第九章 统计【过关测试】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第二册）

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第九章 统计
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023秋·四川绵阳·高二统考期末）现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（    ）
A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法，②随机数法
【答案】A
【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；
对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.
故选：A.
2．（2019春·安徽芜湖·高二芜湖一中校考期中）2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的众数是（    ）

A．45 B．47 C．48 D．63
【答案】A
【详解】根据茎叶图可知该样本的众数是45.
故选：A.
3．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（    ）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行）
84421  75331  57245  50688  77047  44767  21763
35025  83921  20676  63016  47859  16955  56719
A．572 B．455 C．169 D．206
【答案】B
【详解】由题所给随机数表：从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，
则牛奶抽到标号分别为：175,331,455，068,...
故第三袋牛奶的标号是：445，
故选：B
4．（河北省唐山市2023届高三一模数学试题）下表是足球世界杯连续八届的进球总数：
年份
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
2022
进球总数
141
171
161
147
145
171
169
172
则进球总数的第40百分位数是（    ）
A．147 B．154 C．161 D．165
【答案】C
【详解】将连续八届的进球总数从小到大排列为：，
由于，故进球总数的第40百分位数是第4个数据161，
故选：C
5．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击10次，得分情况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（    ）

乙射击环数
6
7
8
9
10
频数
1
2
2
2
3
A．甲比乙的射击水平更高
B．甲的射击水平更稳定
C．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
D．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
【答案】B
【详解】甲的平均数
乙的平均数
∵，∴乙的射击水平更高，故A错误；
甲的方差
乙的方差
∵，∴甲的射击水平更稳定，故B正确；
甲的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以甲的中位数是；
乙的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以乙的中位数是，
故甲射击成绩的中位数与乙射击成绩的中位数相等，故C错误；
甲的众数为9，乙的众数为10，故D错误.
故选：B.
6．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．下图为年我国消费者购买新式茶饮频次扇形图及月均消费新式茶饮金额条形图：
2021年消费者购买新式茶饮的频次
Frequency of Consumers Buying New Tea in 2021

2021年消费者月均消费新式茶饮的金额
Average Monthly Consumption of New Tea by Consumers in 2021

根据所给统计图，下列结论中不正确的是（    ）
A．每周消费新式茶饮的消费者占比超过
B．每天消费新式茶饮的消费者占比超过
C．月均消费元的消费者占比超过
D．月均消费新式茶饮超过元的消费者占比超过
【答案】D
【详解】对于A选项，每周消费新式茶饮的消费者占比为，A对；
对于B选项，每天消费新式茶饮的消费者占比为，B对；
对于C选项，月均消费元的消费者占比为，C对；
对于D选项，月均消费新式茶饮超过元的消费者占比为，D错.
故选：D.
7．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（    ）

A．甲乙两班同学身高的极差相等 B．甲乙两班同学身高的平均值相等
C．甲乙两班同学身高的中位数相等 D．乙班同学身高在以上的人数较多
【答案】D
【详解】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为，两班身高极差不相等，故A错误；
甲班同学身高的平均值为，
乙班同学身高的平均值为
显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B错误；
根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为，
所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C错误；
由茎叶图可知，甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4人，故D正确.
故选;D
8．（2023·全国·高二专题练习）佩带香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量（单位：克）与香囊功效之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均值为6克，香囊功效的平均值为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为（    ）
A．克 B．克 C．克 D．15克
【答案】B
【详解】设抽取的6个香囊中草药甲的含量为分别克，香囊功效分别为()，
因草药甲的含量的平均值为6克，香囊功效的平均值为15，即，，则有，
则这6个香囊中草药甲含量的方差，
所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为克．
故选：B
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023秋·广东广州·高二校联考期末）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一，如图是某地12月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）变化的折线图，则（    ）

A．这10日PM2.5日均值的80%分位数为60
B．前5日PM2.5日均值的极差小于后5日PM2.5日均值的极差
C．前5日PM2.5日均值的方差大于后5日PM2.5日均值的方差
D．这10日PM2.5日均值的中位数为43
【答案】BD
【详解】这个数据从小到大排列是：.
A选项，，
所以这10日PM2.5日均值的80%分位数为，A选项错误.
B选项，前5日PM2.5日均值的极差为，
后5日PM2.5日均值的极差为，B选项正确.
C选项，通过观察可知，前5日PM2.5日均值的波动程度小于后5日PM2.5日均值的波动程度，
所以前5日PM2.5日均值的方差小于后5日PM2.5日均值的方差，C选项错误.
D选项，中位数是，D选项正确.
故选：BD
10．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）下列说法正确的是（    ）
A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17
D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16
【答案】AD
【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确；
对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，
这组数据的方差是，故B错误；
对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；
对于D，依题意，，则，
所以数据的标准差为16，D正确；
故选：AD.
11．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（    ）
A．讲座前问卷答题的正确率都小于
B．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
C．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】AC
【详解】对于A，10名社区居民在讲座前问卷答题的正确率分别为，答题的正确率都小于，A正确；
对于B，将讲座前问卷答题的正确率从小到大排列为，
所以其中位数为，所以B错误，
对于C，由图可知，10位居民讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
，C正确；
对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差为，
讲座后问卷答题的正确率的极差,
所以讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，所以D错误，
故选：AC．
12．（2023·全国·高一专题练习）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间内的人数为16．则下列结论正确的是（    ）

A．样本容量
B．图中
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号
【答案】ABC
【详解】解：对于A：因为成绩落在区间内的人数为16，所以样本容量，故A正确；
对于B：因为，解得，故B正确；
对于C：学生成绩平均分为：，故C正确；
对于D：因为，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确．
故选：ABC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）
13．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：,则这15人成绩的第80百分位数是________．
【答案】90.5
【详解】因为，
故这15人成绩的第80百分位数为，
故答案为：90.5
14．（2023·高一单元测试）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出______人．

【答案】25
【详解】抽到在[2500，3000]（元）月收入段的频率为，
在[2500，3000]（元）月收入段应抽出（人），
故答案为：25.
15．（2023秋·四川成都·高二统考期末）为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩，得到频率分布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为______.（结果保留到小数点后两位）

【答案】
【详解】解：，，所以中位数在之间，
设中位数为，则有，
所以
故答案为：.
16．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分分），获得样本数据的特征量如下表：

人数
平均成绩
方差
男生



女生



则总样本的平均分为__________，方差为__________．
参考公式：个数的平均数为，方差为
参考数据：．
【答案】         
【详解】总样本的平均分；
设名男生数学测验的成绩分别为，名女生数学测验的成绩分别为；
男生数学测验成绩的方差，
女生数学测验成绩的方差，
，，
总样本的方差为.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
17．（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100），得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；
(2)用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则在分数段抽取的人数是多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
解得；
（2）在分数段抽取的人数为人.
18．（2023·全国·高三专题练习）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【详解】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
19．（2023·全国·高三专题练习）鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．小张把去年年底采购鱼卷的数量x（单位：箱）在[100，200）的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成如表：
采购数x（单位：箱）
[100，120）
[120，140）
[140，160）
[160，180）
[180，200）
客户数
10
10
5
20
5

(1)根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“熟客”人数；
(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)在（2）的条件下，由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元（）销售量可增加1000m箱，求小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值．
【答案】(1)作图见解析，17人
(2)12000（箱）
(3)256000（元）
【详解】（1）由表数据，得到[120，140）, [160，180）的频率分别为
补全频率分布直方图,如图：

根据上图，可知采购数在168箱以上的“熟客”人数为：
50×20×（0.005+0.020）＝17人，
（2）由图可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为：
110×10+130×10+150×5+170×20+190×5＝7500（箱），
∴小张去年年底总的销售量为750012000（箱）．
（3）若没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为12000×20＝240000（元），
若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为12000+1000m（箱），每箱的利润为20﹣m（元），
则今年的年底小张的收入为Y＝（20﹣m）（12000+1000m）
＝1000（）＝1000256000（元），
当且仅当时等号成立.
∵256000＞240000，
∴小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值为256000（元）
20．（2023·全国·高二专题练习）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制，各地各学校逐渐开始有序复学.某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取60名同学的成绩（百分制，均为正数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：

(1)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的均值；
(3)根据评奖规则排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？
【答案】(1)，直方图见解析
(2)
(3)
【详解】（1）设分数在内的频率为，
根据频率分布直方图，可得
，
解得：，所以分数在内的频率为，
所以补全这个频率分布直方图，如图所
示：

（2）根据频率分布直方图得：
均值为：，
即估计本次考试成绩的均值为分.
（3）因为分数在内的频率为，内的频率为，
而，
所以排名前的分界点为，则，解得：，
所以排名前的分界点为分，即获奖的同学至少为分.
21．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人500人．年龄在的老年人300人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．

(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
(2)已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在的老年人年收入的方差．
【答案】(1)5.35；8.3
(2)3
【详解】（1）频率分布直方图中，该地年龄在的老年人年收入的平均数约为：
，
由频率分布直方图，年收入在万元以下的老年人所占比例为，
年收入在万元以下的老年人所占比例为，
因此，第95百分位数一定位于内，
由，
可以估计该地年龄在的老年人年收入的第95百分位数为.
（2）设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为.
由（1）得，由题意得，，，，
则，
由，
可得，
即估计该地年龄在的老年人的年收入方差为3.
22．（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献.2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：
排名
省份
2020-2021
2019-2020
2018-2019
1
河北
221
136
235
2
吉林
202
123
207
3
北京
188
112
186
4
黑龙江
149
101
195
5
新疆
133
76
116
6
四川
99
52
69
7
河南
98
58
95
8
浙江
94
62
108
9
陕西
79
47
76
10
山西
78
39
100
(1)由表中数据可知，2018-2019年这十个省份滑雪总人次为1387万，而受疫情影响，2019-2020年下降至806万，计算2018-2019年和2019-2020年这10个省份滑雪人次的平均数，，并据此计算这两年的平均数；
(2)已知2018-2019年滑雪人次的方差，2019-2020年滑雪人次的方差，据此计算这两年滑雪人次的方差；（结果保留整数）
(3)据统计近年滑雪人均每次消费为6000元，若以2020-2021年数据为基础，每个省份滑雪人次都按（2）中标准差的人数增长（过程中数据均保留整数），估计2021-2022年滑雪消费超过100亿元的省份有几个？
【答案】(1)；
(2)3035；
(3)4.
（1）由题意，，，.
（2）由，，


.
（3）由题设，消费超过100亿元，则人数为万人，
由（2）各省人数增长为万人，
显然，
所以估计2021-2022年滑雪消费超过100亿元的省份有河北、吉林、北京、黑龙江，共4个.