第四章指数函数与对数函数【过题型】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

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第四章  指数函数与对数函数考查题型1 指数对数的综合运算1．（1）； （2）.2．化简与求值：(1)(2).3．求下列各式的值：(1).(2)4．化简求值：(1)(2)5．计算：(1)；(2)；(3)．考查题型2 指数函数的图像与性质1．若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（    ）A． B． C． D．或2．设，，则是（    ）A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减3．函数的单调递增区间为______．4．若实数，满足，则_____（填）5．已知函数在上的值域为．(1)求a，b的值；(2)写出函数，的单调性（不需要证明），并解不等式．考查题型3  对数函数的图像与性质1．已知函数，若，则（    ）A． B．C． D．以上选项均有可能2．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ）A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c3．函数的单调递增区间是________．4．不等式的解集为______.5．已知函数，从以下两个函数①，②中选择一个作为函数的解析式，并解答下列问题.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的单调性(说明理由).考查题型4  比较大小1．设，则大小关系为（    ）A． B．C． D．2．记，则（    ）A． B．C． D．3．若，，，则，，的大小关系为________．4．已知函数，则a，b，c三者的大小关系是___________．5．分别比较下列各组数的大小：(1)，，；(2)，，；(3)与．考查题型5  指数函数、对数函数恒过定点1．已知函数（且），则函数的图像恒过定点______．2．指数函数恒过的定点为_______．3．已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．4．已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，求的值.5．已知函数（且）的图象恒过定点，求点的坐标．考查题型6  指数函数复合型函数的综合运用1．已知函数是定义在上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的值域；(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．2．已知函数（为常数，，且）的图象经过点，．(1)试确定函数的解析式；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．3．已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.(1)求实数a，b的值；(2)求函数在时的值域.4．已知且，函数， (1)求的单调区间和值域；(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；(3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围．5．已知函数（a为常数，且，）．请在下面三个函数：①；②；③中，选择一个函数作为，使得具有奇偶性．(1)请写出表达式，并求a的值；(2)当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围．考查题型7  对数函数复合型函数的综合运用1．已知是定义在上的偶函数，且时，且单调递增.(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.2．已知函数 （ 且 ）．(1)当 时，解不等式 ；(2)，，求实数的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在 ，使 在区间 上的值域是 ？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，试说明理由．3．已知函数，，且．(1)证明：在定义域上是增函数；(2)若，求的取值集合．4．已知函数.(1)若函数的定义域为，值域为，求的值；(2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围.5．已知函数．(1)若函数的定义域为，求实数的值；(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的值；(3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．考查题型8 零点区间或个数的判断1．设在区间上是连续变化的单调函数，且，则方程在内（　　）A．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．必有唯一实根2．函数的零点所在的区间是（    ）A． B． C． D．3．函数的零点个数为________．4．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，有如下的对应值表：123456789-5-724-13-4-5-2 则函数在上的零点个数至少____________个．5．已知函数的零点在区间上，则整数k的值为_________.考查题型9 根据零点求参数1．已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．2．若函数有两个零点，则整数a的值共有（    ）A．7个 B．8个 C．9个 D．17个3．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．4．若函数至少有个零点，则实数的范围为___________5．已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为________.1．Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为，其中是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r、C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，已知某地区的人口数据如下表；时间2010年2015年2020年…间隔年份t（单位：年）0510…人口数量（单位：万）8086.36892.076… 该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现Logistic函数能比较好地描述2010年起该地区的人口数量（单位：万）与间隔年份t（单位：年）的关系.(1)请估计该地区2030年的人口数量（结果保留3位小数）；(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a（结果保留3位小数）.参考数据；，，.2．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：x10202530110120125120 已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．(2)选择②，，（，）(3)121元【解析】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以，解得；（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:代入数据可得：，解得，，所以，（，）（3）由（2）可得，，所以，，所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，有最小值，且为121；当，时，为单调递减函数，所以当时，有最小值，且为124，综上，当时，有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．3．甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；(3)对两城市人口增长情况作出分析.参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.4．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼蓝（其覆盖面积为），这些凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与）可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份．（参考数据：，）．5．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%．（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③，．试分析这三个函数模型是否符合公司要求？（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？