单元复习08 函数应用【过习题】（分级培优练）-2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

这是一份单元复习08 函数应用【过习题】（分级培优练）-2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册），文件包含单元复习08函数应用过习题分级培优练解析版docx、单元复习08函数应用过习题分级培优练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
单元复习08 函数应用

一、单选题
1．函数的零点所在区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.
【解析】由在上递减，
所以在上递减，
又，，
所以零点所在区间为.
故选：B
2．函数的零点所在的一个区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点的存在性定理即可求解.
【解析】因为在上单调递增，
，
根据零点的唯一性定理知函数在上无零点，故A错误;
，
根据零点的唯一性定理知函数在上无零点，故B错误;
，
根据零点的唯一性定理知函数在上有唯一零点，故C正确;
，
根据零点的唯一性定理知函数在上无零点，故D错误;
故选:C.
3．已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1




0.066
0.215
0.512
1.099

由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（    ）A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066
【答案】C
【分析】按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．
【解析】由题意得在区间上单调递增，
设方程的解的近似值为，
由表格得，
所以,
因为，
所以方程的近似解可取为0.5625．
故选：C.
4．某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为15000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量，则该厂所获最大利润为（    ）（总收益＝成本＋利润）
A．4万元 B．3万元 C．2.5万元 D．2万元
【答案】B
【分析】列出总利润的解析式，结合二次函数性质即可求得最大值.
【解析】设总利润为，依题意可得：，
即，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，当时，该厂所获利润最大，最大利润为30000元.
故选：B.
5．关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（    ）
A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根
B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根
C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根
D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解
【答案】D
【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.
【解析】利用二分法求方程在内的近似解，即在区间内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是内的精确解．
故选：D.
6．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 （单位：百万个）与培养时间 （单位：时）的关系如下表，为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四种模型供选择，则最符合实际的函数模型为（    ）

2
3
4
5
6
8

3.5
3.8
4
4.16
4.3
4.5

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得所选函数必须满足三个条件，定义域包含，是增函数，随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，进而即得.
【解析】根据条件画出散点图，

依题意，所选函数必须满足三个条件：①定义域包含；②是增函数；③随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．
因为函数的定义域为，当时无意义，故排除B；
函数随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除C；
在上随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除D．
函数可以同时符合上述条件.
故选：A．
7．若函数满足，且时，，则函数的图像与函数的图像的交点个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
【答案】C
【分析】在同一直角坐标系中，画出两个函数的图像，由图像可以判断其交点的个数.
【解析】，，
在同一直角坐标系中，画出两个函数的图像如图所示：

由图像可知与有4个交点.
故选：C.
8．已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解决复合函数零点个数问题的时候，常用数形结合分析，分析各种情况后，往往会用到零点的存在性定理或根的分布情况来确定参数的取值范围.作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【解析】
根据图像可得，当或时，有两个解；当时，有4个解；当时，有3个解；当时，有1个解.因为，最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.
则存在下列几种情况：
①有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足    解得
②有3个解，有3个解，设即，，
则应满足    解得
综上所述，的取值范围为或.
故选：D.

二、多选题
9．下列函数中，能用二分法求函数零点的有（    ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的单调性以及函数零点两侧函数值是否异号即可判断.
【解析】ACD选项，在定义域内都是连续且单调递增，能用二分法求函数零点，
B选项，，，当时，，当时，，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，
故选：ACD．
10．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y

15.552

10.88



则函数在下列哪些区间上一定存在零点（    ）A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用函数的表格的函数值，结合零点存在定理，即可求解．
【解析】因为函数的图像是一条连续不断的曲线，
又，所以函数在之间一定存在零点，故A正确；
，所以函数在之间一定存在零点，故B正确；
，所以函数在之间一定有零点，所以在区间之间一定有零点，故C正确；
，所以函数在之间不一定有零点，故D不正确；
故选：ABC.
11．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（    ）

A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为
【答案】ABD
【分析】结合图象，求得甲厂、乙厂总费用的函数关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解析】过点，
设，则，所以，B选项正确，
当时，，所以甲厂的制版费为1千元；根据可知：
甲厂印刷费平均每个为0.5元，A选项正确.
根据图象可知：该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择乙厂更节省费用，C选项错误.
当时，过点，
设，则，所以，D选项正确.
故选：ABD
12．若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（    ）
A．函数在区间上有且只有1个零点
B．函数在区间上一定没有零点
C．函数在区间上可能有零点
D．函数在区间上至少有1个零点
【答案】CD
【分析】由已知，函数的图像在R上连续且满足，，，即可判断函数在区间上至少有1个零点，在区间上可能有零点，也可能无零点，根据各选项说法即可做出判断.
【解析】因为函数的图像在R上连续，且，，
所以，所以函数在区间上至少有1个零点，
故选项A错误，选项D正确；
函数在区间上可能有零点，也可能无零点，
故选项B错误，选项C正确．
故选：CD.

三、填空题
13．若函数在上有零点，则实数m的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】首次按钮根据零点定义可得在上有解，参变分离可得，通过换元可得，由求范围即可得解.
【解析】由，
得，
令，
得，
所以.
故答案为 ：
14．函数的图象如图所示，有下列命题：①函数的定义域是；②函数的值域是； ③函数在其定义域内是增函数； ④函数有且只有一个零点．其中正确命题的序号是______．

【答案】②④
【分析】根据函数图象确定函数性质，再进行比较选择.
【解析】对于①：由图象知函数的定义域是，故①错误；
对于②：由图象知函数的值域是，故②正确；
对于③：由图象知函数在其定义域内不是增函数，故③错误；
对于④：由图象知函数有且只有一个零点，故④正确；
故答案为：②④

四、解答题
15．己知函数．
(1)证明：2为函数的一个零点；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析；
(2)见解析.

【分析】（1）将代入函数计算即可；
（2）分和两种情况讨论求解即可.
【解析】（1）因为，
所以2为函数的一个零点；
（2）当时，不等式化为，解得，
当时，由，得，
若，则不等式可化为，且，
所以或，
若，则不等式可化为，
当，即时，不等式化为，得，
当，即时，解得，
当，即时，解得，
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
16．已知函数．
(1)求的零点；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)证明在上是减函数．
【答案】(1)
(2)偶函数，见详解
(3)证明见详解

【分析】（1）令解方程即可；（2）结合奇偶性定义直接证明；（3）由减函数定义证明即可
【解析】（1）由可得，故函数的零点为；
（2）定义域为，，，故函数为偶函数；
（3）设，则

，
因为，所以，所以，
故在上是减函数.
17．已知函数
(1)求和的值
(2)若函数，试讨论函数的零点个数.
【答案】(1)，
(2)答案见解析.

【分析】（1）根据解析式直接求解即可，
（2）函数的零点个数就是的图象与直线交点的个数，作出函数的图象，结合图象求解即可.
【解析】（1）因为，
所以，，
（2）根据题意零点的个数，即为的图象与直线交点的个数，
函数的图象如图所示，

由图象可知，当或时，的图象与直线有2个交点，即有2个零点，
当时，的图象与直线有3个交点，即有3个零点，
当时，的图象与直线有1个交点，即有1个零点，
综上，当或时，有2个零点；当时，有3个零点；当时，有1个零点.
18．已知函数，且．
(1)求证：函数有两个不同的零点；
(2)设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据可得，再代入证明判别式大于0即可；
（2）根据韦达定理化简可得，进而求得范围即可.
（1）
∵，∴．
∴．
对于方程，，
∴恒成立．
又，∴函数有两个不同的零点．
（2）
由，是函数的两个不同的零点，得，是方程的两个根．
∴，．
∴．
∴的取值范围是．

一、单选题
1．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.
【解析】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.
故选：D.
2．已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题可转化为直线与，，的交点横坐标范围，应用数形结合思想，即指对幂函数的性质判断的范围.
【解析】由题设，，，，
所以问题可转化为直线与，，
的图象的交点问题，函数图象如下．

由图知．
故选：A．
3．已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（    ）
A．至多有2022个零点 B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点 D．至少有1011个零点
【答案】D
【分析】根据已知可得：，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，…，上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当时，可以得到，此时在上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除A.
【解析】因为对任意的实数恒成立，令，得．
若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．
构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.
若，则，此时在上至少有1012个零点．
综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.
[解法二] 构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.
故选：D．
4．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．
【解析】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；

当时，由图可得，解得．

综上可得.
故选：C．
5．已知函数，则下列说法正确的个数为（    ）
①函数的定义域为；
②；
③函数的图象关于直线对称；
④当时，；
⑤函数的图象与x轴有4个交点．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据分母不等于0，求解函数的定义域，判断①；代入验证判断②；画出函数的图象，判断④⑤；画出函数和的图象，即可判断函数图象的交点个数.
【解析】函数的定义域为，故①错误；
，故②正确；
作出的图象如图所示，由图可知③错误，④正确．

令，得方程，
在上图中作出抛物线，由图可知的图象与抛物线有4个交点，
故函数的图象与轴有4个交点，故⑤正确．
故选：B．

二、多选题
6．已知是定义在R上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是（    ）
A．当时， B．
C．的图象关于点（2，0）对称 D．函数有3个零点
【答案】AD
【分析】求得当时的解析式判断选项A；求得的值判断选项B；举反例否定选项C；利用函数与的图象交点个数判断选项D.
【解析】设，则，
又∵当时，，∴，
∵函数是定义在R上的偶函数，∴，故A正确；
∵，∴，
∴函数是以4为周期的周期函数，
∴，故B不正确；
∵，∴，
∴的图象不关于点（2，0）对称，故C错误；
函数的零点个数就是
函数图象与函数图象的交点个数
同一坐标系内作函数与的图象如下：

观察图象知与有3个交点，故D正确.
故选：AD.
7．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】将方程有四个不同解可确定与有四个不同交点，在平面直角坐标系中作出图象，利用数形结合的方式可求得的范围，知A错误；根据对称性可知B错误；当时，由可求得，由此可得的范围，知C正确；利用基本不等式可求得，由可求得，由此可知D正确.
【解析】关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点，
在平面直角坐标系中，作出与如下图所示，

由图形可知：，A错误；
关于对称，，B错误；
当时，令，解得：，，C正确；
，，，
，，
，，又，
，D正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将方程根的个数问题转化为两函数的交点个数问题，采用数形结合的方式，结合函数的对称性来依次进行求解.

三、填空题
8．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再分段讨论即可求解作答.
【解析】上的单调函数，，都有，则存在正常数m，使得，
有，即有，因此，而函数在上单调递增，
又，于是得，，依题意，当时，有两解，必有
当时，，当时，函数单调递减，，
当时，函数单调递增，，因此方程在上有两解，当且仅当在上有解即可，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.
9．对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，定义函数，则下列命题中正确的是___________（填序号）
①f（-3．9）=f（4．1）；②函数的最大值为1；
③函数的最小值为0；④函数的图象与直线有无数个交点．
【答案】①③④
【分析】①由，直接验证；作出的图象判断②③④
【解析】①因为，所以，故正确；做出的图象如图所示：

②由图象知：函数无最大值，故错误；
③由图象知：函数的最小值为0，故正确；
④由图象知：函数的图象与直线有无数个交点，故正确，
故答案为：①③④

四、解答题
10．已知函数，.
(1)当时，求函数的零点：
(2)解关于的不等式；
(3)若对于任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)和
(2)答案见解析
(3)

【分析】（1）根据零点的概念求解即可；
（2）移项变形为，再讨论的符号进行求解；
（3）分离常数，将问题转化为在上恒成立问题，再利用函数的最值进行求解.
【解析】（1）解：根据题意，当时，，
所以，即，解得或.
所以函数的零点为和.
（2）解：由，得，
所以，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为空集；
当时，不等式的解集为.
（3）解：因为对于任意的，恒成立
所以，，即对任意的恒成立，
又因为，
所以，在上恒成立；
由于在上恒成立
所以，.即的取值范围是.
11．已知函数和，函数.对，恒成立，且；函数的定义城为，且是奇函数，当时，.
(1)求b，c的值；
(2)当时，求函数的表达式；
(3)当时，若关于的方程有解，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）由可得关于对称，从而可求得，再根据即可求得；
（2）当时，则，再根据函数为奇函数求解析式即可；
（3）当时，若关于的方程有解，分离参数可得有解，利用基本不等式求得的最大值即可得解.
【解析】（1）解：因为对，恒成立，
所以函数关于对称，
即，所以，则，
则，所以，
所以，；
（2）解：由（1）得，
则当时，，
因为是奇函数，所以，
当时，则，
故，
所以当时，；
（3）解：当时，若关于的方程有解，
即有解，
因为，当且仅当，即时，取等号，
所以得取值范围为.
12．设定义域为的函数对于任意满足.
(1)证明：为奇函数；
(2)设，若有三个零点，且存在使在单调递增.
（i）证明：；
（ii）当时，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）先利用赋值法得到，再得到，由此证得结论；
（2）（i）利用反证法，结合（1）中结论推得至多只有一个零点，矛盾即可；
（ii）利用反证法，先证得，再结合零点存在定理证得在上必为即可.
【解析】（1）因为对于任意满足，
所以令，得，故，
再令，则有，即，
又的定义域为，
所以为奇函数；
（2）（i）反证，假设，
因为在单调递增，所以在单调递增，
因为，所以也在单调递增，
又因为为奇函数，所以在上单调递增，
则由零点存在定理可知方程至多只有一个根，
所以至多只有一个零点，矛盾，假设不成立，故；
（ii）先用反证法证，假设，则有，
因为在单调递增，
所以，矛盾，假设不成立，故，
又在单调递增，，所以，
又，所以由零点存在定理可知在上存在唯一零点，
由于，故，
假设，则有，又，故，
所以，与矛盾，故，
综上：，故.
13．已知函数.
(1)对任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)；

【分析】（1）分类讨论与两种情况，时，根据一元二次不等式恒成立条件列不等式组，即可求解得答案；（2）分类讨论，和三种情况，求解出方程的两根，再以两根的大小分类讨论解不等式；（3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围.
（1）
由题有恒成立，即恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，得，
得，综上可得，的取值范围是.
（2）
由题，即，
当，，所以不等式的解集为
当，，或
①当时，，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为，
③当时，，不等式的解集为；
当，则，不等式的解集为
综上可得：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）
当时，令，
当且仅当时取等号，
关于x的方程有四个不等实根，
令，则转化为存在使得关于的方程，
即有两个不同正根，
则 ，得，
由知，存在使不等式成立，
把看成主元代入，故，即，
解得或，综合可得.
故实数的取值范围是
【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析．

一、单选题
1．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（文））函数，则函数的所有零点的和是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】令，将问题化为研究与交点情况，根据它们的奇偶性、单调性、值域判断交点个数，进而确定零点和.
【解析】令时，问题转化为与交点情况，
而，即为奇函数，又也是奇函数，
所以、都过原点，且由对称性知它们在与的交点情况相同，
在上单调递增且，，
而为周期函数(注意正弦函数性质)，在上递增，上递减且，，
又，即，
所以与在有一个交点，即在上有且仅有一个交点，故上也仅有一个交点，
综上，、在R上共有3个交点，它们对应有3个零点从左到右依次为、、，
则、关于对称、，故的所有零点的和是.
故选：D
2．（2022·海南省直辖县级单位·三模）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（    ）个零点
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据题意可得的对称性，再画出的图象，再数形结合判断的图象交点个数即可
【解析】的零点个数即的图象交点个数.因为为奇函数，故关于原点对称，故关于对称，又为偶函数，故关于对称，又当时，，画出图象，易得函数的图象有6个交点

故选：C
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，则求出值，可得，由分离参数，结合图象即可求解．
【解析】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，.
当时，由，得；当时，由，得.
结合函数的图象可知，若有3个零点，则．
故选：A


二、多选题
4．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（    ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
【答案】ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.
【解析】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：

所以与有4个交点，故D正确.
故选： ABD
5．（2022·福建莆田·三模）已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ）
A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是
B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是
C．若有4个不同的零点，则
D．若有4个不同的零点，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据题意，将问题转化为函数与图像交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案.
【解析】解：令得，即
所以零点个数为函数与图像交点个数，
故，作出函数图像如图，

由图可知，有3个不同的零点，则a的取值范围是，故A选项错误；
有4个不同的零点，则a的取值范围是，故B选项正确；
有4个不同的零点，此时关于直线对称，所以，故C选项正确；
由C选项可知，所以，由于有4个不同的零点，a的取值范围是，故，所以，故D选项正确.
故选：BCD

三、填空题
6．（2022·广东茂名·一模）已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是___________
【答案】
【分析】不妨设，结合函数图像可得，从而得出，即可得出答案.
【解析】不妨设，由图可得，，
所以即，
由得，，所以的取值范围是
故答案为：

7．（2022·广东·模拟预测）设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由解析式画出函数图象，若且、为的两根，结合图像可知：、，再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求b的取值范围.
【解析】由题设，的图象如下图示：

令，则化为，
∴要使原方程有8个不同实根，则有2个不同的实根且两根、，
∴，可得，又在上递减，在上递增，且，，即，
综上，.
故答案为：.

四、解答题
8．（2013·江西鹰潭·二模（理））某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x万元满足关系式（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
【答案】(1)y，
(2)3万元

【分析】（1）根据已知先求k，表示出销售价格，然后由题意可得函数关系；
（2）由基本不等式可得.
（1）
由题意知，当时，∴，
∴，
∴每件产品的销售价格为（元），
∴，
（2）
∵当时，，∴，
当且仅当，即时，y取得最大值，
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．
9．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司模拟预测）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可.
（2）根据（1）做出图像，数形结合.
（3）根据（1）做出图像，数形结合.
【解析】（1）设，则
∴
∵为偶函数
∴
综上，有
（2）由（1）作出的图像如图：

因为函数在区间上具有单调性，
由图可得或，解得或；
故实数的取值范围是或.
（3）由（1）作出的图像如图：

由图像可知：
当时，有两个零点；
当时，有四个零点；
当时，有六个零点；
当时，有三个零点；
当时，没有零点.