统考版高中数学（文）复习10-2古典概型、几何概型学案

这是一份统考版高中数学（文）复习10-2古典概型、几何概型学案，共19页。学案主要包含了必记3个知识点，必明1个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。
1．结合具体实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
2．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概型的意义．
3．了解人类认识随机现象的过程．
·考向预测·
考情分析：古典概型及其与平面向量、函数、解析几何、统计等知识综合是考查的热点．
学科素养： 通过古典概型、几何概型的应用，考查数据分析的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和．
2．古典概型
(1)古典概型的定义及特点
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①试验中所有可能出现的基本事件______．
②每个基本事件出现的可能性________．
(2)古典概型的概率公式
一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝________．
3．几何概型
(1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(________或________)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________．
(2)在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝_____________________________________________.
二、必明1个常用结论
古典概型与几何概型的区别与联系
(1)共同点：基本事件都是等可能的；
(2)不同点：古典概型基本事件的个数是有限的，几何概型基本事件的个数是无限的．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．( )
(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为cardAcardI.( )
(4)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( )
(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
(6)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( )
(二)教材改编
2．[必修3·P127例3改编]把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1，2)，则向量m与向量n不共线的概率是( )
A．16 B．1112 C．112 D．118
3．[必修3·P146习题B组T4改编]如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为______．
(三)易错易混
4．(分类不清出错)现有7名成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从数学、物理、化学成绩优秀的人中各选1人，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1
中有且仅有1人被选中的概率为________．
5．(几何概型类型不清)如图所示，M是半径为R的圆周上的一个定点，在圆周上任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过2R的概率是________．
(四)走进高考
6．[2022·全国甲卷]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A． 15 B． 13 C． 25 D． 23
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 简单的古典概型 [基础性]
1．[2022·广西高三开学考试]观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取其中两个面的点数，点数之和正好等于5的概率为( )
A．110 B．115 C．215 D．415
2．小华、小明、小李、小章去A，B，C，D四个工厂参加社会实践，要求每个工厂恰有1人去实习，则小华去A工厂，且小李没去B工厂的概率是________．
反思感悟 利用公式法求解古典概型问题的步骤
考点二 复杂的古典概型 [综合性]
[例1] 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
听课笔记：
反思感悟 求较复杂事件的概率问题的方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．
【对点训练】
某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康，同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20，30)，第2组[30，40)，第3组[40，50)，第4组[50，60)，第5组[60，70]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；
(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．
考点三 几何概型 [综合性]
角度1 与长度有关的几何概型
[例2] 若任取k∈[－5，5]，则直线y＝k(x＋1)与曲线y＝4-x-22有两个交点的概率为( )
A．15 B．310 C．25 D．45
听课笔记：
反思感悟 与长度有关的几何概型
(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.
(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．
角度2 与体积有关的几何概型
[例3]
[2023·湖南衡阳八中模拟]如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
A．1－π4 B．π12 C．π4 D．1－π12
听课笔记：
反思感悟 与体积有关的几何概型的求法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
角度3 与面积有关的几何概型
[例4]
[2022·湖北省四校联考]如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为( )
A．14 B．13 C．12 D．23
听课笔记：
反思感悟 求解与面积有关的几何概型的方法
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，所求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
【对点训练】
1．[2023·广东佛山调研]将一根长为6 m的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的2倍的概率为( )
A.13 B．23 C．25 D．35
2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF－BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F－AMCD内的概率为( )
A．34 B．23 C．13 D．12
3．折扇由扇骨和扇面组成，初名腰扇，滥觞于汉末，曾是王公大人的宠物．到了明清时期在折扇扇面上题诗赋词作画，成为当时的一种时尚，并一直流行至今．现有一位折扇爱好者准备在如图的扇面上作画，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面的概率约为( )
A．34 B．13 C．59 D．89
考点四 古典概型与几何概型的综合问题 [综合性]
角度1 与数学文化有关的古典概型、几何概型问题
[例5] (1)为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为( )
A．23 B．12 C．14 D．16
(2)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
听课笔记：
角度2 与函数、向量、线性规划等知识交汇的古典概型、几何概型问题
[例6] (1)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“-1≤lg12 (x＋12)≤1”发生的概率为( )
A．34 B．23 C．13 D．14
(2)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．
①写出数量积X的所有可能取值．
②分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
听课笔记：
角度3 与实际生活有关的古典概型、几何概型问题
[例7] (1)割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在图中三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为( )
A．12 B．13 C．14 D．15
(2)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )
A．43 B．83 C．23 D．53
听课笔记：
反思感悟 解决此类综合问题的方法是充分读取题目信息，脱去向量、线性规划、正负等“外衣”，恰当转化为古典概型、几何概型问题，代入概率公式求解．
【对点训练】
1．现在某类病毒记作Xm，Xn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
2．若a，b∈{－1，0，1，2}，则使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的概率为________．
3．假设某人订了一份牛奶，送奶人在早上6：00～7：00之间随机地把牛奶送到他家，而他在早上6：00～7：30之间随机地离家上学，则他在离开家前能收到牛奶的概率是________．
第二节 古典概型、几何概型
积累必备知识
一、
1．(1)互斥 (2)基本事件
2．(1)有限 相等 (2)mn
3．(1)长度 面积 体积 几何概型
(2)
构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
三、
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×
2．解析：若m与n共线，则2a－b＝0.而(a，b)的可能性情况为6×6＝36个．
符合2a＝b的有(1，2)，(2，4)，(3，6)共三个，故共线的概率是336＝112，从而不共线的概率是1－112＝1112.
答案：B
3．解析：由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S，由几何概型概率计算公式可得S4＝30200，所以S＝0.6.
答案：0.6
4．解析：基本事件共有3×2×2＝12(个)，其中符合条件的基本事件有2＋2×2＝6(个)，故A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为12.
答案：12
5．解析：
当弦MN的长度恰为2R时，∠MON＝π2，如图，当点N落在半圆弧NMN'上时，弦MN的长度不超过2R，故所求概率为P＝12.
答案：12
6．解析：从6张卡片中任取2张的取法有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6种，所以所求概率P＝615＝25.故选C.
答案：C
提升关键能力
考点一
1．解析：观察一枚均匀的正方体骰子，任意选取其中两个面的点数的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种取法，其中和为5的取法有(1，4)，(2，3)，共2种取法，由古典概型概率公式可得事件点数之和正好等于5的概率P＝215.
答案：C
2．解析：记小华、小明、小李、小章分别为：1、2、3、4，数组(a，b，c，d)对应A，B，C，D的顺序，
由题意可知总的分配情况有：
(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，3，2)，(1，4，2，3)，
(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，(2，4，3，1)，(2，4，1，3)，
(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，
(4，2，3，1)，(4，2，1，3)，(4，3，2，1)(4，3，1，2)，(4，1，3，2)，(4，1，2，3)，
共6×4＝24种，
其中符合条件的情况有：(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，4，3，2)，(1，4，2，3)，
共4种，故所求概率P＝424＝16.
答案：16
考点二
例1 解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率P(M)＝521.
对点训练
解析：(1)设第1组[20，30)的频率为f1，则由题意可知，f1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.
被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25.
故估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.
解析：(2)∵第1组[20，30)的人数为0.05×120＝6.
∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．记第1组中的3名男性群众分别为A，B，C，3名女性群众分别为x，y，z，
从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A，B)，(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15个基本事件．
至少有一名女性群众包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12个基本事件．
∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率P＝1215＝45.
考点三
例2 解析：直线y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，曲线y＝4-x-22，即(x－2)2＋y2＝4(y≥0)，表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆的上半部分，直线y＝k(x＋1)与该曲线相切时，k＝255，因为直线y＝k(x＋1)与曲线y＝4-x-22有两个交点，所以0≤k＜255，所以所求概率P＝255-05--5＝15.
答案：A
例3
解析：正方形ABCD的面积为22＝4，圆锥的底面圆的面积为π，
所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是4-π4＝1－π4.
答案：A
例4 解析：设六角星的中心为点O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝12.
答案：C
对点训练
1．解析：绳子的长度为6 m，剪成两段后，设其中一段的长度为x m，则另一段的长度为(6－x) m，记“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”为事件A，则A＝＝{x|0