统考版高中数学（文）复习4-3三角恒等变换学案

这是一份统考版高中数学（文）复习4-3三角恒等变换学案，共5页。学案主要包含了必记3个知识点，必明5个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。
·最新考纲·
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．会利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换．
·考向预测·
考情分析：两角和、差及倍角公式的正用、逆用和变形用仍将是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过三角恒等变换化简、求值考查逻辑推理及数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.与二倍角有关的公式变形
(1)2sin αcs α＝sin 2α，sin αcs α＝12sin 2α，cs α＝sin2α2sinα，cs2α－sin2α＝cs2α，2tanα1-tan2α＝tan2α.
(2)1±sin 2α＝sin2α＋cs2α±2sinαcs α＝(sin α±cs α)2.
(3)降幂公式：
cs2α＝________________．
sin2α＝________________．
二、必明5个常用结论
1．公式的常用变式：tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－tanα+tanβtanα+β＝tanα-tanβtanα-β－1.
2．降幂公式：sin2α＝1-cs2α2；cs2α＝1+cs2α2；sin αcs α＝12sin 2α.
3．升幂公式：1＋cs α＝2cs2α2；1－csα＝2sin2α2；1＋sinα＝sinα2+csα22；1－sin α＝sinα2-csα22.
4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α+β2-α-β2＝(α＋2β)－(α－β)；
α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2-π4-α等．
5．辅助角公式：一般地，函数f(a)＝a sin α＋b cs α(a，b为常数)可以化为f(a)＝a2+b2sin (α＋φ)其中tanφ=ba或f(a)＝a2+b2cs (α－φ)其中tanφ=ab.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( )
(3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(二)教材改编
2．[必修4·P130例4改编]sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )

A．－32 B．32 C．－12 D．12
3．[必修4·P127练习 T2改编]若cs α＝－45，α是第三象限的角，则sin α+π4等于( )
A．－210 B．210
C．－7210 D．7210
(三)易错易混
4．(未注意角的范围致错)设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan (π－2α)＝________．
5．(不会合理配角致错)若tan α＝13，tan (α＋β)＝12，则tan β＝________．
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷]cs2π12－cs25π12＝( )
A．12 B．33
C．22 D．32
第三节 三角恒等变换
积累必备知识
一、
1．cs αcs β－sin αsin β
sin αcs β＋cs αsin β
tan α+tan β1-tan αtan β tan α-tan β1+tan αtan β
2．2sin αcs α cs2α－sin2α 2tanα1-tan2 α
3．1+cs2α2 1-cs 2α2
三、
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．解析：sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°
＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝ 12 .
答案：D
3．解析：根据题意可得sin α＝－1-cs2 α
＝－35 ，
则sin(α+ π4 )＝22sin α＋22cs α
＝ 22×(- 75)＝－ 7210 .
答案：C
4．解析：∵sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，
∴cs α＝－12 ，α＝23π.
∴tan (π－2α)＝tan (π- 43π)＝tan (- π3)＝－3.
答案：－3
5．解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝ tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan α
＝12-131+12+13 ＝ 17.
答案：17
6．解析：因为cs 5π12＝sin (π2 - 5π12)＝sin π12 ，
所以cs2 π12－cs2 5π12＝cs2 π12－sin2 π12＝cs(2×π12)＝csπ6 ＝32 .
答案：D
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和的余弦
cs (α＋β) ＝________________
C(α＋β)
α，β∈R
两角差的余弦
cs (α－β)
＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α－β)
两角和的正弦
sin (α＋β) ＝________________
S(α＋β)
α，β∈R
两角差的正弦
sin (α－β) ＝sin αcs β－cs αsin β
S(α－β)
两角和的正切
tan (α＋β) ＝________________
T(α＋β)
α，β，α＋β≠π2＋kπ(k∈Z)
两角差的正切
tan (α－β) ＝________________
T(α－β)
α，β，α－β≠π2＋kπ(k∈Z)
记法
公式
S2α
sin 2α＝____________
C2α
cs 2α＝____________
T2α
tan 2α＝____________