单元复习06 幂函数、指数函数与对数函数【过知识】- 2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

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1.指数函数、对数函数和幂函数(1)要熟记这三个函数在不同条件下的图象，并能熟练地由图象“读”出该函数的主要性质；(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.由图可“读”出指数函数和对数函数的主要性质：
如果两个函数y＝f(x)和x＝g(x)描述的是同一个对应法则，则称这两个函数互为反函数.这时两者之间满足关系g(f(x))＝x和f(g(y))＝y，并且它们的图象关于直线y＝x成轴对称.函数f叫作g的反函数，g也叫作f的反函数.f的定义域是g的值域，f的值域是g的定义域，两者同为递增或递减.由上面反函数的定义，我们知道，指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)和同底数的对数函数y＝lgax(a＞0且a≠1)互为反函数.这给研究对数函数的图象和性质带来了方便.
(3)幂函数y＝xn在第一象限内的图象由幂指数的不同取值可分为三种走势.由下图，当n＞0时幂函数的主要性质是：
①恒过(0,0)，(1,1)两点；②在区间[0，＋∞)上为增函数.当n＜0时幂函数的主要性质有：①恒过点(1,1)；②在区间(0，＋∞)上为递减函数；③图象走向和x轴、y轴正向无限接近.
3.函数与方程(1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ＝0时有两个相等实根；当Δ＜0时无实数根.(2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐标，也叫作函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的横坐标.(3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值.
4.函数模型及其应用(1)目前我们能建立的函数模型主要是一次函数，二次函数，幂函数，指数函数和对数函数的模型；(2)建模的目的是：模拟实际问题和用模拟函数的性质去推测判断未进行测量或不便测量的数据，特别是实际问题的未来走势；(3)建模的大致步骤是：了解和简化实际问题，建立实际问题的数学模型，分析所得数学模型，把模型所判断的结论和实际模型的表现加以比较，改进数学模型.
1.(1)已知f(x)是函数y=lg2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是(　　)
答案 (1)C　(2)B
2.已知函数f(x)= 在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,则最小的正整数a=　. 
解析 ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
又∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,且在(0,+∞)上是减函数,∴f(x)为偶函数,∴1-a为偶数,∴a为奇数,∴最小的正整数a=3.
3.若函数f(x)= 为奇函数.(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的定义域;(3)求函数f(x)的值域;(4)讨论函数f(x)的单调性.
归纳提升对于形如y=af(x)或y=f(ax)的复合函数,要注意转化思想的应用,将问题转化为我们熟悉的指数函数,一次函数、二次函数等问题去求解.通常研究函数的单调性、奇偶性、定义域、值域等性质.
4.已知函数f(x-1)
(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).
归纳提升以对数函数y=lgax(a>0,a≠1)的图象与性质为依托,以及利用对数函数的性质进行定义域、值域、单调性、奇偶性等问题的研究时,不要忘记对数中真数应大于0的限制条件,以免扩大范围.
5.已知函数f(x)=lga(8-ax)(a>0,且a≠1).(1)若f(x)1在区间[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
(2)当a>1时,f(x)=lga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1恒成立,得
当01,且8-2a>0,所以a>4,且a