统考版高中数学（文）复习2-9函数模型及其应用学案

这是一份统考版高中数学（文）复习2-9函数模型及其应用学案，共18页。学案主要包含了必记3个知识点，必记1个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。

最新考纲
1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
考向预测
考情分析：考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，预计高考对本节考查将延续近几年的考查风格，各种题型均有可能，属中档题．
学科素养：通过函数模型的应用考查数学建模的核心素养．
必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．几种常见的函数模型
2.指数、对数、幂函数模型性质比较
3.解答函数应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
二、必记1个常用结论
“对勾”函数的性质
函数f(x)＝x＋ax(a>0)，
(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增；在[－a，0)和(0，a]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a；
当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )
(3)幂函数增长比直线增长更快．( )
(二)教材改编
2．[必修1·P104例5改编]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
3．[必修1·P103例4改编]某动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年繁殖到________只．
(三)易错易混
4．(折线图识别不清)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
5．(对函数增长速度认识不清)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
(四)走进高考
6．[2021·全国甲卷理]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 利用函数的图象刻画实际问题 [基础性]
1．[2023·青岛质检改编]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论不正确的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
2．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－fb-fab-a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列结论不正确的是( )
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
3.
[2022·武汉调研]为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋lg2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米．
反思感悟 判断实际问题中两变量呈现某种变化趋势的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考点二 应用所给函数模型解决实际问题 [综合性]
[例1] [2020·山东卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
反思感悟 求解已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【对点训练】
[2020·全国Ⅲ卷]Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型： I(t)＝K1+e-0.23t-53，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69
考点三 构建函数模型的实际问题 [综合性]
角度1 构建二次函数模型
[例2] 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为30-52R万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( )
A．[4，8] B．[6，10]
C．[4%，8%] D．[6%，10%]
角度2 构建指数(对数)型函数模型
[例3] (1)[2023·青岛检测]一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
(2)[2022·唐山联考]尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.
①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；
②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取10＝3.2)
角度3 分段函数模型
[例4] 某旅游区为了提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
听课笔记：
反思感悟 (1)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．
(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一块，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．
【对点训练】
1．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
2．[2023·贵阳调研]一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
微专题 eq \(○,\s\up1(12)) 实际问题中的数学模型
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．
[例] [2020·江苏卷]
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－1800b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上，(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
解析：(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．
由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1＝160.
由140O′A2＝160，得O′A＝80，所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米)，所以桥AB的长度为120米．
(2)以O为原点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，设F(x，y2)，x∈(0，40)，则y2＝－1800x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋1800x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.
设D(x－80，y1)，则y1＝140(80－x)2，所以CD＝160－y1＝160－140(80－x)2＝－140x2＋4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则
f(x)＝k(160＋1800x3－6x)+ 32 k-140x2+4x
＝k1800x3-380x2+160(0所以f′(x)＝k3800x2-340x＝3k800x(x－20)，
令f′(x)＝0，则x＝20，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如图所示．
所以当x＝20时，f(x)取得最小值．
所以当O′E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．
名师点评 建立函数模型应把握的三个关口
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．
[变式训练] [2023·山东济宁测试]食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋42a，Q＝14a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
第九节 函数模型及其应用
积累必备知识
一、
2．递增 递增 y轴 x轴
三、
1．答案：(1)× (2)× (3)×
2．解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：18
3．解析：依题意知alg33＝100，a＝100.
当x＝8时，y＝100lg39＝200.
答案：200
4．解析：由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
答案：D
5．解析：∵f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，
∴f′(x)＝2x，g′(x)＝2x ln 2，h′(x)＝1xln2，
当x>4时，2x ln 2>2x>1xln2，
∴g′(x)>f′(x)>h′(x)，
故三个函数的增长速度为g(x)>f(x)>h(x)．
答案：B
6．解析：由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，
则V＝10－0.1＝10-110＝11010≈11.259≈0.8.
答案：C
提升关键能力
考点一
1．解析：由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，其余全部正确．
答案：A
2．解析：－fb-fab-a表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－fb-fab-a越大治理能力越强．对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于D，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误．
答案：D
3．解析：由散点图的走势，知模型①不合适．
曲线过点4，73，则后三个模型的解析式分别为②y＝13＋lg2t；③y＝12t＋13；④y＝t+13，
当t＝1时，代入④中，得y＝43，与图不符，易知拟合最好的是②.
将t＝8代入②式，得y＝13＋lg28＝108(米)．
答案：② 103
考点二
例1 解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若It1=e0.38t1，It2=e0.38t2，It2=2It1，则e0.38(t2－t1)＝2，0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.
答案：B
对点训练
解析：I(t*)＝K1+e-0.23t*-53＝0.95K，整理可得e0.23(t*－53)＝19，两边取自然对数得0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈66，故选C.
答案：C
考点三
例2 解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，
需30-52R×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].
答案：A
例3 解析：(1)设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，则有y＝14x.
依题意得14x≤1100.
则22x≥100，解得x≥4.
所以至少需要的年数是4.
(2)①该次地震释放能量约1012焦耳，即E＝1012代入lg E＝4.8＋1.5M，化简得M＝lg1012-4.81.5＝12-4.81.5＝4.8.
因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”．
②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2.
由题意知，lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，
lg E2＝4.8＋1.5×9＝18.3，
即E1＝1016.8，E2＝1018.3，
所以E2E1＝101.5＝1010，取10＝3.2，得E2E1＝32.
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍．
答案：(1)C (2)见解析
例4 解析：(1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115>0，解得x>2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6故y＝50x-1153≤x≤6，x∈Z-3x2+68x-1156(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)．显然当x＝6时，ymax＝185，
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3x-3432＋8113(6∵270>185，
∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
对点训练
1．解析：设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润
y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.
因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
答案：C
2．解析：①设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，
解得x＝1-12110.
故每年砍伐面积的百分比为1-12110.
②设经过m年剩余面积为原来的22，
则a(1－x)m＝22a，把x＝1-12110代入，
即12m10＝1212，
即m10＝12，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
3．解析：(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20再由已知得200a+b=0，20a+b=60，
解得a=-13，b=2003.
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝60，0≤x≤20，13200-x，20(2)依题意及(1)可得
f(x)＝60x，0≤x≤20，13x200-x，20当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，f(x)取得最大值，其最大值为60×20＝1 200；
当20当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)取得最大值10 0003.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
微专题 eq \(○,\s\up1(12)) 实际问题中的数学模型
变式训练
解析：(1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f(50)＝80＋4×2×50+14×150＋120＝277.5.
(2)由题知f(x)＝80＋42x+14(200－x)＋120＝－14x＋42x＋250，
依题意得x≥20，200-x≥20，解得20≤x≤180，
故f(x)＝－14x＋42x＋250(20≤x≤180)．
令t＝x，则t2＝x，t∈[25，65]，
则y＝－14t2＋42t＋250
＝－14(t－82)2＋282，
当t＝82，即x＝128时，y取得最大值282.
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关的模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相
关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调________
单调________
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐
渐表现为与
________平行
随x的增大逐
渐表现为与
________平行
随n值变化
而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgaxx
(0，20)
20
(20，40)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增