第一章 集合与逻辑【过习题】- 2022-2023学年高一数学单元复习（沪教版2020必修第一册）

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单元复习 第一章 集合与逻辑

1．设集合．若，则实数的值为（       ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
【答案】D
【分析】对进行分类讨论，结合求得的值.
【详解】由题可得，，
当时，，满足；
当时， ，则或，即.
综上所述，或.
故选：D.
2．已知为实数.利用反证法证明“已知，求证:中，至少有一个数大于20"时，首先要假设结论不对，即就是要假设（       ）
A．都不大于20 B．都大于20
C．中至多有一个大于20 D．中至多有一个小于20
【答案】A
【分析】根据量词的否定即可求解.
【详解】根据题意将结论否定，
“中，至少有一个数大于20”的否定为“都不大于20”，
故选：A
3．如图，表示全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据韦恩图写出阴影部分的集合表达式即可.
【详解】由韦恩图知：阴影部分为.
故选：A
4．“”是“”的（        ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.
【详解】由，又，
所以，即，充分性成立；
当时，即，显然时成立，必要性不成立.
故“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
5．已知集合、，则_______．
【答案】
【分析】根据交集的定义直接求解即可
【详解】因为、，
所以，
故答案为：
6．已知集合，，若，则______．
【答案】或
【分析】根据并集的定义即可得到答案.
【详解】因为，，若，
所以，或.
故答案为：或.
7．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．
【答案】##
【分析】讨论集合A中的条件属于一次方程还是二次方程即可求解.
【详解】①若，则，解得，满足集合A 中只有一个元素，所以符合题意；
②若，则为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于，解得.
故答案为：.
8．设，则满足条件的集合共有________个．
【答案】4
【分析】根据并集的定义，列举集合.
【详解】由并集定义可知，集合中有元素3和4，
所以满足条件的集合共4个.
故答案为：4
9．已知集合，若，则实数的值为__________.
【答案】0
【分析】解方程即得解.
【详解】解：因为，所以（舍去）或，
所以.
故答案为：0
10．设全集，集合，若，则实数______;
【答案】
【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可.
【详解】因为，故，即，故，解得或；
当时，，满足条件；
当时，，不满足条件；
故.
故答案为：
11．已知全集，集合，则________．
【答案】
【分析】先求出，进而求出交集.
【详解】，
故答案为：
12．设，若是的必要条件，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据必要条件即得解.
【详解】因为是的必要条件，
所以是的子集，
即.
故答案为：.
13．设均为实数，若集合的所有非空真子集的元素之和为，则__________
【答案】
【分析】列举出集合的所有非空真子集，根据题意可求得的值.
【详解】集合的所有非空真子集为：、、、、、，
由题意可得，解得.
故答案为：.
14．已知集合，记集合中的元素个数为，若，则实数______.
【答案】或或
【分析】由，得或，分、讨论集合中的解，结合判别式可得答案.
【详解】因为，，解得或者，
时，即只有一个元素，
当只有一个解而无解时，
即，解得，
当只有一个解而无解时，
即，不存在，
时，有三个元素，
当只有一个解而有2个不同解时，
即，不存在，
当只有一个解而有2个不同解时，
即，解得或者，
综上所述， 或或.
故答案为：或或.
15．已知全集，集合，．求，．
【答案】，
【分析】根据集合并集、交集、补集的定义进行求解即可.
【详解】， .
，
.
16．已知，，且，求实数的所有值构成的集合.
【答案】
【分析】求出集合A中元素，由题知，分，讨论，列式计算求出的值.
【详解】由已知
，
当时，，符合题意
当时，，
则或
或
所以集合.
17．已知集合，，，且.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或或.
【分析】（1）根据集合并集的运算性质，结合集合元素的互异性进行求解即可；
（2）根据集合交集的定义，结合子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）∵，
∴，
∴或，
解之得或或，
经检验或不符合集合元素的互异性，舍去，
故.
（2）由（1）可得，
∵，
当时，适合题意，故，
当时，，得或，
所以或，
∴实数的值为或或.
18．已知集合，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据，结合集合A、B，即可得答案.
（2）根据题意，可得，即可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，即的取值范围为.
（2）由，可得，
所以，即的取值范围为.
19．已知命题：，命题：，且是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】由是的充分条件，可得集合是集合的子集，从而可得，解不等式组可求得答案
【详解】因为命题：，命题：，且是的充分条件，
所以集合是集合的子集，
所以，解得，
所以实数的取值范围为
20．已知集合，.用反证法证明
【答案】见解析
【分析】假设，根据根与系数的关系，结合反证法证明即可.
【详解】
假设，则，与矛盾，故假设不成立

21．已知集合，
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中至多有一个元素，求的值，并写出此时的集合；
(3)若中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时，；当，；当，
(3)

【分析】（1）利用判别式研究方程根的个数即可；
（2）当时，符合，当时，利用判别式研究方程根的个数即可；
（3）当时，符合，当时，利用判别式研究方程根的个数即可；
(1)
若是空集，则，解得；
(2)
若中至多有一个元素
当时，，符合
当时，若，解得，此时
                  若，得，此时.
综合得：当时，；当，；当，.
(3)
若中至少有一个元素
当时，，符合
当时，若，解得且
综合得.
22．已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根.
（1）若为真命题，求m的取值范围；
（2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据判别式与韦达定理求解即可；
（2）首先求出当两个命题是真命题时，的取值范围，再根据两命题中一真一假，列不等式求的取值范围.
【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则 ，
解得：，故m的取值范围为
（2）若方程无实根，则，解得：，
当真假时， ，解得：；
当假真时， ，解得：，
综上可知：的取值范围是或.
故m的取值范围为
【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，重点考查根据一元二次方程实数根求参数的取值范围，属于基础题型.






1．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（     ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．
【详解】充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
2．对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为集合A的非空子集有个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令，则的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下：
     ；          ；            ；
        ；                     ；                       3；
        ；                  ；               4.
            ；                            ；
            ；                           ；
               1；                                               2；
从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设是集合A的一个不包含4的子集，则令与集合相对应，显然与的“交替和”之和为4.因为这样的共有个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为
【详解】解：集合，2，3，，的非空子集中，除去集合，还有个非空子集，将这个子集分成两类：第一类是包含元素的子集；第二类是不包含元素的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为.
故选: A.
3．若对任意的，有，则称是“伙伴关系集合”，则集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________.
【答案】
【分析】在集合的子集中列举出满足“伙伴关系集合”的集合，从而可得结果.
【详解】因为，则，就称是伙伴关系集合，集合，
所以具有伙伴关系的集合有共7个.
故答案为：
4．设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素.
【答案】
【分析】由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案.
【详解】解：由题可知，，有4个元素，
若取，则，此时，包含7个元素，
具体如下：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，
若，则，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍去；
若，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，
若，则，故，故，
即，故，
此时，即中有7个元素.
故答案为：7.
5．如果，那么“”是“”成立的_________条件（选填“充分非必要”“必要非充分”“充要”、“非充分非必要”）
【答案】充分非必要
【分析】根据绝对值的性质，与充要条件的定义，即可得到答案．
【详解】若“”，则x，y同号，则“”成立
即“”是“”成立的充分条件
但“”成立时，x，y不异号，“”，“”不一定成立，
即“”是“”成立的不必要条件
即“”是“”成立的充分非必要条件
故答案为：充分非必要
6．在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，如，则有下列结论：①；
②；
③整数、满足且的充要条件是；
④．
则其中正确的为___________.
【答案】①④##④①
【分析】根据集合相等的定义判断①，举反例判断②③，根据集合的交集的定义判断④．
【详解】解：对于①，若，则，，
若，则，故，
若，则，故，
是的子集，
若，则或，
若，则，若，则，
，故是的子集，
，故①正确；
对于②，，而且，，故②错误；
对于③，，，而，，
整数、满足且不是的必要条件，故③错误；
对于④，若，则，
，且，，1故④正确．
故答案为：①④
7．已知集合，，若，求实数的取值范围．
【答案】或
【分析】分析得出，求得，对方程，计算得出，分、、三种情况讨论，在、的前题下 ，验证成立，在时，可得出，可求得实数的值，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，
对于方程，.
当时，，则，合乎题意；
当时，，此时，合乎题意；
当时，即当时，则，所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
8．设，
(1)是否存在，，使得，，说明理由；
(2)若，求，的值
【答案】(1)，;
(2)或，.
【分析】（1）由，，可得，的值；
（2）依据，可得，进而可得，的值.
(1)
由，可得，再由，可得
，所以，
即.
所以，存在，，使得，.
(2)
若，可得，
或，，带入中，可得，带回方程可得，，由，则，或，所以或，.
9．已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m、n∈Z}
(1)判断8，9，10是否属于集合A；
(2)已知集合B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；
(3)写出所有满足集合A的偶数．
【答案】(1)8∈A，9∈A，10∉A
(2)证明见解析
(3)4k，k∈Z。
【分析】（1）将x＝8，9，10分别代入关系式x＝m2﹣n2，若满足关系式，则属于A，若不满足关系式，则不属于A，即可得答案，
（2）根据已知中集合A的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数x∈A可得答案．
（3）m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数；当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数．由此能求出所有满足集合A的偶数．
(1)
（1）∵8＝32﹣1，9＝52﹣42，∴8∈A，9∈A，
假设10＝m2﹣n2，m，n∈Z，则（|m|+|n|）（|m|﹣|n|）＝10，且|m|+|n|＞|m|﹣|n|＞0，
∵10＝1×10＝2×5，
∴或，
显然均无整数解，
∴10∉A，
∴8∈A，9∈A，10∉A；
(2)
∵集合B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，则恒有2k+1＝（k+1）2﹣k2，
∴2k+1∈A，
∴即一切奇数都属于A，
又∵8∈A，
∴x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；
(3)
集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m、n∈Z}，
m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，①当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，
（m﹣n）（m+n）为4的倍数，
②当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，
综上所有满足集合A的偶数为4k，k∈Z．
10．设集合为非空数集，定义，、，，、．
(1)若，，写出集合、；
(2)若，，，，，且，求证：；
(3)若，且，求集合元素个数的最大值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；(3)1348.
【分析】(1)根据新定义，直接得出集合；
(2)根据两集合相等即可得出的关系；
(3)通过假设A集合，
求出相应的，根据列出不等式即可求出结果.
(1)
由题意知，，
得；
(2)
由于集合，且，
所以集合中有且仅有4个元素，即
剩下的元素满足，即；
(3)
设满足题意，其中，
则，
所以，，所以，
因为，由容斥原理，，
最小的元素为0，最大的元素为，所以，
所以，解得，
实际上当时满足题意，证明如下：
设，
则，，
依题意，有，即，所以m的最小值为674，
于是当时，集合A中的元素最多，即时满足题意.
综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
11．已知集合为非空数集，定义：，.
(1)若集合，求证：，并直接写出集合；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)证明见解析；
(3)集合A中元素的个数的最大值为1348.

【分析】(1)根据题目的定义，直接计算集合S、T即可；
(2)根据相等集合的概念即可得出结果；
(3)通过假设集合()，求出对应的集合S、T，通过建立不等式关系，求出对应的值即可.
(1)
根据题意，由集合，计算集合，，所以；
(2)
由于，，且，
所以T中也只包含4个元素，即，
剩下的元素满足，即；
(3)
设满足题意，其中，
则，
所以，，所以，
因为，由容斥原理，，
最小的元素为0，最大的元素为，所以，
所以，解得，
实际上当时满足题意，证明如下：
设，
则，，
依题意，有，即，所以m的最小值为674，于是当时，
集合A中的元素最多，即时满足题意.
综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.