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    统考版高中数学(文)复习4-3-1三角恒等变换学案

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    统考版高中数学(文)复习4-3-1三角恒等变换学案

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    这是一份统考版高中数学(文)复习4-3-1三角恒等变换学案,共8页。

    1.[2021·全国甲卷]若α∈0,π2,tan 2α=csα2-sinα,则tan α=( )
    A.1515 B.55
    C.53 D.153
    2.[2023·郑州模拟]已知sin α=13(角α为第二象限角),则cs α-π4=( )
    A.4-26 B.2-26
    C.4+26 D.2-46
    3.[2023·安徽合肥检测]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点M(-12,-32),则cs 2α+sin α-π3的值为( )
    A.-12 B.32
    C.1 D.32
    4.[2022·六校联盟第二次联考]若tan π4-α=-2,则tan 2α=________.
    反思感悟 三角函数公式的应用策略
    (1)使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”;
    (2)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系,诱导公式的综合应用.
    考点二 三角函数公式的活用 [综合性]
    [例1] (1)在△ABC中,若tan A tan B=tan A+tan B+1,则cs C的值为( )
    A.-22 B.22
    C.12 D.-12
    (2)[2022·陕西汉中模拟]化简:sin10°1-3tan10°=( )
    A.14 B.12
    C.1 D.33
    听课笔记:
    反思感悟 三角函数公式活用技巧
    (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.
    (2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan (α+β)(或tan (α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用(如本例(1)).
    【对点训练】
    1.已知sin 2α=13,则cs2α-π4=( )
    A.-13 B.13
    C.-23 D.23
    2.已知csα+π6-sin α=435,则sin α+11π6=________.
    3.(1+tan 20°)(1+tan 25°)=________.
    考点三 角的变换与名的变换 [综合性]
    角度1 三角公式中角的变换
    [例2] (1)已知α,β均为锐角,cs α=45,tan (α-β)=-13,则tan β=________.
    (2)已知α,β都是锐角,cs (α+β)=513,sin (α-β)=35,则cs 2α=________.
    听课笔记:
    反思感悟
    1.三角公式求值中变角的解题思路
    (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
    (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
    2.常见的配角技巧
    2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=α+β2-α2+β等.
    角度2 三角公式中函数名的变换
    [例3] (1)已知cs α+2cs α+π3=0,则tan α+π6=( )
    A.-3 B.3
    C.33 D.-33
    (2)[2022·深圳市统一测试]已知tan α=-3,则sin 2α+π4=( )
    A.35 B.-35
    C.45 D.-45
    听课笔记:
    反思感悟 三角函数名的变换技巧
    明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系,诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.
    【对点训练】
    1.[2022·百校联盟联考]已知α、β都是锐角,cs (α+β)=513,sin (α-β)=35,则sin α=( )
    A.9130130 B.7130130 C.76565 D.46565
    2.[2023·长春模拟]若α是锐角,且cs α+π6=35,则cs α+3π2=________.
    3.[2023·沈阳市教学质量监测]若cs x-π6=13,则sin 2x+π6=________.
    第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
    提升关键能力
    考点一
    1.解析:因为α∈(0,π2),所以tan 2α=2sin αcs α2cs2α-1 = csα2-sin α ⇒ 2sin α2cs2α-1 =12-sinα⇒
    2cs2α-1=4sinα-2sin2α⇒2sin2α+2cs2α-1=4sinα⇒sin α=14⇒tan α=1515 .
    答案:A
    2.解析:因为角α为第二象限角,且sin α= 13 ,所以cs α=-223 .
    所以cs (α - π4)=cs αcs π4+sin αsin π4=-223×22 +13×22=2-46.
    答案:D
    3.解析:由题意知sin α=-32 ,cs α=-12 ,所以cs 2α+sin (α- π3 )=2cs2α-1+12sinα-32cs α=2× (-12)2-1+ 12×(-32) -32×(-12)=-12.
    答案:A
    4.解析:由tan ( π4 - α)=-2可得 tanπ4 -tanα1+tanπ4tan α =-2,
    即1-tan α1+tan α =-2,化简得tan α=-3,
    ∴tan 2α=2tan α1-tan2α =2×(-3)1-(-3)2 =34 .
    答案:34
    考点二
    例1 解析:(1)由tan A tan B=tan A+tan B+1,可得tanA+tanB1-tanAtanB=-1,即tan (A+B)=-1,又A+B∈(0,π),所以A+B=3π4,则C=π4,所以cs C=22.
    (2)sin10°1-3tan10°=sin10°cs10°cs10°-3sin10°
    =2sin10°cs10°412cs10°-32sin10°
    =sin20°4sin30°-10°=14.
    答案:(1)B (2)A
    对点训练
    1.解析:cs2α-π4=1+cs2α-π22=12+12sin 2α=12+12×13=23.
    答案:D
    2.解析:由cs (α+π6)-sin α=32cs α-12sin α-sin α=32cs α-32sin α=3(12cs α-32sin α)=3cs α+π3=3sin (π6-α)=435,得sin π6-α=45.sin (α+11π6)=-sin 2π-α+11π6=-sin (π6-α)=-45.
    答案:-45
    3.解析:(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan (20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=2.
    答案:2
    考点三
    例2 解析:(1)由于α为锐角,且cs α=45,故sin α=1-cs2α=35,tanα=sinαcsα=34.
    由tan (α-β)=tanα-tanβ1+tanα·tanβ=-13,解得tan β=139.
    (2)∵α,β都是锐角,∴0

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