统考版高中数学（文）复习4-5函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案

这是一份统考版高中数学（文）复习4-5函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案，共20页。学案主要包含了必记3个知识点，必明2个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。

第五节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

·最新考纲·
1．了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin (ωx＋φ)的图象．
2．了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
3．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

·考向预测·
考情分析：y＝A sin (ωx＋φ)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过运用函数图象变换及应用考查直观想象的核心素养；通过三角函数模型应用，考查数学建模的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤
　　　
2．用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．
x
－φω
π2-φω
π-φω
3π2-φω
2π-φω
ωx＋φ
____
____
____
____
____
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.简谐振动y＝A sin (ωx＋φ)中的有关物理量
y＝A sin (ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)表
示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝____
f＝______
＝______
ωx＋φ

φ

二、必明2个常用结论
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(2)函数y＝sin x-π4的图象是由y＝sin x+π4的图象向右平移π2个单位得到的．(　　)
(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)
(4)函数y＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期为T＝2πω.(　　)
(5)把函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y＝sin 12x.(　　)
(二)教材改编
2．[选修4·P55练习T2改编]为了得到函数y＝2sin 2x-π3的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)
A．向右平移π6个单位长度
B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移π6个单位长度
D．向左平移π3个单位长度
3．[选修4·P56练习T3改编]已知函数f(x)＝2sin (π3x+φ)(|φ|<π2)的图象经过点(0，1)，则该函数的振幅为________，周期T为________，频率为________，初相φ为________．
(三)易错易混
4．(搞错平移的量与ω有关)为了得到函数y＝2sin 5x-π3的图象，可以将函数y＝2sin 5x的图象向________平移________个单位长度．
5．(搞不清不同名函数的平移)要得到函数y＝cos 2x的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移π4个单位长度
B．向右平移π4个单位长度
C.向左平移π2个单位长度
D．向右平移π2个单位长度
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷]把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin x-π4的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin x2-7π12 B．sin x2+π12
C．sin 2x-7π12 D．sin 2x+π12
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　五点法作图及图象变换　[基础型、综合型]
[例1]　已知函数f(x)＝2sin 2x+π6.
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
听课笔记：






一题多变
1．(变条件，变结论)将例1中函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件，变结论)将例1中函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．






反思感悟　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变
换法
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[提醒]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
【对点训练】
1．[2023·江西抚州市测试]将函数y＝2sin 2x+π3的图象向左平移14个最小正周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2cos 2x+π3　　B．y＝－2cos 2x+π3
C．y＝－2sin 2x+π3 D．y＝2sin 2x-2π3
2．[2022·江苏连云港市测试]要得到函数f(x)＝sin 2x+π3的图象，则(　　)
A．可将函数y＝cos 2x的图象向右平移π6个单位得到
B．可将函数y＝sin 2x的图象向左平移π3个单位得到
C．可将函数y＝cos x-π6的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来12倍得到
D．可将函数y＝sin x+π3的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到

考点二　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式　[基础性、综合性]


[例2]　(1)

[2023·安徽省泗县测试]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝π3对称
B．函数f(x)的图象关于点π12，0对称
C．若方程f(x)＝2m在-π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m∈(－1，－32]
D．将函数f(x)的图象向左平移π6个单位可得到一个偶函数
(2)

函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．
听课笔记：









反思感悟　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M-m2，B＝M+m2.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.
(3)求φ，常用方法有
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
【对点训练】
1．[2023·郑州测试]

将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝sin 2x-π6(x∈R)
B．f(x)＝sin 2x+π6(x∈R)
C．f(x)＝sin 2x-π3(x∈R)
D．f(x)＝sin 2x+π3(x∈R)
2．[2023·江西省名校高三教学质量检测]

已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A．7π12+2kπ，19π12+2kπ(k∈Z)
B．7π12+kπ，13π12+kπ(k∈Z)
C．π12+2kπ，7π12+2kπ(k∈Z)
D．π12+kπ，7π12+kπ(k∈Z)

考点三　三角函数图象的综合应用　[综合性、应用性]
角度1　三角函数模型的应用

[例3]　如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有(　　)
A．ω＝2π15，A＝3　　　　B．ω＝152π，A＝3
C．ω＝2π15，A＝5 D．ω＝152π，A＝5
听课笔记：


反思感悟　三角函数模型的实际应用类型及解题关键
(1)已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系．
(2)函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
角度2　函数零点(方程根)问题
[例4]　[2022·哈尔滨六中模拟]设函数f(x)＝sin (2x＋π4)，x∈0，9π8，若方程f(x)＝a恰好有三个根x1，x2，x3，且x1 A．9π8，5π4 B．5π4，11π8
C．3π2，13π8 D．7π4，15π8
听课笔记：


反思感悟　三角函数的根(零点)个数问题可转化为两个函数图象的交点问题.
角度3　三角函数图象性质的综合
[例5]　设函数f(x)＝sin ωx+π5(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在0，π10单调递增；
④ω的取值范围是125，2910.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④

反思感悟　先将y＝f(x)化为y＝A sin (ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝A sin (ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
【对点训练】



1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin π6x+φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5　　　B．6 C．8　　　D．10
2．[2023·湖北联考]已知函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)cos (ωx＋φ)＋cos2(ωx＋φ)－12(ω>0，0≤φ≤π2)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为π2，若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，则f(x)的一个单调递增区间为(　　)
A．-π4，π4 B．-π6，π3
C．-5π12，π12 D．-π3，π6

3．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝3sin 2x－cos 2x的图象经过怎样的平移变换得到；
(3)若方程f(x)＝m在x∈-π2，0上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．








微专题18 三角函数应用问题　数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学知识与方法构建数学模型解决问题的素养．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解结论、验证结果并改进模型，最终解决实际问题．

[例]　为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的坐标为P(x，y)．若针尖的初始坐标为P0(32，12)，当秒针从过点P0的位置(此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t(单位：秒)的函数关系为(　　)
A．y＝sin π30t+π6 B．y＝sin -π60t-π6
C．y＝sin -π30t+π6 D．y＝sin -π30t-π3
解析：方法一　t时刻，秒针针尖经过的圆弧对应的角度为t60×2π＝πt30，以x轴正半轴为始边，P(x，y)所在射线为终边，得P0对应的角度为π6，则P(x，y)对应的角度为π6-πt30，由P0(32，12)可知P(x，y)在单位圆上，所以t时刻P(x，y)的纵坐标y＝sin -πt30+π6，故选C.
方法二　t＝0时，纵坐标y＝12，排除B，D；t＝10时，观察图形，此时纵坐标y≠1，排除A.选C.
答案：C
名师点评　求解三角函数中的数学建模问题需读懂题意，并能根据示意图，将要求解的问题进行转化，从而成功构建桥梁，如本题，根据秒针针尖经过的圆弧对应的角度与起始位置对应的角度，借助单位圆，构建三角函数模型，即可顺利破解；若能利用选项的特征，选取特殊时刻进行排除，可快速求解．

[变式训练]　某市对中心公园进行二期扩建，拟建该市最大的摩天轮建筑．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为(　　)
A．75米　　B．85米　　C．100米　　D．110米




第五节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

积累必备知识
一、
1．|φ|　1ω　1ω　 |φ|ω　A　A
2．0　π2　π　3π2　2π
3． 2πω　1T　ω2π
三、
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2．解析：因为y＝2sin 2x＝2sin[2(x + π6) - π3 ] ，所以将y＝2sin 2x的图象向右平移π6个单位长度可得y＝2sin (2x- π3)的图象．
答案：A
3．解析：振幅A＝2，T＝2ππ3 ＝6，f＝16，
因为图象过点(0，1)，所以1＝2sin φ，
所以sin φ＝12 ，又|φ|< π2 ，所以φ＝π6 .
答案：2　6　16　π6
4．解析：y＝2sin (5x - π3)＝2sin 5(x - π15)，故将函数y＝2sin 5x的图象向右平移π15个单位长度即可得到y＝2sin (5x - π3)的图象．
答案：右　π15
5．解析：要得到函数f(x)＝cos 2x＝sin (2x+ π2)的图象，只需将函数g(x)＝sin 2x的图象向左平移 π4 个单位长度．
答案：A
6．解析：将函数y＝sin (x- π4)的图象向左平移π3个单位长度可得函数y＝sin[ (x+ π3) - π4] ＝sin (x+ π12)的图象，再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝sin (x2 + π12)，故选B.
答案：B
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6 ∈[π6 , 13π6 ] .
列表如下：
2x＋π6
π6
π2
π
3π2
2π
13π6
x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
描点、连线得图象如图所示．

解析：(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sin (x+π6)的图象，再将y＝sin (x+π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin (2x+π6)图象，再将y＝sin (2x+π6)上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin (2x+π6)的图象．
一题多变
1．解析：函数f(x)的图象向左平移π3 个单位长度后得y＝2sin[2(x + π3) + π6 ] ＝2sin (2x+5π6)的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)得g(x)＝2sin (x+5π6)的图象，即g(x)＝2sin (x+5π6).
答案：2sin (x+5π6 )
2．解析：由已知可得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x-m) + π6 ] ＝2sin [2x – (2m - π6) ] 是偶函数，
所以2m－π6＝ π2＋kπ，k∈Z，得m＝kπ2 + π3 ，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为 π3 .

对点训练
1．解析：由题意知：图象平移T4＝π4个单位，
∴f(x)＝2sin 2x+π4+π3＝2cos 2x+π3.
答案：A
2．解析：y＝cos 2x＝sin 2x+π2变换后y＝sin 2x-π6+π2＝sin 2x+π6≠f(x)，故A错误；y＝sin 2x变换后y＝sin 2x+π3＝sin 2x+2π3≠f(x)，故B错误；y＝cos x-π6变换后y＝cos 2x-π6＝sin 2x+π3＝f(x)，故C正确；y＝sin x+π3变换后y＝sin 12x+π3≠f(x)，故D错误．
答案：C
考点二
例2　解析：(1)根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象，
可得A＝2，14·2πω＝π3-π12，∴ω＝2.再根据五点法作图，可得2·π3＋φ＝π，
∴φ＝π3，f(x)＝2sin 2x+π3.排除A；排除B；
在-π2，0上，2x＋π3∈-2π3，π3，方程f(x)＝2m在-π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m∈-1，-32，故C正确；将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，可得y＝2sin 2x+2π3的图象，故所得函数为非奇非偶函数，故D错误．
解析：(2)结合题图知函数f(x)的最小正周期T＝4×7π12-π3＝π；由T＝π得ω＝2，结合题图知A＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)，因为π3，0在f(x)的图象上，所以0＝2sin 2×π3+φ，所以φ＋2π3＝π＋2kπ(k∈Z)，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin 2x+π3.
答案：(1)C　(2)2sin 2x+π3
对点训练
1．解析：依题意，设g(x)＝sin (ωx＋θ)，其中ω>0，|θ|<π2，则有T＝2πω＝4(5π12-π6)＝π，ω＝2，gπ6＝sinπ3+θ＝1，则θ＝π6，因此g(x)＝sin 2x+π6，f(x)＝gx-π6＝sin 2x-π6+π6＝sin (2x－π6)，故选A.
答案：A
2．解析：方法一　由题图知，函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的最小正周期T＝π，所以ω＝2.将点π12，1代入f(x)＝cos (2x＋φ)，得1＝cos (2×π12＋φ)，得π6＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－π6，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f(x)＝cos 2x-π6.令2kπ≤2x－π6≤2kπ＋π，k∈Z，得π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为π12+kπ，7π12+kπ(k∈Z)．
方法二　由题图知，函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的最小正周期T＝π，故排除A，C.又函数f(x)在π12，7π12上单调递减，所以函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的单调递减区间为π12+kπ，7π12+kπ(k∈Z).
答案：D
考点三
例3　解析：已知水轮每分钟旋转4圈，所以T＝604＝15＝2πω，所以ω＝2π15，又因为半径为3 m，水轮中心O距水面2 m，所以最高点距水面5 m，可得A＝3.
答案：A
例4　解析：由题意x∈0，9π8，则2x＋π4∈π4，5π2，画出函数的大致图象，如图所示，

由图得，当22≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，由2x＋π4＝π2得x＝π8，由2x＋π4＝3π2得x＝5π8，由图知，点(x1，0)与点(x2，0)关于直线x＝π8对称，点(x2，0)与点(x3，0)关于直线x＝5π8对称，∴x1＋x2＝π4，π≤x3<9π8，则5π4≤x1＋x2＋x3<11π8，即x1＋x2＋x3的取值范围是5π4，11π8，故选B.
答案：B
例5　解析：已知f(x)＝sin ωx+π5(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b]上，此时f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋π5∈π5，2πω+π5，由f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5<6π，得ω的取值范围是125，2910，所以④正确；当x∈0，π10时，π5<ωx＋π5<πω10+π5<49π100<π2，所以f(x)在0，π10单调递增，所以③正确．故选D.
答案：D
对点训练
1．解析：由图象可知，ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8.
答案：C
2．解析：f(x)＝32sin (2ωx＋2φ)＋12cos (2ωx＋2φ)＝sin 2ωx+2φ+π6，
∵函数f(x)的图象相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴2π2ω×12＝π2，
∴ω＝1，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到奇函数g(x)的图象，
∴g(x)＝sin 2x-π6+2φ+π6＝sin (2x＋2φ－π6)，2φ－π6＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ2+π12(k∈Z)，又0≤φ≤π2，∴φ＝π12，∴f(x)＝sin 2x+π3，
令2x＋π3∈2kπ-π2，2kπ+π2(k∈Z)，得x∈[kπ－5π12，kπ＋π12](k∈Z)，
取k＝0，得x∈-5π12，π12，故选C.
答案：C
3．解析：(1)由题图可知，A＝2，
最小正周期T＝4π3-π12＝π，
所以2πω＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)．
因为fπ3＝0，
所以sin 2π3+φ＝0，所以φ＋2π3＝kπ，k∈Z.
因为|φ|<π2，所以φ＝π3，
所以f(x)＝2sin 2x+π3.
解析：(2)y＝3sin 2x－cos 2x
＝2sin 2x-π6
＝2sin 2x-π4+π3，
故将函数y＝3sin 2x－cos 2x的图象向左平移π4个单位长度得到函数y＝f(x)的图象．
(3)当－π2≤x≤0时，－2π3≤2x＋π3≤π3，故－2≤f(x)≤3.若方程f(x)＝m在x∈-π2，0上有两个不相等的实数根，则曲线y＝f(x)与直线y＝m在x∈-π2，0上有2个交点，结合图形，易知－2 微专题　三角函数应用问题
变式训练
　解析：设该人距地面高度与时间t的关系f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，φ∈[0，2π))，由题意可知：A＝50，B＝110－50＝60，T＝2πω＝21，所以ω＝2π21，
即f(t)＝50sin 2π21t+φ＋60，
又因为f(0)＝110－100＝10，即sin φ＝－1，故φ＝3π2，
所以f(t)＝50sin 2π21t+3π2＋60，
所以f(7)＝50sin 2π21×7+3π2＋60＝85.
答案：B