统考版高中数学（文）复习6-1数列的概念与简单表示法学案

这是一份统考版高中数学（文）复习6-1数列的概念与简单表示法学案，共19页。学案主要包含了必记3个知识点，必明2个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。
·最新考纲·
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
·考向预测·
考情分析：数列通项公式的求解，前n项和Sn与数列的项an之间的关系的应用，数列的性质与应用仍是高考考查的热点，题型以选择与填空题为主，有时也会出现在解答题中．
学科素养：通过求数列的通项公式及数列函数性质的应用考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．数列的有关概念
[提醒] 数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
2．数列的表示方法
[提醒] (1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一．
3．数列的分类
二、必明2个常用结论
1．an与Sn的关系，若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ S1 , n=1,Sn-Sn-1 , n≥2
2．在数列{an}中，若an最大，则an≥an-1an≥an+1 若an最小，则an≤an-1an≤an+1
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
(二)教材改编
2．[必修5·P67T2改编]数列{an}的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项可能是( )
A．an＝5n-42 B．an＝3n-22
C.an＝6n-52 D．an＝10n-92
3．[必修5·P33T4改编]在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋-1nan-1(n≥2)，则a5＝________．
(三)易错易混
4．(忽视项数为整数的情况)数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．
5．(忽视n＝1的特殊情况)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
(四)走进高考
6．[全国卷Ⅰ]记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 数列的有关概念及通项公式 [基础性]
1．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A.不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
2．数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( )
A.an＝(－1)n·2n+12n
B．an＝(－1)n·2n+12n
C．an＝(－1)n＋1·2n+12n
D．an＝(－1)n＋1·2n+12n
3．已知数列{an}为5，55，555，5 555，…，则这个数列的一个通项公式是an＝________．
反思感悟 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或-1n+1 ，n∈N*处理．
考点二 由an与Sn的关系求通项an [综合性]
[例1] (1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝( )
A．27 B．81 C．93 D．243
(2)[2023·山西河津二中月考]设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2(n∈N*)，则{an}的通项公式为an＝( )
A．12n B．12n-1 C．12n D．12n+1
(3)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝________．
听课笔记：
反思感悟
1．已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
2．Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【对点训练】
1．[2023·孝感模拟]已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋1，n∈N*，则a5－a1＝( )
A．13 B．14
C．15 D．16
2．[2023·辽宁省实验中学模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝( )
A．2n B．2n－1
C．2n D．2n－1
3．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________．
考点三 由数列的递推公式求通项公式 [创新性]
角度1 形如an＋1＝an＋f(n)，求an.(累加法)
[例2] 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
听课笔记：
角度2 形如an＋1＝anf(n)，求an.(累乘法)
[例3] 在数列{an}中，a1＝1，an＝n-1nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
听课笔记：
角度3 形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.(构造法)
[例4] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
听课笔记：
角度4 形如an＋1＝AanBan+C(A，B，C为常数)，求an(取倒数法)
[例5] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan+2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
听课笔记：
反思感悟
【对点训练】
1．[2023·赤峰模拟](一题多解)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A.13n-1 B．2nn+1
C．1n+1n+2 D．5-2n3
2．[2023·保定模拟]已知数列a1，a2a1，…，anan-1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则lg2an＝( )
A.n(n＋1) B．nn-14
C．nn+12 D．nn-12
3．[2023·张家界模拟]若数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an1+3an，则这个数列的第10项a10＝( )
A．28 B．29 C．128 D．129
4．[2023·衡水检测]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
考点四 数列的性质及应用 [综合性]
角度1 数列的周期性
[例6] [2023·黑龙江哈师大附中月考]设数列{an}满足a1＝2，且对任意正整数n，总有(an＋1－1)(1－an)＝2an成立，则数列{an}的前2023项的乘积为( )
A．12 B．1 C．2 D．3
听课笔记：
反思感悟 解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
角度2 数列的单调性
[例7] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且an＝2n＋λ，若数列{Sn}(n≥7，n∈N*)为递增数列，则实数λ的取值范围为________．
听课笔记：
反思感悟 解决数列的单调性问题的3种方法
角度3 数列的最大项与最小项
[例8] (1)若数列{an}的通项an＝nn2+90，则数列{an}中的最大项是第________项．
(2)[2022·大庆模拟]已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·67n，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.
听课笔记：
反思感悟 求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用an≥an-1，an≥an-1，(n≥2)确定最大项，an ≤ an-1 an ≤ an+1 利用 (n≥2)确定最小项；
(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0(或an＞0时，an+1an＞1)，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0(或an＞0时，an+1an＜1)，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1).
【对点训练】
1．[2022·广元联考]已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2022项的和为( )
A.0 B．1 C．－5 D．－1
2．[2022·湖北武汉部分重点中学联考]已知an＝n-7n-52(n∈N*)，设am为数列{an}的最大项，则m＝________．




微专题24 渗透美育教育 凸显数学之美 五育并举
[例] [2020·全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
解析：由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{an}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋nn-12×9]－[9(n＋1)·n＋nn-12×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去)．则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋27×262×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3 402(块)．故选C.
答案：C
名师点评 “美”是景与情的交融，破解此类以数学之美为背景的数列题的关键：一是能够构建数学模型，如本题，根据已知条件和图形构建出等差数列模型；二是会用公式，如本题，会利用等差数列的前n项和公式，即可快速求出结果．
[变式训练] [2022·云南西南联考]一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有( )
A．10层 B．11层 C．12层 D．13层
第六章 数列
第一节 数列的概念与简单表示法
积累必备知识
一、
1．一定顺序 每一个数 an＝f(n)
a1＋a2＋…＋an
2．(n，an) 公式
3．有限 无限 ＞ ＜
三、
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：数列为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝5n-42.
答案：A
3．解析：a2＝1＋-12a1＝2，a3＝1＋-13a2＝12，a4＝1＋-14a3＝3，a5＝1＋-15a4＝23.
答案：23
4．解析：an＝－n2＋11n＝－(n－112)2＋1214，∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
答案：30
5．解析：当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，经检验，当n＝1时，不符合上式，∴an＝2，n=1，2n-1，n≥2且n∈N*.
答案：an＝2，n=1，2n-1，n≥2且n∈N*
6．解析：根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以S6＝-1×1-261-2＝－63.
答案：－63
提升关键能力
考点一
1．解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．故选D.
答案：D
2．解析：该数列是分数形式，分子为奇数2n＋1，分母是2n，各项的符号由-1n+1来确定，所以D选项正确．故选D.
答案：D
3．解析：将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项公式为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)．
答案：59(10n－1)
考点二
例1 解析：(1)根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝34＝81.故选B.
(2)∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2(n∈N*)，∴易知n≥2时，2n－1an＝12，又a1＝12，∴对一切n∈N*，2n－1an＝12，
∴an＝12n，故选C.
(3)当n＝1时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.经检验，a1＝4不适合an＝2n＋1，故an＝4，n=1，2n+1，n≥2.
答案：(1)B (2)C
(3)4，n=1，2n+1，n≥2且n∈N*
对点训练
1．解析：∵Sn＝2n2＋1，n∈N*
∴a1＝S1＝2×12＋1＝3，
a5＝S5－S4＝(2×52＋1)－(2×42＋1)＝18，
则a5－a1＝18－3＝15，故选C.
答案：C
2．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为an＝2n，故选C.
答案：C
3．解析：∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
∴a1＝21＝2.
当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1，两式相减得(2n－1)an＝2n－1，
∴an＝2n-12n-1，经检验，a1＝2不符合上式．
∴an＝2，n=1，2n-12n-1，n≥2且n∈N*.
答案：2，n=1，2n-12n-1，n≥2且n∈N*
考点三
例2 解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n-12+n2＝n2+n-22.
又∵a1＝1，∴an＝n2+n2(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2+n2(n∈N*)．
例3 解析：∵an＝n-1nan－1(n≥2)，
∴an－1＝n-2n-1an－2，an－2＝n-3n-2an－3，…，a2＝12a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1·12·23·…·n-1n＝a1n＝1n.
当n＝1时，a1＝1，上式也成立．
∴an＝1n(n∈N*)．
例4 解析：∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴an+1+1an+1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．
例5 解析：∵an＋1＝2anan+2，
∴1an+1＝an+22an＝1an+12，
∴1an+1-1an＝12.
又a1＝1，∴1a1＝1，
∴1an是以1为首项，12为公差的等差数列，
∴1an＝1＋(n－1)×12＝n+12，
∴an＝2n+1.
答案：2n+1
对点训练
1．解析：方法一 (累乘法)因为数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，
所以S1＋1×a1＝1＋1＝2.
因为{Sn＋nan}为常数列，所以由题意知，Sn＋nan＝2，
当n≥2时(n＋1)an＝(n－1)an－1，
从而a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1
＝13·24·…·n-1n+1，
所以an＝2nn+1，当n＝1时上式成立，
所以an＝2nn+1.
方法二 (特值验证法)由a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，可得S1＋1×a1＝1＋1＝2，故Sn＋nan＝2.
当n＝1时，a1＝1，排除C；
当n＝2时，S2＋2×a2＝2，
即a1＋a2＋2a2＝2，即3a2＝1，a2＝13，A，B，D都满足；
当n＝3时，S3＋3a3＝2，
即1＋13＋4a3＝2，
解得a3＝16，排除A、D.
答案：B
2．解析：∵a1，a2a1，…，anan-1，…是首项为1，公比为2的等比数列．
∴anan-1＝2n－1，
∴an＝anan-1·an-1an-2·…·a2a1·a1
＝2n－1·2n－2·…·21·1
＝2nn-12
则lg2an＝lg22nn-12＝nn-12，故选D.
答案：D
3．解析：因为an＋1＝an1+3an，两边取倒数得1an+1-1an＝3，又a1＝1，所以数列1an是首项为1，公差为3的等差数列，所以1an＝1＋(n－1)×3＝3n－2，即an＝13n-2，所以a10＝13×10-2＝128，故选C.
答案：C
4．解析：因为Sn＋1－2Sn＝1，
所以Sn＋1＝2Sn＋1.
因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，
所以an＝2n－1，n∈N*.
答案：an＝2n－1，n∈N*
例6 解析：由题意知1－an≠0，所以an＋1＝1＋2an1-an.又a1＝2，所以a2＝1＋2a11-a1＝－3，a3＝1＋2a21-a2＝－12，a4＝1＋2a31-a3＝13，a5＝1＋2a41-a4＝2＝a1，…由此可得数列{an}是周期为4的数列．又因为a1a2a3a4＝1，所以可以得到数列{an}的前2023项的乘积为(a1a2a3a4)505·a1a2a3＝2×(－3)×(－12)＝3.故选D.
答案：D
例7 解析：当n≥7时，数列{Sn}为递增数列，设Sn＋1＞Sn，即Sn＋1－Sn＝an＋1＞0，
∴an＋1＝2(n＋1)＋λ＞0，则λ＞－2n－2.
又∵n≥7，∴－2n－2≤－16，即λ＞－16.
答案：(－16，＋∞)
例8 解析：(1)令f(x)＝x＋90x(x＞0)，由基本不等式得f(x)≥2 x·90x＝610，当且仅当x＝3 10时，等号成立．因为an＝1n+90n，所以1n+90n≤16 10＝1060，由于n∈N*，故当n＝9或n＝10时，an＝119为最大值．
(2)因为an＋1－an＝(n＋3)·67n+1－(n＋2)·67n＝67n·[6n+37－(n＋2)]＝67n·4-n7.
当n＜4时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝4时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞4时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
所以该数列中最大项为第4项和第5项．
答案：(1)9或10 (2)4或5
对点训练
1．解析：∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，
∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，
b4＝b3－b2＝－1，
b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2，
b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3，
b7＝b6－b5＝3－2＝1.
∴{bn}是周期为6的周期数列，
且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.
∴S2022＝S337×6＝0.
答案：A
2．解析：an＝n-7n-52＝1＋52-7n-52(n∈N*)，根据函数的单调性知，当n≤7或n≥8时，数列{an}为递减数列．因为当n≤7时，an1，所以a8为最大项，可知m＝8.
答案：8
微专题 eq \(○,\s\up1(24)) 渗透美育教育 凸显数学之美
变式训练
解析：设该数列为{an}，依题意可知，a5，a6，…成等差数列，且公差为 2，a5＝5，
设塔群共有n层，则Sn＝1＋3＋3＋5＋5(n－4)＋n-4n-52×2＝108，
解得n＝12，所以该塔共有12层，故选C.
答案：C
概念
含义
数列
按照________排列的一列数
数列的项
数列中的________
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式________表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝____________叫做数列的前n项和
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点________画在平面直角坐标系中
公式法
通项
公式
把数列的通项使用________表示的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数____
无穷数列
项数____
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列
an＋1____an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1____an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
作差
比较法
根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列
作商
比较法
根据an+1an(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断
数形
结合法
结合相应函数的图象直观判断