中考数学三轮冲刺考前过关练习专题11 四边形（教师版）

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 专题11 四边形一．选择题1．（2020•滨海新区一模）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于　　A．6 B．8 C． D．【解析】四边形是矩形，，，，，，是等边三角形，，，故选：．2．（2020•盐田区二模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．给出结论：①；②；③；④若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是　　A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解析】如图，延长交的延长线于点，∵点是的中点，，，，，，，又，，绕点顺时针旋转得到，，，，故①正确；，，，，，，，故②正确；如图，连接，过点作于点，过点作于，交于，连接，，，，四边形是矩形，，，，点在上运动，当时，有最小值，，，的最小值，故④正确；，，，，，，是梯形的中位线，，，，，，，，，，又，，，，，，，，故③错误；故选：．3．（2020•宁波模拟）如图，在矩形中，，分别是，的中点，，则的长为　　A．6 B．5 C．4 D．3【解析】如图，连接，∵四边形是矩形，，，分别是，的中点，，故选：．4．（2020•周村区一模）如图，有两张矩形纸片和，，．把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角最小时，等于　　A． B． C． D．【解析】如图，∵四边形和四边形是矩形，，，，且，，，，且四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，设，则，，，，，故选：．5．（2020•高唐县一模）如图，的周长为32，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为　　A．14 B．15 C．18 D．21【解析】四边形是平行四边形，，，，的周长为32，，∵点是的中点，，是的中位线，，，的周长；故选：．6．（2020•扬中市模拟）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　　A． B． C．4 D．3【解析】连接、．∵四边形，四边形是菱形，，，，，分别是对角线，的中点，，，，设，则，，，，时，有最小值，最小值为，故选：．7．（2020•龙华区二模）如图，已知四边形是边长为4的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．则下列结论中：①；②若，则；③当时，；④的最小值为．其中正确的有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】连接，过作于，则，，，，，，，，，故①正确；，，，，，，，；故②正确；连接，，点，，，四点共圆，，，，同理当运动到点右侧时，此时，且四点共圆，，故此时．因此或7，故③错误；取 的中点，连接，，，，点在以为圆心，为直径的圆上，当最小时，的值最小，，的最小值，，，的最小值为，故④错误，故选：．8．（2020•庆云县一模）如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：①平分；②；③是的中点；④；⑤，其中正确的有　　A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解析】，，，，将绕点逆时针旋转，，，，，，，，又，四边形是矩形，，，，，，，，，，平分，故①正确；，，，，，，，，故②正确；如图，连接，，，，，，，，，，，，，点是的中点，故③正确，如图，过点作于，，，，，，，，，，，，，，故④正确；，，，，，故⑤不合题意，故选：．二．填空题9．（2020•顺平县一模）如图，中，，．于点，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，到点停止，设点的运动时间为．（1）__________；（2）若是等腰三角形，则的值为__________．【解析】（1），，，，，，，故答案为：4；（2）当点在边上时，是等腰三角形，，，，∵四边形是平行四边形，，，，；当点在上时，是等腰三角形，，，，，，，，解得，；由上可得，的值是2或，故答案为：2或．10．（2020•成都模拟）如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点在的延长线上且，连接，过点作交延长线于点，连接并延长交的延长线于点，则__________．【解析】作于，于，∵四边形为矩形，，，，，∵点为的中点，，，，，，，在中，，，，，又，，，即，解得，，，，、、、四点共圆，，又，，，故答案为：．11．（2020•海门市一模）如图，正方形的边长为6，点在延长线上，，作交延长线于点，则的长为__________．【解析】如图，在上截取，连接．，，，．，即．又，．，．，设，，，，，，，，解得，，，故答案为：10．12．（2020•顺德区三模）如图，分别以的边、为一边向外做正方形和正方形，连结、交于点，连结和．在不添加任何辅助线和字母的前提下，写出四个不同类型的结论__________．【解析】，，，平分，（答案不唯一）理由如下：如图，连接，正方形和正方形，，，，，，，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，平分．13．（2020•道里区二模）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为__________．【解析】过点作于，，，，，在中，，，的面积，故答案为：．14．（2020•亭湖区二模）如图，在四边形中，，，，，是上一点，且，，则__________．【解析】过作交的延长线于，延长到使，，，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，设，，，在中，，即，解得即，故答案为：10．15．（2020•娄星区一模）如图，正方形的对角线相交于点，过点任意作一条直线，分别交、于点、，若正方形的对角线长为，则图中阴影部分的面积是__________．【解析】∵四边形是正方形，对角线，正方形的边长为1，∵依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知，则得图中阴影部分的面积为正方形面积的，因为正方形的边长为1，则其面积为1，于是这个图中阴影部分的面积为．故答案为：．16．（2020•新北区一模）已知在菱形中，，，，，，则菱形的边长__________．【解析】连接，过作交的延长线于，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，，过作交的延长线于，，，，，，，在菱形中，，是等边三角形，，故答案为：．17．（2020•温州模拟）如图，四边形，均为菱形，，连结，，，，若，菱形的周长为12，则菱形的周长为__________．【解析】四边形，均为菱形，，，，，，，，，连接交于，交于，延长交于，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，∵菱形的周长为12，，，，过作于，，，，，设，，，，，．菱形的周长为，故答案为：．三．解答题18．（2020•宁乡市一模）如图，点在的内部，，．（1）求证；（2）若的面积为，求四边形的面积．【解析】（1）∵四边形是平行四边形，，，，，，，同理得，在和中，，；（2）点在内部，，由（1）知：，，，的面积为，四边形的面积为．19．（2020•上虞区模拟）如图，矩形的四个顶点在正的边上，已知正的边长为2，记矩形的面积为，边长为．求：（1）关于的函数表达式和自变量的取值范围；（2）当时，的值．【解析】（1）在矩形中，，则，是等边三角形，，正的边长为2，，在中，，，，即关于的函数表达式为，自变量的取值范围为；（2）当时，，解得．20．（2020•建瓯市模拟）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点．（1）求；（2）判断是否平分，并说明理由；（3）连接，不添加辅助线，试证明，直接写出一种经过两次变换的方法使得与重合．【解析】（1），，在中，，，；（2）平分，理由如下：在中，，，，，，，平分；（3），，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，在和中，，，变换的方法为：①将绕点顺时针旋转和重合，再沿折叠；②将以过点垂直于的直线折叠，再绕点逆时针旋转．21．（2020•李沧区一模）如图，是的边的中点，，，与相交于点，连接，．（1）求证：；（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由．【解析】（1）证明：，，四边形是平行四边形，，是的边的中点，，；（2）解：当满足是直角三角形，时，四边形是菱形；理由如下：由（1）得：，，四边形是平行四边形，，是的边的中点，，四边形是菱形．22．（2020•秦淮区一模）如图，在中，是的中点．作，且使，连接，与交于点．（1）求证；（2）连接、，要使四边形是菱形，的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．【解析】（1）证明：是的中点，，，，，四边形是平行四边形，；（2）解：当（或时，四边形是菱形；理由如下：如图2所示：是的中点，，，，，四边形是平行四边形，由（1）得，四边形是平行四边形，，当时，，，即，四边形是菱形．23．（2020•斗门区二模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求菱形的周长和对角线的长．【解析】（1）证明：四边形是矩形，，，，，．是的垂直平分线，在和中，，，．，四边形是平行四边形．，四边形是菱形．（2）解：设，则．在中，由勾股定理得：，解得：．即，菱形的周长为．在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：，由（1）得：，．24．（2020•资兴市二模）如图①所示，已知正方形和正方形，、、在同一直线上，点在上，连接，．（1）证明：；（2）发现：当正方形绕点旋转，如图②所示，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）探究：如图③所示，若四边形与四边形都为矩形，且，时，判断与的数量关系和位置关系是否与（2）的结论相同，并说明理由．【解析】（1）证明：四边形和四边形是正方形，，，，，；（2），．如图1中，四边形和四边形是正方形，，，，，在和中，，，；，延长交于，交于．，，，，，．（3）数量关系不成立，，位置关系成立．如图2中，延长交于，交于．∵四边形与四边形都为矩形，，，，，，，，，，，，，，，．25．（2020•宛城区一模）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．【解析】（1），都是等腰直角三角形，，，，，，则可以看成是绕点旋转后放大倍得到的，故直线与直线相交所成的锐角的度数是；故答案为：，．（2）是腰长为4 的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，，，，，，，，，，当时，，，三点在一直线上时，在中，，，如图1，当点在线段上时，，．如图2，当点在线段的延长线上时，，．综合以上可得，当时，线段的长为或；（3）延长到，使得，连接，，则为等腰直角三角形，，为的中点，为的中点，为的中位线，，在中，，，．