中考数学三轮冲刺考前过关练习专题13 尺规作图（教师版）
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专题13 尺规作图
一．选择题
1．（2020•东营区一模）如图，矩形中，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点，两点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，若，则的长为
A． B． C． D．
【解析】如图所示，过作于，
由题可得，平分，
，
，
，，
，
中，，
故选：．
2．（2020•夷陵区模拟）如图，，以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以为端点作射线，在射线上截取线段，则点到的距离为
A．4 B．3 C．2 D．
【解析】根据作图过程可知：
是的平分线，
，
，
点到的距离2．
故选：．
3．（2020•西华县一模）如图，的直角边在轴上，在轴的正半轴上，且，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交轴于点．则点的坐标为
A． B． C． D．
【解析】，．
，，，
根据作图过程可知：
是的平分线，
作于点，
则，
，，
在中，根据勾股定理，得
，
即，
解得．
所以点的坐标为．
故选：．
4．（2020•中原区校级模拟）如图所示，在中，，按以下步骤作图：
①以点为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交、于点，；
②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点，若，．
则的长为
A．11 B．12 C．18 D．20
【解析】过点作于点，
由作图知平分，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
由得，
解得：，即，
，
故选：．
5．（2020•信阳模拟）如图，中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于，两点：②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③连接并延长交于点，交的延长线于点，则的长为
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【解析】由作图可知，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
6．（2020•温州一模）在中，，，，以点为圆心，为半径作圆弧，与交于，再分别以，为圆心，大于的长为半径作圆弧交于点，，作直线，交于，则的长度为
A． B．4 C． D．5
【解析】由作图可得，，，垂直平分，
，
，，，
，
，，
，
，即，
解得，
故选：．
7．（2020•海淀区校级二模）如图，在菱形中，按以下步骤作图：
①分别以点和点为圆心，大于的同样的长为半径作弧，两弧交于，两点；
②作直线，交于点，连接．
若直线恰好经过点，则下列说法错误的是
A． B．
C．若，则 D．
【解析】如图，
、根据作图过程可知：
是的垂直平分线，连接，
，
四边形是菱形，
，
，
三角形是等边三角形，
．
所以选项正确；
、点是的中点，
，
，
所以选项正确；
、，，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
所以选项错误；
、过点作延长线的垂线，垂足为，
，
，
设，则，，，
在中，，
．
所以选项正确．
所以下列说法错误的是选项．
故选：．
8．（2020•朝阳区模拟）如图，中，．
（1）以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线；
（2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点；
（3）过点作交的延长线于点，连接．
根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：
①；
②；
③；
④．
所有正确结论的序号为
A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④
【解析】如图，连接，交于点，
由作图过程可知：
是的垂直平分线，是的平分线，
设与交于点，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
所以①正确；
，
，
但是，
②不正确；
．
③正确；
与不全等，
，
④不正确．
所以正确结论的序号为①③．
故选：．
二．填空题
9．（2020•青白江区模拟）如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；
②作直线，分别交边，于点和，连接．若，，则的长为 ．
【解析】连接，
由作图可知：点、点在线段的垂直平分线上，
垂直平分线段
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
10．（2020•成都模拟）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为 ．
【解析】结合作图的过程知：平分，
，，
点到的距离等于的长，为，
故答案为：．
11．（2020•成华区模拟）如图，四边形中，，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，交于点．若点恰好是的中点，则的长为 ．
【解析】由作图过程可知：
是的垂直平分线，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
．
所以的长为．
故答案为：．
12．（2020•乐至县一模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为 ．
【解析】由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为1，
所以的面积．
故答案为：2．
13．（2020•温江区模拟）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 ．
【解析】作于，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，
，
，，
，
的面积，
故答案为24．
14．（2020•成都模拟）如图，在菱形中，按以下步骤作图：
①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、；
②作直线交于点，连接；
若，，则的长为 ．
【解析】由作法得垂直平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
四边形是菱形，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
三．解答题
15．（2020•朝阳区二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①任意取一点，使点和点在直线的两旁；
②以为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接；
③分别以点，为圆心，以，长为半径画弧，两弧相交于点（点和点在直线的两旁）；
④作直线．
所以直线就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，
， ，
四边形是平行四边形 （填推理依据）．
．
【解析】（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：连接，
，，
四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
．
故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
16．（2020•平谷区二模）下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线和直线外一点．
求作：过点作直线的平行线．
作法：如图，
①在直线上任取点；
②作直线；
③以点为圆心长为半径画圆，交直线于点，交直线于点；
④连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（点与点不重合）；
⑤作直线；
则直线即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明：
证明：连接、，
，
，
，
又，
，
，
（填推理的依据）．
【解析】（1）补全图形如下：
（2）证明：连接、，
，
，
，
又，
，
，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：，，，，内错角相等，两直线平行．
17．（2020•西城区二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：
已知：．
求作：点，使得点在边上，且到，边的距离相等．
作法：如图，
作的平分线，交于点．
则点即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：作于点，作于点，
平分，
（括号里填推理的依据）．
【解析】（1）补全图形如图所示；
（2）证明：作于点，作于点，
平分，
（角平分线的性质），
故答案为：，，角平分线的性质．
18．（2020•河东区一模）如图，在中，点为弧的中点过点作的切线，交弦的延长线于点．
（Ⅰ）如图①，连接，若，求的大小；
（Ⅱ）如图②，连接，若，，求的度数．
【解析】（1）如图①，连接，，
是的切线，
，
，
点为弧的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）如图②，连接，，
是的切线，
，
，
由（1）方法可得，
，
，
，
，
，
．
19．（2020•福州二模）如图，已知，，分别是射线，上的点．
（1）尺规作图：在的内部确定一点，使得且；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）中，连接，用无刻度直尺在线段上确定一点，使得，并证明．
【解析】（1）如图，点即为所求．
（2）如图，点即为所求．
理由：由（1）得，，
，，
，
，
．
20．（2020•建邺区一模）【概念认识】
若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．
如图①，点是锐角的边上一点，以为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上．当半径最大时，半圆为边关联的极限内半圆．
【初步思考】
若等边的边长为1，则边关联的极限内半圆的半径长为 ．
如图②，在钝角中，用直尺和圆规作出边关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）．
【深入研究】
如图③，，点在射线上，，点是射线上一动点．在中，若边关联的极限内半圆的半径为，当时，求的长的取值范围．
【解析】（1）如图，设边关联的极限内半圆与相切于点，连接，．
，，，
，
故答案为．
（2）如图，半圆即为所求．
（3）当 时， 取得最小值．
如图③中，半圆与、 分别相切于点、，连接． 设，则．
在 中，，，，
，
在 中，，，，
，．
，且，
．
．
，解 得．
．
当 时，半圆经过点．
如图②，过点 作 的垂线交 于点．
由（2）知，当 在射线 上时，，
，均符合题意．
综上所述，当 时，．．
21．（2020•莲湖区二模）如图，已知线段．
（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以为腰、底角等于的等腰．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的前提下，若，则等腰的外接圆的半径为 ．
【解析】（1）如图，为所作；
（2）和为等边三角形，
，
等腰的外接圆的半径为2
故答案为2．
22．（2020•金华一模）人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，其中转化思想是中学数学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方法．
问题提出：求边长分别为、、的三角形的面积．
问题解决：
在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出边长分别为、、的格点三角形（如图．是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，是直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请直接写出图1中的面积为 ．
（2）类比迁移：求出边长分别为、、的三角形的面积（请利用图2的正方形网格画出相应的，并求出它的面积）．
【解析】（1）
；
故答案为：；
（2）如图2所示：即为所求，
．
23．（2019•陆丰市模拟）如图，已知，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．
（1）作的外接圆；
（2）若所在平面内有一点，满足，，求作点．
【解析】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：点即为所求．
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中考数学三轮冲刺考前过关练习专题14 图形的相似（教师版）： 这是一份中考数学三轮冲刺考前过关练习专题14 图形的相似（教师版），共34页。
中考数学三轮冲刺考前过关练习专题12 圆（教师版）： 这是一份中考数学三轮冲刺考前过关练习专题12 圆（教师版），共25页。
