统考版高中数学（文）复习9-5椭圆学案

这是一份统考版高中数学（文）复习9-5椭圆学案，共19页。学案主要包含了必记2个知识点，必明4个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．了解椭圆的简单应用．
4．理解数形结合的思想．
·考向预测·
考情分析：椭圆方程，几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等，直线与椭圆的位置关系，定值、定点与存在性等综合问题，仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题．
学科素养：通过椭圆的定义、标准方程的求解研究椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系考查数学运算、直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．椭圆的定义
2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
二、必明4个常用结论
1．P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
2．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦．
3．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．
4．设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值－b2a2.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)y2a2+x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(6)x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与y2a2+x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．( )
(二)教材改编
2．[选修2－1·P49T4改编]椭圆x210-m+y2m-2＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．8
C．4或8 D．12
3．[选修2－1·P49T1改编]若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是( )
A.x225+y216＝1 B．x2100+y29＝1
C．y225+x216＝1 D．x225+y216＝1或y225+x216＝1
(三)易错易混
4．(忽视定义中2a＞|F1F2|)平面内一点M到两定点F1(－6，0)，F2(6，0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________．
5．(忽视焦点位置)已知椭圆x25+y2m＝1(m＞0)的离心率e＝105，则m的值为________．
(四)走进高考
6．[2022·全国甲卷]已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1（a>b>0）的离心率为 eq \f(1,3) ，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 eq \(BA1,\s\up6(→)) · eq \(BA2,\s\up6(→)) ＝－1，则C的方程为（ ）
A． eq \f(x2,18) ＋ eq \f(y2,16) ＝1 B． eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1
C． eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 D． eq \f(x2,2) ＋y2＝1
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 椭圆的定义及应用 [综合性]
[例1] (1)已知P是椭圆x2＋5y2＝25上一点，F1，F2为椭圆的左，右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)设F1，F2是椭圆 x249+y224＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
听课笔记：
一题多变
(变条件)若本例(2)中椭圆方程不变，满足|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________.



反思感悟 椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
【对点训练】
1．[2023·上海闵行中学高三开学考试]已知点P在焦点为F1、F2的椭圆x216+y29＝1上，则|PF1|＋|PF2|＝________．
2．已知椭圆C：x24+y23＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为( )
A．1 B．－1
C．17 D．－17
3．[2023·贵州六盘水模拟]已知点F1，F2分别为椭圆C：x24+y23＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2＝________．
考点二 椭圆的标准方程 [综合性]
[例2] (1)[2022·江苏省苏州中学月考]已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为( )
A．x23＋y2＝1 B．x23+y22＝1
C．x212+y28＝1 D．x212+y24＝1
(2)椭圆C的焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，直线l与C交于A，B两点，若AF1＝2F1B，AF2 ·F1F2＝0，则C的方程为( )
A．x22＋y2＝1 B．x23+y22＝1
C．x24+y23＝1 D．x25+y24＝1
听课笔记：
反思感悟 求椭圆的标准方程的步骤
【对点训练】
1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A．x29＋y2＝1 B．y29+x25＝1
C．y29＋x2＝1 D．x29+y25＝1
2．已知椭圆的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
A．x27+y22＝1 B．x22+y27＝1
C．x29+y24＝1 D．x24+y29＝1
3．[2023·四川自贡高三测试]古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为83π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为( )
A．x264+y23＝1 B．y264+x23＝1
C．x264+y248＝1 D．y264+x248＝1
考点三 椭圆的几何性质 [综合性]
角度1 求椭圆的离心率
[例3] (1)[2022·安徽蚌埠高三开学考试]已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的右顶点为A，坐标原点为O，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A．33 B．22 C．63 D．32
听课笔记：
(2)[2023·昆明市云南师大附中高三月考]已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得|PF1|－|PF2|＝2b，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．0，12 B．12，1
C．(0，22] D．[22，1)
听课笔记：
反思感悟 求椭圆离心率或其取值范围的方法
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝c2a2＝a2-b2a2＝1－ba2直接求．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
角度2 最值(或范围)问题
[例4] (1)[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A．52 B．6
C．5 D．2
(2)已知椭圆x24+y2b2＝1(0