1 第八章 立体几何初步(基本立体图形的概念、直观图、表面积和体积)【过题型】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第二册）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc26981" 题型一：识别空间几何体 PAGEREF _Tc26981 \h 1
\l "_Tc23909" 题型二：空间几何体展开图及最短距离问题 PAGEREF _Tc23909 \h 3
\l "_Tc11194" 题型三：空间几何体中截面的计算问题 PAGEREF _Tc11194 \h 4
\l "_Tc25966" 题型四：直观图及其还原问题 PAGEREF _Tc25966 \h 5
\l "_Tc7984" 题型五：空间几何体的表面积和体积 PAGEREF _Tc7984 \h 7
\l "_Tc32382" 题型六：空间几何体外接球问题 PAGEREF _Tc32382 \h 9
\l "_Tc14150" 题型七：空间几何体内切球问题 PAGEREF _Tc14150 \h 11
\l "_Tc21381" 题型八：空间几何体内切球和外接球综合问题 PAGEREF _Tc21381 \h 12
题型一：识别空间几何体
1．（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．多面体至少有个面
B．有个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
2．（2019秋·云南楚雄·高一统考期末）如图所示的是一个五棱柱，则下列判断错误的是（ ）
A．该几何体的侧面是平行四边形
B．该几何体有七个面
C．该几何体恰有十二条棱
D．该几何体恰有十个顶点
3．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆
B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥
4．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
5．（多选）（2022春·甘肃兰州·高一统考期末）下列说法不正确的是（ ）
A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B．绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥
C．用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
6．（2022春·河北张家口·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．平行六面体是四棱柱
B．不存在每个面都是直角三角形的四面体
C．棱台的侧棱延长后交于一点
D．用一个平行底面的平面去截圆锥，截下来的圆锥与原圆锥的体积比等于截下来的圆锥的高与原圆锥高的立方比
题型二：空间几何体展开图及最短距离问题
1．（2023·全国·高一专题练习）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A．B．C．3D．2
2．（2022秋·浙江杭州·高二校考期中）棱长为2的正方体中，E为的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）、两个动点从棱长为的正方体的顶点出发沿棱向前运动.动点运动的路线是，运动规则如下：第段与第段（其中是正整数）所在直线一定是异面直线.动点运动的路线是，它和点具有相同的运动规则.那么动点运动完段、动点运动完段后各自停止在正方体的某个顶点处，此时动点、的距离是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·高一课时练习）如图，一个矩形边长为1和2，绕它的长为2的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为______．
5．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）如图，一建筑工地有墙面与水平面垂直并交于，长为米的钢丝连接平面内一点与平面内一点，点距均为3米，分别为的三等分点，若在平面内一点向点连绳子，则的最短长度为__________米.
6．（2021秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）如图，三棱柱中，底面，，是上一动点，则的最小值是_______．
题型三：空间几何体中截面的计算问题
1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
2．（2023·高一课时练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江西上饶·统考一模）在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
5．（2023·全国·高三专题练习）某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·上海浦东新·高二校考期末）已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为___________.
题型四：直观图及其还原问题
1．（2023·高三课时练习）若△OAB的斜二测直观图为如图所示的，则原△OAB的面积为______．
2．（2023·全国·高一专题练习）在直角坐标系中水平放置的直角梯形，如图所示，已知为坐标原点，，，在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为__________．
3．（2022·全国·高三专题练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于轴，与平行于轴．已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为________．
4．（2020秋·江西吉安·高二永丰县永丰中学校考期中）如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是___________．
5．（2023·高一课时练习）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中，且，．求AB边的实际长度.
6．（2022·全国·高一专题练习）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
题型五：空间几何体的表面积和体积
1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
2．（2023·广东深圳·统考一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）棱柱的底面是边长为的正方形，且，，则此棱柱的体积为______．
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知菱形ABCD中，，，现将此菱形沿对角线BD对折，在折的过程中，当三棱锥体积最大时，______；当三棱锥表面积最大时，______.
5．（2022秋·上海虹口·高二上海财经大学附属北郊高级中学校考期中）如图，已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱.
(1)当时，求圆柱的体积；
(2)当为何值时，此圆柱的侧面积最大，并求出此最大值.
6．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，平面，点为侧棱上一个动点.
(1)求此直三棱柱的表面积；
(2)当最小时，求三棱锥的体积.
7．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
(1)求四棱锥的表面积；
(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
(3)若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
题型六：空间几何体外接球问题
1．（2023·江西上饶·统考一模）蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，，，，则该鞠（球）被平面PAB所截的截面圆面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·四川乐山·高二统考期末）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·山东东营·高二统考期末）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是等腰三角形，，且球O的直径，则该三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）已知在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________.
8．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知平行四边形中，，，.若沿对角线将折起到的位置，使得，则此时三棱锥的外接球的体积大小是______.
9．（2022秋·山东济宁·高三统考期末）三棱锥中，，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为__________.
题型七：空间几何体内切球问题
1．（2023·高一课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·广东广州·高二广州市第二中学校考期中）在中，，，现以为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知三棱柱中，，，平面平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（ ）
A．B．C．2D．4
5．（2022秋·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·浙江丽水·高一统考期末）如图，正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，点是上的动点，则的取值范围为____．
题型八：空间几何体内切球和外接球综合问题
1．（2022·全国·高三专题练习）若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（ ）
A．B．5C．D．
2．（2022秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．3D．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则（ ）
A．1B．C．D．
4．多选（2022·高一课时练习）（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段的最小值为，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体的外接球的表面积为B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为2D．线段的最大值为
5．（2022春·山西晋中·高一榆次一中校考期中）若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别为R，r，则外接球和内切球的表面积之比为______．
6．（2022·江西·校联考模拟预测）已知三棱锥三条侧棱、、两两互相垂直，且，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则、两点间距离的最小值为______.
7．（2022秋·湖南怀化·高二统考期中）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为______，四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为_______.