单元复习04 指数与对数【过习题】（分级培优练）- 2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

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单元复习04 指数与对数一、单选题1．若，则（    ）A．81 B． C． D．3【答案】D【分析】将对数式转化为指数式即可求解.【解析】解：因为，所以，即，所以，故选：D.2．下列运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对数的运算性质逐一计算各选项即可得出答案.【解析】解：对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D.3．化简的结果为（     ）A．－ B．－C．－ D．－6ab【答案】C【分析】根据指数幂的运算可得结果.【解析】原式＝.故选：C.4．若代数式有意义，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由有意义求出的取值范围，然后根据根式的运算性质化简计算即可得答案【解析】由有意义，得解得．所以所以．故选：B．5．下列指数式与对数式的互化中不正确的是（    ）A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3C．=与log8=- D．log77=1与71=7【答案】B【分析】利用指对互化公式进行互化，得出结果.【解析】对于A，e0=1可化为0=loge1=ln 1，所以A中互化正确；对于B，log39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；对于C，=可化为log8=-，所以C中互化正确；对于D，log77=1可化为71=7，所以D中互化正确.故选：B.6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【解析】由，当时，，则.故选：C.   7．方程的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过对数运算性质转化为一元二次方程即可求解.【解析】，∴．设，则，解之得：．∴或，解之得：或．经检验，和均符合题意，∴该方程的解集是．故选：B8．化简 (a>0，b>0)的结果是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.【解析】故选：B 二、多选题9．（多选题）下列计算正确的是（    ）A． B．C． D．已知，则【答案】BC【解析】根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.【解析】A. ，故错误；B. ，故正确；C. ，故正确；D. 因为，所以，则，故错误；故选：BC10．下面给出的四个式子中（式中，，，，）中错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由对数的运算性质：当，，，时，成立，判断A选项正确；当，时，判断BCD选项错误.【解析】A选项：由对数的运算性质：当，，，时，成立，故A选项正确；B选项：当，时，，，成立，，故B选项错误；C选项：当，时，，，成立，，故C选项错误；D选项：当，时，，，成立，无意义，故D选项错误；故选：BCD.【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题. 三、填空题11．计算：______．【答案】6【分析】利用对数的运算性质即可求解.【解析】原式．故答案为：6．12．化简__________.【答案】【分析】根据幂的运算法则直接计算即可.【解析】故答案为： 四、解答题13．计算：(1)；(2)．【答案】(1)7(2) 【分析】（1）利用对数的运算性质进行运算可得答案；（2）利用对数的运算性质进行运算可得答案.（1）原式；（2）原式．14．（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案;（2）将化为，化简并结合，可求得答案.【解析】（1），则．（2），且,． 一、单选题1．已知，若，则的值分别为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数式与对数式的互化，设代入式子求得的值，从而得到的关系，再利用式子求得的值.【解析】设，则，，所以，解得或，因为，所以，即，因为，所以，代入得：，所以.故选B.【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查转化与化归思想的应用，求解时要注意条件的运用，考查运算求解能力.2．设，，则约等于（    ）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】C【分析】可采用两边同取对数的方式，结合对数运算性质求解即可【解析】由题知，，对同取对数，得，，，即，即；故选C【点睛】本题考查对数的运算性质，指数与对数的互化，同取是解题关键，属于基础题3．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，小熊座星的星等是，则太阳与小熊座星的亮度的比值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将题目中数据代入,计算可得.【解析】依题意得, 太阳的星等,小熊座星的星等,设太阳和小熊座星的亮度分别为:,则,所以,所以,所以太阳与小熊座星的亮度的比值为.故选B【点睛】本题考查了对数式化指数式,属于基础题.4．已知,现有下面四个命题:P1:若,则；:若,则；P3:若,则；:若,则.其中的真命题是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据实数指数幂的运算，可得为真命题，根据对数的运算性质，可得命题是正确的，即可求解.【解析】由题意,当，由，可得，则，此时，所以是真命题；当时，由，可得，则，所以是真命题.故选B【点睛】本题考查指数幂与对数的运算的应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算求解能力，属于基础题5．已知、是方程的两个实根，则A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根与系数的关系得到，，并得出，由此可求出的值.【解析】由已知，得，即，又，所以.故选B.【点睛】本题考查对数的运算，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要熟悉代数式之间的关系，考查计算能力，属于中等题.6．设，则A．0<P<1 B．1<P<2C．2<P<3 D．3<P<4【答案】B【分析】根据对数性质化简为同底数的对数的和，再根据对数运算性质化简求结果,最后确定取值范围.【解析】=log112+log113+log114+log115=log11（2×3×4×5）=log11120．∴log1111=1<log11120<log11121=2．故选B．【点睛】本题考查对数性质及其运算，考查基本求解能力. 二、多选题7．已知x>0，y>0，z>0，若，则（    ）A．z<y<x B．x<z<y C．3x<5y<7z D．5y<3x<7z【答案】AC【分析】设，则，再利用在上的单调性比较；由，利用在上的单调性比较.【解析】设，所以，因为，所以，所以在上是减函数，所以 z<y<x，而，在上是增函数，所以3x<5y<7z故选：AC【点睛】本题主要考查对数转化为指数，幂函数的单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．若，且，则下列等式中不正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】AB【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．【解析】对于A，时， ，但是无意义，该等式不正确；对于B，时， ，但是无意义，该等式不正确；对于C，，按照对数的运算法则，该等式正确；对于D，由换底公式得，，该等式正确．故选AB．【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用． 三、填空题9．若,求_________【答案】【分析】把指数式转化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出．【解析】解：，，，，则．故答案为：．【点睛】熟练掌握指数式与对数式互相转化及对数的运算法则是解题的关键．10．已知，，，则的值为__________.【答案】##【分析】由题意，设，从而表示出，可得，化简计算得，从而得，化简，代入计算即可.【解析】由题意，设，则，所以，得，即，解得或（舍），因为，所以.故答案为：【点睛】解答本题的关键在于先利用整体代入法得，化简以后得关于的一元二次方程，求解出，即求解出，从而整体代入所求式子.11．记，那么______.【答案】1.【分析】根据对数运算法则，化简原式，求值.【解析】 .故答案为：1【点睛】本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型.12．已知实数满足，则代数式的值为____.【答案】【分析】根据对数的真数大于0以及偶次根式的被开方非负,可得,进一步得,代入所求式子中化简可得答案..【解析】由 以及有意义,得且,又 以及,所以且,所以,所以可化为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了对数的真数大于0,考查了偶次根式的被开方非负,考查了对数的运算性质,解题关键是根据对数的真数大于0以及偶次根式的被开方非负得出,属于基础题. 四、解答题13．计算：（1）已知，试用表示；（2）.【答案】（1） ；（2）3【分析】（1）由题设可得，，由换底公式及对数的性质可得，从而可用表示.（2）利用对数的运算性质及对数的性质可将原式化为，利用可得所求的值.【解析】（1）由，得由得， .（2）原式.【点睛】对数的性质、运算规则可分成三大类：①；；②；③．解题中注意根据题设中对数的形式选择合适的计算方法.14．计算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】(1)利用实数指数幂的运算法则直接计算作答.(2)利用实数指数幂的运算法则结合单项式的除法法则直接计算作答.(3)将给定等式两边平方直接计算即可作答.(1)原式.(2)原式.(3)因，两边平方得，所以.15．化简或计算下列各式：(1)；(2).(3).【答案】(1)-45(2)a2(3)1 【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行运算；（2）把根式换为分数指数幂，难点是用到了立方差公式；（3）利用对数运算法则进行计算(1)原式＝(2)原式＝(3)原式＝16．求解下列问题：(1)证明：．(2)已知，且．求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）结合换底公式以及对数运算证得等式成立.（2）令，结合指数运算，通过证明等式左边右边来证得等式成立.（1）左边右边（2）令，则，，，所以，，所以． 一、单选题1．（2022·山西吕梁·三模（文））已知实数满足，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C． D．6【答案】B【分析】变形给定等式，利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.【解析】由得，则，当且仅当时“=”，所以的最小值为4．故选：B2．（2022·天津经济技术开发区第一中学一模）已知，则的值为（    ）A．1 B．0 C． D．2【答案】C【分析】利用指数与对数互化的公式表示出，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.【解析】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.故选：C3．（2022·海南·模拟预测）设，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出的范围，直接比较大小即可.【解析】，，，.故选：D.4．（2021·河南·罗山县教学研究室一模（文））若，则（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.【解析】，，.故选：C.5．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模（文））已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】指数式化为对数式求，再利用换底公式及对数运算性质变形.【解析】，，．故选：B．6．（2022·新疆喀什·一模（理））①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是（    ）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【分析】根据对数的运算性质计算逐一判断可得选项.【解析】解：对于①，，故①正确；对于②，，故②正确；对于③，若，则，故③不正确；对于④，若，则，故④不正确．故选：C. 二、多选题7．（2022·河北唐山·三模）下列命题正确的有（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．，则【答案】BD【分析】可通过反例排除A、C，对于B，两边取对数即可，对于D，通过对数运算得到的式子，应用基本不等式即可确定.【解析】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，所以，故D正确.故选：BD.8．（2021·湖南·长郡中学二模）设a，b，c都是正数，且，那么（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.【解析】由于，，都是正数，故可设，，，，则，，.，，即，去分母整理得，.故选AD.【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题. 三、填空题9．（2022·上海静安·二模）解指数方程：__________.【答案】或【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论和，解出方程即可.【解析】由得，即，当即时，显然成立；当时，，解得；故方程的解为：或.故答案为：或.10．（2020·贵州·贵阳一中模拟预测（理））已知，，，将a，b，c从小到大排序为___________．【答案】【分析】由函数是增函数，可得；根据换底公式和对数的运算性质，可得；由函数是增函数，可得，即得答案.【解析】函数是增函数，..又函数是增函数，.综上：.故答案为：.【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查换底公式和对数的运算性质，属于基础题.11．（2021·四川·宜宾市翠屏区天立学校模拟预测（文））计算：______．【答案】0【解析】结合指数幂的运算公式、对数的运算公式，对数式与指数式的恒等式直接求解即可.【解析】原式.故答案为：0【点睛】本题考查了对数的运算公式，考查了指数幂的运算公式，考查了对数式与指数式的恒等式，考查了数学运算能力.12．（2020·上海·模拟预测）设，满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.【解析】，令，则，，当且仅当时等号成立.故答案为:.【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.