第六章 平面向量及其应用（正余弦定理部分）【过题型】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第二册）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc31388" 第六章 平面向量及其应用（正余弦定理部分） PAGEREF _Tc31388 \h 1
\l "_Tc25271" 题型一 利用正弦定理解三角形 PAGEREF _Tc25271 \h 1
\l "_Tc15341" 题型二 利用余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc15341 \h 3
\l "_Tc13095" 题型三 判断三角形解的个数 PAGEREF _Tc13095 \h 6
\l "_Tc24218" 题型四 判断三角形形状 PAGEREF _Tc24218 \h 8
\l "_Tc7119" 题型五 三角形边长或周长（定值，最值，范围） PAGEREF _Tc7119 \h 10
\l "_Tc3248" 题型六 三角形面积（定值，最值，范围） PAGEREF _Tc3248 \h 22
\l "_Tc19198" 题型七 三角形中线问题 PAGEREF _Tc19198 \h 29
\l "_Tc32243" 题型八 三角形角平分线问题 PAGEREF _Tc32243 \h 34
题型一 利用正弦定理解三角形
1．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）在三角形ABC中，A、B、C表示角度，a、b、c表示边长已知b=5，c=4，B=45°，则sinC=（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【详解】根据正弦定理可知，解得
故选：B
2．（2022春·西藏日喀则·高三校考期中）已知中，，，则B等于（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【详解】解：，，，
由正弦定理，得，
，
，
而，则或，
故选：C.
3．（2022·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，，，
由正弦定理得.
故选：B.
4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则______．
【答案】
【详解】因为，，所以．由正弦定理得，解得.
故答案为：
5．（2022春·安徽宣城·高二校联考开学考试）已知点在的边上，的面积为，则___________.
【答案】
【详解】为等边三角形，，
由，得，则，
作交于，如图所示
在等边三角形中，，
则，
在中，，
在中，由正弦定理得.
故答案为：.
题型二 利用余弦定理解三角形
1．（2022春·云南·高二校联考阶段练习）在中，，AD平分交BC于点D，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，AD平分，，由，
得，
即
，化简得．
在中，，整理得，
即，故．
故选：B
2．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）在锐角三角形中，点为延长线上一点，且，则三角形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设则.
在△ABC中，由余弦定理，
得，即,解得.
当时，，，是一个钝角，不合题意，舍去.
当时，，，所以，又，则，符合题意.
在△中，，则△的面积.
故选：C．
3．（2022春·广西南宁·高三统考阶段练习）已知三个内角的对边分别为，且，则的最大值为__________．
【答案】##
【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以．
因为，所以，所以，
所以，
所以．即的最大值为．
故答案为：
4．（2022春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）在中，内角对边分别为，已知，且，记边的中点为，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】因为 ，，
所以，由正弦定理得，
再由余弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
因为且，故由余弦定理知，
所以，当且仅当时取等，
于是的最大值为，所以的最大值为.
故答案为：.
5．（2022春·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）在中，角的对边分别是，．若，则边的值为______．
【答案】##
【详解】由得：，
，
，，，，
即，，
，又，，则，
，
由得：，
，解得：，，
由余弦定理得：，
.
故答案为：.
题型三 判断三角形解的个数
1．（2022春·陕西渭南·高二期末）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，，则解此三角形的结果有（ ）
A．无解B．一解C．两解D．一解或两解
【答案】C
【详解】依题意，作出，，落在射线上，过作于，如图，
则在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
故以为圆心，半径为的圆与射线相交，即有两个交点，
显然，这个两交点都可以作为点，与构造，且，
所以满足题意的三角形有两个，即解此三角形的结果有两解.
故选：C.
.
2．（2022·高一课时练习）在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不能确定
【答案】C
【详解】由正弦定理，得，
得，
因为，则，故为锐角，故满足条件的只有一个.
故选：C.
3．（2022秋·河南濮阳·高一统考期中）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定
【答案】C
【详解】由正弦定理，有，即，
所以，则此三角形无解.
故选:C.
4．（2022·全国·高三专题练习）下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是（ ）．
①，，，有两解；
②，，，有一解；
③，，，无解；
④，，，有一解．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】对于①，由正弦定理 ，
则由 ,可得 有一解，故三角形的解有一个,错误；
对于②，由正弦定理，
因为 ，故 ,则三角形的解有两解，错误；
对于③，由正弦定理 ，
则由且 ,可得 有一解，故三角形的解有一个，错误；
对于④，由正弦定理 ，
则由且,可得 有一解，故三角形的解有一个,正确,
故选：A
5．（2022秋·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）在中，如果，，，则此三角形有（ ）
A．无解B．一解C．两解D．无穷多解
【答案】A
【详解】由余弦定理可知：
，
该一元二次方程根的判别式，
所以该一元二次方程没有实数根，
故选：A
题型四 判断三角形形状
1．（2022春·甘肃武威·高三统考阶段练习）在中，，则是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
【答案】A
【详解】在中，因为，则，
所以，由余弦定理可知：
，
所以角为钝角，则为钝角三角形，
故选：A.
2．（2022春·陕西西安·高二统考期中）在中，，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【详解】由正弦定理，因，
则，
又A，B为三角形内角，得B=A.
而对于A，B，C选项，因题目条件不足，所以无法判断，则根据现有条件可得该三角形为等腰三角形.
故选：D
3．（2022春·陕西渭南·高二校考期中）的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【详解】由正弦定理可知，
设，
所以，所以，所以的形状是直角三角形，
故选：B
4．（2022春·四川眉山·高二校考阶段练习）在中，若，则此三角形为____
【答案】直角三角形
【详解】由得,
由正弦定理得：,进而得,
由于在中,,所以,
故答案为：直角三角形
5．（2022·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则△ABC的形状为___________.
【答案】钝角三角形
【详解】因为，所以可令，，，
则角C最大，
，
所以C为钝角，
所以△ABC为钝角三角形.
故答案为：钝角三角形
题型五 三角形边长或周长（定值，最值，范围）
1．（2022春·江苏南京·高三校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，整理得，
所以，
又，所以，
又，所以，解得，
所以
又，则，
所以，
即的取值范围为.
故选：C.
2．（2022春·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意得b2＋c2－bc＝3，即，
解得：，，当且仅当时取等号，
又，因此b＋c的取值范围是.
故选：B
3．（2022秋·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】解：方法一：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
在中，，，
， ，
，
在中， ，
当点 在 上时，即、、三点共线，此时有的最大值，
的最大值为： ，
，
的最大值为： .
故选：C.
方法二：如图，设 ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在中，由余弦定理可知： ，
由同角关系可得： ，
，
令 ，
则
，
当时等号成立.
的最大值为： .
故选：C.
4．（2022春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的周长最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，，
，，，
，，
，，由正弦定理可得，
，，
，
三角形为锐角三角形，，，
，即，又
∴，∴的周长最大值为.
故选：D
5．（2022秋·河南洛阳·高一统考期末）在中，A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，若，且，则的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【详解】得，又，所以.
在中，由正弦定理得：
所以，所以.
故当，即时，取得最大值
故选：D
6．（2022·高二课时练习）在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由正弦定理可得
又因为三角形是锐角三角形，
所以，即，也即,
所以，
所以，，，
，
所以的取值范围是，
故选：A
7．（2022春·浙江·高二期中）已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是____________．
【答案】
【详解】
对用正弦定理，可得，设，，由于为三角形内角，则，由可得，，整理得，，对，由余弦定理，，即，故，即，于是，根据基本不等式，，即，结合，解得，即，于是.
故答案为：
8．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且内切圆面积为，则周长的最小值是______．
【答案】
【详解】解：，，即，
由正弦定理可得，又，所以，
，因为，所以，所以，
所以，，．
设内切圆的半径为，
内切圆面积为，，解得，
，即，
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
，
，解得，当且仅当取等号，
所以周长的最小值.
故答案为：．
9．（2022春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由正弦定理，
可得，
又，
．
，
即．
又，
故．
（2）解：由得
，
又，
即，
，
则，
故的周长为．
10．（2022春·甘肃武威·高三统考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求B；
(2)若的面积等于，求的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
∵，所以，
所以，∴；
（2）解：依题意，∴ac＝4，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以的周长最小值为．
11．（2022·全国·高二假期作业）在中，的对边分别为，且满足.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，的对边分别为，
由正弦定理得.
因为，所以，
.
∵，∴.
.
（2）由题意，
则，
则，
由，得，
则，
故的取值范围为
12．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∴A，B，C∈（0，π），∴即．
（2）∵，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴，
∵为锐角三角形，所以,
∴，∴，
由a＝2，，所以，则，
且，
设,，
设，则，
∴，，
所以,为减函数，
∴．
13．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）锐角的内角所对边分别为，且
(1)求角；
(2)已知的面积为，其外接圆半径为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，
因为，所以，同时除以得，即，；
（2）因为，即，
又，
由余弦定理可得，
即，，
所以的周长为.
14．（2022春·山东潍坊·高三统考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
得，
由正弦定理得，
所以，
又因为，所以，
由于，所以角；
（2）由（1）知，所以，则，
由正弦定理：得，
所以，．
所以
．
因为，所以．
所以．
所以，
所以周长的取值范围为．
15．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，是斜率为2的直线上的两个不重合的点，求的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)的取值范围为
【详解】（1）因为，又，
所以，
，
因为，所以，
故，因为，
所以或；
（2）因为，是斜率为2的直线上的两个不重合的点，
所以且，故，
因为为锐角三角形，由(1)可得，，，
所以，
设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
所以，因为，，
所以，
，
因为，所以，
所以，，
所以，
，
因为，所以，
所以，所以，
故的取值范围为.
16．（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求周长的取值范闱．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
整理得，
即，
∵，，角B为锐角，∴．
（2）由正弦定理，
可得，，
∴
．
∵是锐角三角形，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，即，而，
∴周长的取值范围为．
题型六 三角形面积（定值，最值，范围）
1．（2022春·贵州毕节·高三校联考阶段练习）的内角所对的边分别为，，，已知
(1)若，证明：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理可得：，
由题意可知：，所以，结合题意可知：，
又因为三角形的内角满足，所以或，因为有意义，所以，则，
所以，
则有，
上式等价于整理化简可得：.
（2）在中，因为，所以或，
又因为，所以，由正弦定理可得：，
当时，，则边最大，不满足，故此种情况不成立；
当时，，因为，
也即，
整理可得：，解得：或（舍去），
所以
由可得：，则，，
所以，则，，
所以的面积为.
2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？
(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．
【答案】(1)序号组合为①②③，①②④
(2)答案不唯一，具体见解析
【详解】（1）对于③，；
对于④，，
即，且，则，
故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．
（2）选①②③：时，
由余弦定理：，
整理得：且，则，
的面积为．
选①②④：时，
由余弦定理：，
整理得：，则，
的面积．
3．（2022春·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请从下面两个条件中任选一个作答.条件①；条件②.
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求a，b.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选①，
因为，所以，
解得：或，因为，所以.
若选②，
因为，所以，也即，
因为，所以，则，所以.
（2）由（1）知：，又因为，所以，
因为，所以 (I)，
在中，由余弦定理可得：，
所以 (II)，
联立(I)(II)可得：，所以.
4．（2022·全国·高二假期作业）在中，点在边上，，，.
(1)若，，求的长；
(2)若，求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），在中，由余弦定理得，
整理得，解得或（舍去），
在三角形中，由余弦定理得
，
所以.
（2）因为，
所以在三角形中，由正弦定理得，
所以，
所以
，
由于，所以，
所以，，
所以的面积的取值范围是.
5．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知，，向量，，函数，的图像关于对称，且当恒成立时，
(1)求的解析式；
(2)若锐角的角所对边依次为，当时，取得最大值且，求面积得取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，得
，
因为当时，，所以，所以，
又的图像关于对称，所以，，即，
因为，所以，
则.
（2）由题意得，解得，
则.
由正弦定理可知，
又为锐角三角形，所以，，故，所以，
则，即，所以面积的取值范围是.
6．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．
(1)求角A；
(2)若点D是边上的一点，且，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理知：，即，
由余弦定理有，由，所以，
（2）由，所以，可得，即，
由，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故所求的面积的最大值为．
7．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，.
(1)求的值.
(2)求的值.
(3)若线段AC上存在一点H且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，
由于，所以.
由得，
由余弦定理得，
所以，
所以，所以.
由得，
由正弦定理得，
所以，所以.
（2），
，为锐角，
所以
.
（3），
，
，所以是第二象限角，
由于，所以，，
结合是第二象限角可知.
设，则，
在三角形中，由正弦定理得，
，
所以
，
由于且，
所以，
，
所以的取值范围是.
题型七 三角形中线问题
1．（2022·广东广州·统考一模）在中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因为为边上的中线，
所以，
所以
，
所以，
所以边上的中线的长为：.
2．（2022春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求；
(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长度.
①；②的周长为；③面积为.
【答案】(1)
(2)选①，无解；选②，；选③，
【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，，由于，所以.
（2）由（1）知，，故不能选①.
如图所示，设为的中点，则为边上的中线.
若选②，由（1）知，
设，由，得，则，
故周长为，解得.
从而，.
则在中，
由余弦定理得，解得.
若选③，已知，
得，即，则，
在中，由余弦定理得，
.因此边上的中线长为.
3．（2022春·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角；
(2)若，边上的中线，求边的长.
【答案】(1)
(2)，或，.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，
因为，所以，
即，
因为，
所以；
（2）因为，
由余弦定理知：，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
故，
解得：，或，.
4．（2022春·江西·高三校联考阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，，且边上的中线长为，．
(1)求角的大小；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，
所以．
因为，
所以，
即，
即，
整理得．
因为，所以，所以，
即，
所以．
因为，所以，即．
（2）设的中点为，根据向量的平行四边形法则可知：
，所以，
即，
因为，，所以，
解得或（舍去）．
所以．
题型八 三角形角平分线问题
1．（2022春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）根据正弦定理有
即
展开化简得,
，，，
，,
,
，.
（2）由题意可知,设,
,又，
在中,由正弦定理可得:.
即:，
，
,
，
所以三角形面积的取值范围为.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，.
(1)若点D为的中点且，求的余弦值；
(2)若的角平分线与相交于点E，当取得最大值时，求的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，延长到F，使得，连接，
可得四边形为平行四边形，
所以；
（2）设，，
可得，
因此，
又
当且仅当时等号成立，
所以.
3．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，满足.
(1)求角；
(2)是的角平分线，若，的面积为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
（1）
由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又， 则；
（2）
（2） 由面积公式得， 解得，
又是的角平分线， 则 ， 故.
， 则.
4．（2022·北京·校考模拟预测）在△ABC中，.
(1)求B的值；
(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长.
【答案】(1)；
(2)（i），（ii）.
【详解】（1）由题设，而，
所以，故.
（2）若①②正确，则，得或，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则，可得，即②为错误条件；
综上，正确条件为①③，
（i）由，则，即，
又，可得，
所以，可得，则，故，
（ii）由角平分线的性质知：且，
在△中，则.