统考版高中数学（文）复习8-2空间几何体的表面积和体积学案

这是一份统考版高中数学（文）复习8-2空间几何体的表面积和体积学案，共20页。学案主要包含了必记2个知识点，必明3个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
·考向预测·
考情分析：高考常以三视图为载体，主要考查柱、锥、球的表面积和体积，以选择题、填空题的形式出现，属于容易题．
学科素养：通过空间几何体的表面积与体积的计算考查直观想象、数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2.空间几何体的表面积与体积公式
二、必明3个常用结论
1．正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2+b2+c2.
3．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )
(4)球的体积之比等于半径之比的平方．( )
(二)教材改编
2．[必修2·P27练习T1改编]已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.
3.
[必修2·P29习题B组T1改编]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，表面积等于________．
(三)易错易混
4．(长度单位与体积单位的换算出错)《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆的周长约为( )
A.1丈3尺 B．5丈4尺
C.9丈2尺 D．48丈6尺
5．(不会分类讨论致误)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．
(四)走进高考
6．[2021·全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 空间几何体的侧面积和表面积 [基础性、综合性]
[例1] (1)[2023·云南省部分学校统一检测]《九章算术》中将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“阳马”和某“堑堵”的组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．28＋122 B．24＋122
C．26＋122 D．12＋242
(2)
[2023·河南周口模拟]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )
A．4＋42 B．4＋43
C．12 D．8＋42
听课笔记：
反思感悟 三类几何体表面积的求法
【对点训练】
1．[2020·全国卷Ⅲ]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A.6＋42 B．4＋42
C.6＋23 D．4＋23
2．[2023·山西高三模拟]现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为( )
A.63π B．83π
C.8π D．42π
3．[2023·福建厦门市高三模拟]2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是( )
A.93＋6 B．93＋8
C.123＋6 D．123＋8
考点二 空间几何体的体积 [综合性]
角度1 公式法求体积
[例2] 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A.20＋123 B．282
C.563 D．2823
听课笔记：
角度2 割补法求体积
[例3]
在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4 cm，母线长最短5 cm，最长8 cm，则斜截圆柱的体积V＝________ cm3.
听课笔记：
一题多变
(变问题)若例3中条件不变，求斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.



角度3 等体积法求体积
[例4] 如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为( )
A.312 B．34
C.612 D．64
反思感悟
(1)处理体积问题的思路
(2)求体积的常用方法
①直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算．
②割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．
③等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换．
【对点训练】
1．如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形．点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为( )
A.12 B．8 C．20 D．18
2．图1是一种生活中常见的容器，其结构如图2所示，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF.现测得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB与EF间的距离为25 cm，则几何体EF­ABCD的体积为( )
A.2 500 cm3 B．3 500 cm3
C.4 500 cm3 D．3 800 cm3
考点三 空间几何体的外接球与内切球[创新性]
角度1 几何体的外接球
[例5] (1)[2023·天津市武清区检测]《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A.12π B．20π C．24π D．32π
(2)[2023·天津高三模拟]长方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为( )
A.83π B．43π C．4π D．8π
听课笔记：
反思感悟 处理球的“接”问题的策略
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
[例6] (1)[2023·成都市高三模拟]《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P­ABC有一个内切球O，则球O的体积为( )
A.9π2 B．9π4 C．9π16 D．9π
(2)[2023·江苏南京高三模拟]已知直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为( )
A.25∶1 B．25∶1
C.5∶1 D．5∶1
听课笔记：
一题多变
(变条件，变问题)若例6(1)中“若三棱锥P­ABC有一个内切球O，”改为“若三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，”则球O的表面积为________．


反思感悟
(1)处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
【对点训练】
1．[2023·河北衡水市检测]已知正三棱锥S­ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A.π B．3π C．6π D．9π
2．[2023·沙坪坝区测试]在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝5，AB＝AC＝BC＝3，则三棱锥P­ABC外接球的表面积是( )
A.9π B．152π
C.4π D．254π
3．已知在三梭锥A­BCD中，AB＝CD＝2，AD＝AC＝BC＝BD＝3，则该三棱锥内切球的体积为( )
A.714π64 B．1111π6
C.1111π3 D．714π192
微专题28 数学文化与立体几何的交汇 交汇创新
纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题层出不穷，让人耳目一新．从中国古代数学文化中挖掘素材，考查立体几何的有关知识，既符合考生的认知水平又可以引导考生关注中华优秀传统文化，并提升审题能力，增加对数学文化的理解，发展数学核心素养．
[例]
[2023·四川眉山市高三模拟]中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．如图所示的鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，若CD＝1，AC＝5，且顶点A，B，C，D均在球O上，则球O的表面积为________．
解析：
由题意可知：球O为鳖臑ABCD的外接球，
∵AB⊥平面BCD，BD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥BD，AB⊥CD，
又CD⊥BC，AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC；
取AD中点E，连接BE，CE，
∵AB⊥BC，∴BE＝AE＝DE，同理可知：CE＝AE＝DE，
∴点E与球O的球心O重合，球O的半径R＝12AD＝12AC2+CD2＝62，
∴球O的表面积S＝4πR2＝6π.
答案：6π
名师点评 求解与数学文化有关的立体几何问题，首先要在阅读理解上下功夫，明确其中一些概念的意义，如“堑堵”“阳马”和“鳖臑”等的特征是求解相关问题的前提，其次目标要明确，根据目标联想相关公式，然后进行求解．
[变式训练] [2022·安徽高三测试]《九章算术》是中国古代的数学专著，在卷五《商功》中有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈．问积几何？答曰：四千三百七十五尺．意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈．问水沟的容积是多大？答案是4 375立方尺．若此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺)( )
A．4 375 B．1 875＋3505
C．1 750＋3505 D．700＋3505
第二节 空间几何体的表面积和体积
积累必备知识
一、
1．2πrl πrl π(r′＋r)l
2．Sh 13Sh 4πR2 43πR3
三、
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：设底面半径为r，由侧面展开图为半圆可知，圆锥母线长l＝2r，所以S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2.
答案：2
3．解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为12×π×22×3＝6π，表面积为2×12×π×22＋4×3＋π×2×3＝10π＋12.
答案：6π 12＋10π
4．解析：设圆柱底面圆半径为r，高为h，依题意，圆柱体积为V＝πr2h，即2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9尺，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺．
答案：B
5．解析：圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，即r＝2.所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.
②以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.
答案：24π2＋8π或24π2＋18π
6．解析：设该圆锥的高为h，则由已知条件可得13×π×62×h＝30π，解得h＝52，则圆锥的母线长为h2+62＝254+36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π.
答案：39π
提升关键能力
考点一
例1 解析：
(1)由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，“堑堵”的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为4，“阳马”的底面是边长为2的正方形，高为2，所以该几何体的表面积分两部分，“堑堵”部分的表面积S堑堵＝12×2×2×2＋22×4＋2×4＋2×4－12×2×2＝18＋82，
“阳马”部分的表面积，S阳马＝2×2＋12×2×2＋12×2×22+12×2×22＝6＋42，
所以该几何体的表面积为S堑堵＋S阳马＝18＋82＋6＋42＝24＋122.
(2)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝22，BC＝2.又AB⊥BC，则AB＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋42.
答案：(1)B (2)A
对点训练
1．解析：在正方体中还原几何体如图．
几何体为正方体的一部分：三棱锥P­ABC，
S表面积＝S△PAC＋S△PAB＋S△PBC＋S△BAC
＝12×22×22×32+12×2×2＋12×2×2＋12×2×2＝23＋6.
答案：C
2．解析：根据题意，圆柱的体积为V＝π×22×2＝8π，
设圆锥的底面半径为r，则V锥＝13×π×r2×2＝8π，解得r＝23，所以圆锥的母线长为l＝r2+4＝4，
所以该圆锥的侧面积为S＝πrl＝83π.
答案：B
3．解析：棱长为1的正方形的面积为1×1＝1，正六边形的面积为6×12×1×1×32＝332，
又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，
所以该多面体有6个正方形，正六边形有6×4÷3＝8个，
所以该多面体的表面积为8×332＋6＝123＋6.
答案：C
考点二
例2
解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝22-22-22＝2，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝13h(S1＋S2＋S1S2)＝13×2×(16＋4＋64)＝2823.
答案：D
例3 解析：方法一(分割法) 将斜截圆柱分割成两部分：下面是底面半径为2 cm，高为5 cm的圆柱，其体积V1＝π×22×5＝20π(cm3)；上面是底面半径为2 cm，高为8－5＝3(cm)的圆柱的一半，其体积V2＝12×π×22×3＝6π(cm3)．
∴该组合体的体积V＝V1＋V2＝20π＋6π＝26π(cm3)．
方法二(补形法) 在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为2 cm.高为8＋5＝13(cm)，该圆柱的体积V1＝π×22×13＝52π(cm3)．∴该几何体的体积为圆柱体积的一半，即V＝12V1＝26π(cm3)．
答案：26π
一题多变
解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(5＋8)×(π×4)＝26π(cm2)．
答案：26π
例4 解析：易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.
答案：A
对点训练
1．解析：设点F到平面ABB1A1的距离为h，因为VA1­AEF＝VF­A1AE＝13S△A1AE·h＝1312AA1·AB·h＝16(AA1·AB)·h＝16S四边形ABB1A1·h＝16VABCD­A1B1C1D1，所以VABCD­A1B1C1D1＝6VA1­AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为12.
答案：A
2．解析：如图，连接AC，EC，AF.∵ABCD是矩形，∴AB＝CD.∴过点D作DG⊥EF，垂足为G，连接AG，则AG⊥EF.由题意知，AG＝25 cm.∵AD⊥平面CDEF，∴AD⊥DG.∵AD＝15 cm，∴DC与EF间的距离DG＝252-152＝20(cm).∵EF＝30 cm，AB＝DC＝20 cm，∴S△ECD＝12×20×20＝200(cm2)，S△EFC＝12×30×20＝300(cm2)．∴VA­EDC＝13×200×15＝1 000(cm3)，VA­EFC＝13×300×15＝1 500(cm3)．∵VB­AFC＝VC­AFB＝23VC­AEF＝23VA­CEF＝23×1 500＝1 000(cm3)，∴几何体EF­ABCD的体积VEF­ABCD＝VA­DCE＋VA­EFC＋VB­AFC＝1 000＋1 500＋1 000＝3 500(cm3)．
答案：B
考点三
例5 解析：(1)将三棱锥P­ABC放在一个长方体中，如图示：
则三棱锥P­ABC的外接球就是一个长方体的外接球，因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝AC2-AB2＝42-22＝23.
设长方体的外接球的半径为R，则(2R)2＝4＋4＋12＝20，故R2＝5.
所以外接球的表面积为S＝4πR2＝20π.
(2)因为长方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，
所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为R，因为AB＝2，AD＝3，AA1＝1，
所以4R2＝22＋(3)2＋12＝8，球的表面积为4πR2＝8π.
答案：(1)B (2)D
例6 解析：(1)因PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，于是得BC⊥平面PAB，PB⊥BC，而PA⊥AB，PA⊥AC，
又PA＝BC＝4，AB＝3，则有AC＝AB2+BC2＝5，PB＝AB2+PA2＝5，
三棱锥P­ABC的表面积为S＝S△PAB＋S△CAB＋S△PBC＋S△PAC＝12(PA·AB＋AB·BC＋PB·BC＋PA·AC)＝32，
连接OA，OB，OC，OP，如图：
三棱锥P­ABC被分割为四个三棱锥O­PAB，O­ABC，O­PBC，O­PAC，它们的高均为球O的半径r，
VP­ABC＝VO­PAB＋VO­ABC＋VO­PBC＋VO­PAC＝13r(S△PAB＋S△CAB＋S△PBC＋S△PAC)＝32r3，
而VP­ABC＝13PA·S△ABC＝13×4×12×3×4＝8，则32r3＝8，得r＝34，
所以球O的体积为V＝43π·r3＝43π·343＝9π16.
(2)设正三棱柱底面正三角形的边长为a，
当球内切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，所以R1＝36a，
故正三棱柱的高为2×36a＝33a，
当球外接于正三棱柱时，设球的半径为R2，则球心是上下底面中心连接线段的中点，如图所示：
因为OO1＝R1＝36a，CO1＝12×asin60°＝33a，
所以OC2＝R22＝R12＋3 3a2＝512a2，
∴外接球与内切球表面积之比为4πR22 4πR12 ＝4π×512a24π×36a2＝5∶1.
答案：(1)C (2)C
一题多变
解析：将三棱锥P­ABC放在一个长方体中，则三棱锥P­ABC的外接球就是一个长方体的外接球，因为PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC.设长方体的外接球的半径为R，则(2R)2＝16＋16＋9＝41，故R2＝414.所以外接球的表面积S＝4πR2＝41π.
答案：41π
对点训练
1．解析：正三棱锥的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，
所以外接球的直径2R＝22+22+22＝6，所以4R2＝6，外接球的表面积4πR2＝6π.
答案：C
2.
解析：由已知P­ABC是正三棱锥，设PH是正棱锥的高，由外接球球心O在PH上，如图，设外接球半径为R，又CH＝33×3＝1，则PH＝PC2-CH2＝2，
由OC2＝OH2＋CH2得R2＝(2－R)2＋12，解得R＝54，
所以表面积为S＝4π×542＝25π4.
答案：D
3．解析：如图，将三棱锥A­BCD放入长方体AEBF­HCGD中，
设HC＝a，CG＝b，CE＝c，则a2＋b2＝22，a2＋c2＝32，b2＋c2＝32，
所以a＝b＝2，c＝7，则三棱锥A­BCD的体积VA­BCD＝13abc＝273，
S△ABC＝S△BCD＝S△ABD＝S△ACD＝22，设三棱锥A­BCD内切球的半径为r，
则球心到三棱锥A­BCD四个面的距离都为r，设三棱锥A­BCD的表面积为S，
则VA­BCD＝13S×r＝13×82×r＝273，因此r＝148，
所以三棱锥A­BCD内切球的体积V＝43πr3＝714π192.
答案：D
微专题 eq \(○,\s\up1(28)) 数学文化与立体几何的交汇
变式训练
解析：依题意，该沟是一个底面是梯形的直四棱柱，
底面梯形的上底长一丈五尺，下底长一丈，高5尺，棱柱的高为70尺，
因为该沟两边坡面坡角相等，所以坡面宽为 52+522＝552，
所以此沟表面为三个矩形的面积，矩形的长为70尺，宽分别为10尺，552尺，552尺，所以面积共计为700＋3505平方尺．
答案：D
圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝____
S圆锥侧＝____
S圆台侧＝________
名称几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝____
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝________
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝13(S上＋S下＋S上S下)h
球
S＝________
V＝________
求多面体
的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体
的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则
几何体的
表面积
通常将不规则几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出不规则几何体的表面积