，
∴2m+1+9n+2=152m+1+n+22m+1+9n+2
=1513+2n+2m+1+18m+1n+2≥1513+236=5，当且仅当m=0n=1时取“=“，
但已知m>0,故不等式中的等号取不到，
∴2m+1+9n+2>5，故选项C错误；
∵2m+n=1，
∴1=2m+n2=4m2+n2+4mn=4m2+n2+24m2⋅n2≤24m2+n2，
∴4m2+n2≥12，当且仅当n=12m=14时取“=“，故选项D正确，
故选：D
4．已知ab>0,a+b=1，则a+4bab的最小值为___________.
【答案】9
【解析】
因为ab>0,a+b=1，
所以a+4bab=a+b1b+4a=ab+4ba+5≥2ab⋅4ba+5=9，当且仅当ab=4ba时，等号成立.
所以a+4bab的最小值为9.
故答案为：9.
5．已知a,b∈R+，且a+2b=2ab，则2a+b的最小值为______．
【答案】92
【解析】
由a+2b=2ab，得12b+1a=1，
所以2a+b=2a+b12b+1a=ab+ba+52≥2ab⋅ba+52=92，当且仅当ab=ba12b+1a=1，即a=b=32时等号成立．
故答案为：92
考查题型6基本不等式求参数的取值范围
1．已知 x>0,y>0且1x+4y=1，若x+y>m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（       ）
A． x|x≥12 B．x|x≤-3} C．x|x≥1 D．x|-90，且1x+4y=1，
∴x+y=(x+y)(1x+4y)=5+yx+4xy≥2yx⋅4xy+5=9，
当且仅当x=3,y=6时取等号，∴(x+y)min=9，
由x+y>m2+8m恒成立可得m2+8m0,y>0，且x+2y=2xy，若不等式x+2y>m2+3m恒成立，则实数m的取值范围为________.
【答案】(-4,1)
【解析】
因为x>0,y>0，
所以x+2y=2xy≤x+2y22，解得x+2y≥4或x+2y≤0（舍去），当且仅当x=2y=2时等号成立，x+2y≥4
所以m2+3m