统考版高中数学（文）复习选修4-4-2参数方程学案

这是一份统考版高中数学（文）复习选修4-4-2参数方程学案，共12页。学案主要包含了必记4个知识点，必明1个常用结论等内容，欢迎下载使用。

1．了解参数方程，了解参数的意义．
2．能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
·考向预测·
考情分析：参数方程与普通方程互化，参数方程的应用，参数方程与极坐标方程的综合应用将是高考考查的热点，题型仍将是解答题．
学科素养：通过参数方程的应用考查数学建模、数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上________的坐标x，y都是某个变数t的函数：x=ft，y=gt．并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在________，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称________．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做________．
2．直线的参数方程
过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为__________________(t为参数)，则参数t的几何意义是__________________．
3．圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为____________α∈[0，2π)．
4．椭圆的参数方程
以椭圆的离心角θ为参数，椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为____________θ∈[0，2π)．
二、必明1个常用结论
直线参数方程中参数的几何意义
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x=x0+tcsα，y=y0+tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝t1+t22；
(2)|PM|＝|t0|＝t1+t22；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础性]
1．把下列参数方程化为普通方程．
(1)x=1+12t，y=5+32t(t为参数)．
(2)x=sinθ，y=cs2θ(θ为参数，θ∈[0，2π))．
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数．求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．
反思感悟 消去参数的三种方法：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
考点二 参数方程的应用 [综合性]
角度1 直线参数方程的应用
[例1] [2022·深圳市统一测试]在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为x=-23+tcsα，y=tsinα(t为参数，α为倾斜角)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)直线C1与曲线C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为(23，π)，若2|EF|＝|PE|＋|PF|，求直线C1的普通方程．
听课笔记：
反思感悟 (1)直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离．
(2)根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义，有如下常用结论：
①若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；
②若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1，M2对应的参数分别为t1，t2，下同)的中点，则t1＋t2＝0；
③设线段M1M2的中点为M，则点M对应的参数为tM＝t1+t22.
角度2 圆与椭圆参数方程的应用
[例2] [2023·福建省质量检测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=csα，y=sinα(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝123+sin2θ.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C1相切于第二象限的点P，与曲线C2交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝73，求直线l的倾斜角．
反思感悟 椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．
【对点训练】
1．[2022·四省八校双教研联考]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=-2+t，y=-2+t(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若C1，C2交于A，B两点，点P的极坐标为(22，－3π4)，求1PA+1PB的值．
2．[2022·石家庄市重点高中高三摸底考试]已知曲线C的参数方程为x=csθy=sinθ(θ为参数)，A(2，0)，P为曲线C上的一个动点．
(1)求动点P对应的参数从π3变动到2π3时，线段AP所扫过的图形的面积；
(2)若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
考点三 极坐标与参数方程的综合问题 [综合性]
[例3] [2020·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x= cskty= sinkt
(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcs θ－16ρsin θ＋3＝0.
(1)当k＝1时，C1是什么曲线？
(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
听课笔记：
反思感悟 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解．
(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
【对点训练】
[2023·惠州市高三调研考试]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=ty=3-t(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2相交于A，B两点，求△OAB的面积．
第二节 参数方程
积累必备知识
一、
1．任意一点 这条曲线上 参数 普通方程
2．x= x0 + t cs α， y= y0+ t sin α 有向线段P0P的数量
3．x=a+r cs α，y=b+r sin α
4．x=a cs θ，y=b sin θ
提升关键能力
考点一
1．解析：(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋32 t中得y＝5＋32(2x－2)．
即它的普通方程为3x－y＋5－3＝0.
(2)因为sin2θ＋cs2θ＝1，所以x2＋y＝1，
即y＝1－x2.又因为|sinθ|≤1，
所以其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1)．
2．解析：圆的半径为12，
记圆心为C(12，0)，连接CP，
则∠PCx＝2θ，
故xP＝12+12cs 2θ＝cs2θ，yP＝12sin2θ＝sin θcs θ，
所以圆的参数方程为x= cs2θy=sinθcs θ (θ为参数)．
考点二
例1 解析：(1)由题意得，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，又x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，
代入上式化简可得，x2＋y2－4y＝0，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
(2)易得点P的直角坐标为(－23，0)，
将x=-23+tcsα，y=tsinα(t为参数)，代入曲线C2的直角坐标方程，可得t2－(43cs α＋4sin α)t＋12＝0，
Δ＝(43cs α＋4sin α)2－48＝8sinα+π32－48>0，解得sin α+π3>32，或sin α+π3<－32，不难知道α必为锐角，故sin α+π3>32，所以π3<α＋π3<2π3，即0<α<π3，设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1＋t2＝43cs α＋4sin α，t1·t2＝12，所以t1与t2同号，由参数t的几何意义可得，|PE|＋|PF|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝8sinα+π3，|EF|＝|t1－t2|＝t1+t22-4t1t2＝44sin2α+π3-3，
所以2×44sin2α+π3-3
＝8sinα+π3，两边平方化简可解得sin α+π3＝1，所以α＝π6＋2kπ，k∈Z，因为0<α<π3，所以α＝π6，所以直线C1的参数方程为x=-23+32t，y=12t，(t为参数)消去参数t，可得直线C1的普通方程为x－3y＋23＝0.
例2 解析：(1)因为曲线C1的参数方程为x=csα，y=sinα(α为参数)，所以曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1.
因为曲线C2的极坐标方程ρ2＝123+sin2θ，ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，
所以曲线C2的直角坐标方程为x24 ＋y23＝1.
(2)如图，设直线l的倾斜角为β，依题意β∈0，π2，
则P在曲线C1中的参数α＝β＋π2，故P(－sin β，cs β)，所以可设直线l的参数方程为x=-sinβ+tcsβ，y=csβ+tsinβ(t为参数)．
把直线l的参数方程代入x24+y23＝1.
得(sin2β＋3)t2＋2(sinβcs β)t＋cs2β－9＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝cs2β-9sin2β+3.
则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝cs2β-9sin2β+3＝9-cs2βsin2β+3，又|PA|·|PB|＝73，所以9-cs2βsin2β+3＝73，所以sinβ＝32，故β＝π3，即直线l的倾斜角为π3.
对点训练
1．解析：(1)C1的普通方程为x－y＝0，C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)C1的参数方程化为标准参数方程为x=-2+22t'，y=-2+22t'(t′为参数)，P的直角坐标为(－2，－2)，将C1的标准参数方程代入C2的直角坐标方程得t′2－62t′＋16＝0，设A，B对应的参数分别为t'1 ，t'2，则t'1 +t'2＝62，t'1 ·t'2＝16，
所以1PA+1PB＝PA+PBPA·PB＝t'1 +t'2t'1 ·t'2＝328.
2．解析：(1)设θ＝π3时对应的点为M，θ＝2π3时对应的点为N，O为坐标原点，
线段AP扫过的图形的面积＝S△AMN＋S弓形＝S△OMN＋S弓形＝S扇形OMN＝12×12×π3＝π6.
(2)设P(cs θ，sin θ)，
∵P为线段AQ的中点，∴Q(2cs θ－2，2sin θ)，
∵Q在曲线C上，曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，
∴(2cs θ－2)2＋(2sin θ)2＝1，
∴8cs θ＝7，cs θ＝78.
此时点P的直角坐标为(78，±158)．
考点三
例3 解析：(1)当k＝1时，C1：x=cst，y=sint，(t为参数)消去参数t得x2＋y2＝1，故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
(2)当k＝4时，C1：x= cs4ty= sin4t (t为参数)消去参数t得C1的普通方程为x+y＝1.
C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.
由x+y=1，4x-16y+3=0解得x=14，y=14.
故C1与C2的公共点的直角坐标为14，14.
对点训练
解析：(1)消去参数可得C1的普通方程为x＋y－3＝0.
由ρ＝4cs θ，得ρ2＝4ρcs θ，
又ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，
所以C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.
(2)C2的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，表示圆心为C2(2，0)，半径r＝2的圆．
圆心C2到直线x＋y－3＝0的距离d1＝22，
故|AB|＝2r2-d12 ＝14.
原点O到直线x＋y－3＝0的距离d＝32＝322，
所以S△OAB＝12|AB|d＝12×14×322＝372.
所以△OAB的面积为372.