中考数学三轮冲刺考前过关练习专题14 图形的相似（教师版）

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专题14 图形的相似
一．选择题
1．（2020•宁波模拟）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，P是AD上一点，连结PB，PC，若=，∠BPC=120°，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】如图，过点P作EF∥BC交AB于E，交AC于F，

∵EF∥BC，
∴，
∴，
∴设PE=4a，PF=9a，
∵∠BPC=120°，
∴∠BPE+∠CPF=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
∴BE=CF，
∵∠AEF=∠ABP+∠BPE=60°，∠AFE=∠ACP+∠CPF=60°，
∴∠BPE=∠PCF，∠CPF=∠ABP，
∴△BPE∽△PCF，
∴，
∴PE•PF=BE2=36a2，
∴BE=6a，
∴=，
故选：C．
2．（2020•番禺区一模）如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△AEH～△DAH；④AE•AD=AH•AF；其中正确的结论个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
∴∠BAF=∠ACE，EC=AF，
∵∠FHC=∠ACE+∠FAC=∠BAF+∠FAC=∠BAC=60°，
∴∠FHC=∠B，
故①正确，②正确；
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH=∠BAF，
∴∠AHD=∠FHC=∠AHE=60°，
∴△AEH～△DAH，故③正确；
∵∠ACE=∠BAF，∠AEH=∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
∴，
∴AE•AC=AH•EC，
∴AE•AD=AH•AF，
故④正确；
故选：D．
3．（2020•江干区一模）如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【解析】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对，
故选：C．
4．（2020•萧山区模拟）已知平行四边形ABCD，点E是DA延长线上一点，则（　　）

A．= B．= C．= D．=
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△AEM∽△DEC，
∴=，故A错误；
∵AM∥CD，
∴=，故B正确；
∵BM∥CD，
∴△BMF∽△DCF，
∴，故C错误，
∵ED∥BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴，
∵AB∥CD，
∴△BFM∽△DFC，
∴=，
∴=，故D错误．
故选：B．
5．（2020•宝安区二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为边AC上一点，连接BD，作AH⊥BD的延长线于点H，过点C作CE∥AH与BD交与点E，连结AE并延长与BC交于点F，现有如下4个结论：①∠HAD=∠CBD；②△ADE∽△BFE；③CE•AH=HD•BE；④若D为AC中点，则=（）2．其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】∵AH⊥BD，
∴∠AHD=90°，
∵∠BCD=90°，∠ADH=∠BDC，
∴∠HAD=∠CBD；所以①正确；
当CD=CF时，
∵CA=CB，
∴△CAF≌△CBD，
∴∠CAF=∠CBD，
此时△ADE∽△BEF，所以②错误；
∵∠HAD=∠CBE，∠AHD=∠BEC，
∴△AHD∽△BEC，
∴AH：BE=DH：CE，
∴CE•AH=HD•BE，所以③正确；
∵CE为BD上的高，
∴CE2=DE•BE，
∴（）2==，
∵EF与CD不平行，
∴≠，
而=，
∴≠（）2，所以④错误．
故选：B．

6．（2020•深圳模拟）如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DE=DF；②∠CME=∠CDE；③DG2=GN•GE；④若BF=2，则MC=；正确的结论有（　　）个

A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】正方形ABCD中，AD=CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，故①正确；
∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，
∴∠DEF=45°，
连接BM、DM．
∵M是EF的中点，
∴MD=EF，BM=EF，
∴MD=MB，
在△DCM与△BCM中，，
∴△DCM≌△BCM（SSS），
∴∠BCM=∠DCM=BCD=45°，
∴∠MCN=∠DEN=45°，
∵∠CNM=∠END，
∴∠CME=∠CDE，故②正确；
∵∠GDN=∠DEG=45°，∠DGN=∠EGD，
∴△DGN∽△EGD，
∴=，
∴DG2=GN•GE；故③正确；
过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH=45°，
∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，
∴MH是△BEF的中位线，
∴MH=BF=1，
∴CM=MH=故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：A．

7．（2020•中山市校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC=∠AEB；②CF⊥DE；③AF=BF；④=，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD=6，BE=CE=3，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC=∠AEB，∠BAE=∠CDE，DE=AE，故①正确，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE=∠BCF，DC=BC，∠DCE=∠CBF=90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE=BF，
∵CE=BC=AB，
∴BF=AB，
∴AF=FB，故③正确，
∵DC=6，CE=3，
∴DE===3，
∵S△DCE=×CD×CE=×DE×CH，
∴CH=，
∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴=，
∴CF==3，
∴HF=CF﹣CH=，
∴=，故④正确，
故选：D．

8．（2020•广东一模）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②△ABE∽△AEF；③CF=CD；④S△ABE=4S△ECF．正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴=，
∵BE=CE=BC，
∴=（）2=4，
∴S△ABE=4S△ECF，故④正确；
∴CF=EC=CD，故③错误；
∴tan∠BAE==，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，
∴AE=2a，EF=a，AF=5a，
∴==，==，
∴=，
∴△ABE∽△AEF，故②正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选：B．
二．填空题
9．（2020•增城区一模）如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ、DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD＜S四边形OECF；①当BP=1时，tan∠OAE=，其中正确结论的是　　．（请将正确结论的序号填写在横线上）

【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP，故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2=OD•OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE•OP；故②错误；
在△CQF与△BPE中
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＜S四边形OECF；故③错误；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=4，
∵△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE=，
∴QE=，
∵△QOE∽△PAD，
∴=，
∴QO=，OE=，
∴AO=5﹣QO=，
∴tan∠OAE=，故④正确，
故答案为：①④．
10．（2020•西湖区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E在AB上，连结CE交AD于点F，且AE=AF，以下命题：①4∠BCE=∠BAC；②AE•DF=CF•EF；③=；④AD=（AE+AC）．正确的序号为　　．

【解析】设∠BCE=β，∠AFE=α，
延长FD使得DG=DF，连接CG，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=∠DFC=α，
∴∠EAF=180°﹣2α，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2（180°﹣2α），
∵α+β=90°，
∴α=90°﹣β，
∴∠BAC=360°﹣4（90°﹣β）=4β=4∠BCE，故①正确．
若AE•DF=CF•EF，
则，
由于△AEF与△CDF不相似，故AE•DF=CF•EF不成立，故②错误．
∵AD是平分∠BAC，
∴，
即，故③正确．
∵AD⊥BC，DF=DG，
∴CF=CG，
∴∠G=∠DFC=α，∠FCG=2∠BCE=2β，
∵∠B=α﹣β，
∴∠ACE=α﹣β﹣β=α﹣2β，
∴∠ACG=∠ACE+∠ECG=α﹣2β+2β=α，
∴AG=AC，
∴AG﹣AD=DG，AD﹣AF=DF，
∴AG﹣AD=AD﹣AF，
∴2AD=AG+AF=AC+AF=AE+AC，故④正确，
故答案为：①④．

11．（2020•安庆模拟）如图，⊙O的半径为6，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB=x，PC=y，则y与x的函数表达式为　　．

【解析】连接PO并延长交⊙O于H，连接BH，
由圆周角定理得，∠C=∠H，∠PBH=90°，
∵PA⊥BC，
∴∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠PBH，
∴△PAC∽△PBH，
∴=，即=，
∴y=，
故答案为：y=．

12．（2020•大东区二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是边AC的中点，CE⊥BD于E．若F是边AB上的点，且使△AEF为等腰三角形，则AF的长为　　．

【解析】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2，
∵∠DCB=90°，CE⊥BD，
∴△CDE∽△BDC，
∴CD2=DE•DB，
∵AD=CD，
∴AD2=DE•DB，
∴=，
∵∠ADE∠ADB，
△DAE∽△DBA；
∴==，
∴AE=，
∵DE=，BD=，
∴BE=，
如图1中，若AE=AF时，∴AF=，

如图2中，若FE=AE时，过点E作EJ⊥AB于J，
∵JE2=AE2﹣AJ2=EB2﹣BJ2，
∴﹣AJ2=﹣（2﹣AJ）2，
∴AJ=，
∵AE=EF，EJ⊥AF，
∴AF=2AJ=，
如图3中，若EF=AF时，过点E作EJ⊥AB于J，

∵EJ2=AE2﹣AJ2=EF2﹣FJ2，
∴﹣=AF2﹣（﹣AF）2，
∴AF=，
综上所述：AD的长为或或．
故答案为或或．
13．（2020•成都模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为　　．

【解析】过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∴EM=DE，
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM=EC，
设EM=EC=x，
∵CD=2，
∴DE=2﹣x，
∴x=（2﹣x），
解得x=2﹣2，
∴EM=2﹣2，
由旋转的性质可知：CF=CE=2﹣2，
∴BF=BC+CF=2+2﹣2=2．
故答案为：2．

14．（2020•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE=45°，则CE=　　．

【解析】过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，

过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，
过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，
则四边形CHBQ为矩形，
∵∠BFE=45°，AM∥BD，
∴∠BFE=∠MAN=45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM=MN，
∵∠AMK+∠NMQ=∠AMK+∠MAK=90°，
∴∠NMQ=∠MAK，
又∵∠AKM=∠MQN=90°，
∴△AKM≌△MQN（AAS），
∴KM=NQ，MQ=AK=8，
∵D为AC的中点，AC=6，
∴AD=DC=BM=3，
∴MK=NQ=3，
∴BQ=CH=5，
∴HN=HQ﹣NQ=8﹣3=5，
∵CE∥HN，
∴△ACE∽△AHN，
∴，
即，
∴CE=，
故答案为：．
15．（2020•新都区模拟）△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连结PM，PN，则下列结论：①PM=PN②③△PMN为等边三角形 ④若BN=CP，则∠ACB=75°．则正确结论是　　．

【解析】①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=BC，PN=BC，
∴PM=PN，故①正确；

②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴=，
∴=，故②正确；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，故③正确；
∵BN=CP，BP=CP（P为BC的中点），
∴BN=BP，
∵∠BPN=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=75°，故④正确；
故答案为：①②③④．
16．（2020•河南一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，BC=，D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，△ADE'与△ADE关于AD所在的直线对称，且AE'所在的直线与直线BC相交于点F，直线BE'与直线AC相交于点H，若点E′到Rt△ABC的斜边和一条直角边的距离恰好相等，则CH的长为　　．

【解析】根据题意，得AC=1，AB=2，∠ABC=30°，
①当点E'在∠BAC的平分线上时，点F落在边上，过点F作FG⊥AB于点G，
如图1所示，∴∠FAC=∠FAB=30°，CF=GF，AG=AC=1，
∴GF=CF=，BF=AF=，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
设DE=x，则BE=x，DB=2x，
∴FD=BF﹣BD=﹣2x，
∵△ADE'与△ADE关于AD所在的直线对称，
∴AE′=AE=AB﹣BE=2﹣x，DE′=DE=x，∠AE′D=∠AED=90°，
∵∠ACF=∠DE′F=90°，∠AFC=∠DFE′，
∴△ACF∽△DE′F，∴=，∴=，解得：x=，
∴DE′=DE=，BD=﹣1，
过点E′作E′N⊥BC于N，如图1，在Rt△DNE′中，∠NDE′=30°，DE′=，

∴NE′=，DN=，
∴BN=BD+DN=，
∵CH⊥BC，E′N⊥BC，
∴E′N∥CH，∴△BNE′∽△BCH，
∴=，
即=，
解得：CH=；
②当点E'在∠ABC的平分线上时，点F落在BC的延长线上，如图2，过点H作HM⊥AB于点M，

设CH=a，
∵点H在∠ABC的角平分线上，∴HM=CH=a，∴AH=AC﹣CH=1﹣a，
∵∠AMH=∠ACB=90°，∠CAB=∠MAH，∴△AHM∽△ABC，∴，即=，
解得：a=2﹣3，∴CH=2﹣3，
③当点E'在∠BAC的外角平分线上时，点F落在BC的延长线上，如图3，过点E′作E′G⊥BF于点G，

∵∠BAC=60°，∴∠FAC=60°，∴∠BAC=∠FAC，
∵AC⊥BF，∴点D与点C重合，∴AE′=AC=，∴FE′=，
∵E′G⊥BF，AC⊥BF，
∴E′G∥AC，
∴△△FE′G∽△FAC，
∴==，
∴==，
∴E′G=，FG=，
∵EG∥AC，
∴△BHC∽△BEG，
∴=，
∴=，
∴CH=，
综上所述，CH的长为或2﹣3或，
故答案为：或2﹣3或．
三．解答题
17．（2020•汇川区三模）如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．
（1）求证：△BEP∽△CPF；
（2）当∠PAB=30°时，求△PEF的面积．

【解析】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，
∴∠APE=∠APB，∠APF=∠APC，
∴∠APE+∠APF=（∠APB+∠APC）=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠EPB+∠BEP=∠EPB+∠FPC=90°，
∴∠BEP=∠FPC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△BEP∽△CPF．
（2）∵∠PAB=30°，
∴∠BPA=60°，
∴∠BPE=30°，
在Rt△ABP中，
∠PAB=30°，AB=，
∴BP=1，
在Rt△BPE中，
∠BPE=30°，BP=1，
∴EP=，
∵CP=﹣1，∠FPC=60°，
∴PF=2CP=2﹣2，
∴△PEF的面积为：PE•PF=2﹣．
18．（2020•龙岩一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AC交⊙O于点D．
（1）求作：点E，使E点是弧AD的中点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接BE，DE，若BE交AC于点F，且EF=1，BF=2，求∠ADE的度数．

【解析】（1）如图，作AD的垂直平分线，交于点E，

∴点E为所求点；
（2）如图，连接AE，

∵点E是的中点，
∴，
∴∠DAE=∠ABE=∠ADE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠DAE=∠ABE，∠AEB=90°=∠AEB，
∴△AEF∽△BEA，
∴，
∴AE2=EF•BE=1×（1+2），
∴AE=，
∵tan∠EAF==，
∴∠EAF=30°，
∴∠ADE=30°．
19．（2020•安徽一模）如图，⊙O内两条互相垂直的弦AB，CD（不是直径）相交于点E，连接AD，BD，AC，过点O作OF⊥AC于点F．过点A作的切线PA，交CD的延长线于点P．．
（1）求证：2OF=BD．
（2）若，BD=3，PD=1，求AD的长．

【解析】证明：（1）如图，连接AO并延长交⊙O于H，连接CH，

∵OF⊥AC，
∴FC=AF，
又∵AO=OH，
∴OF∥CH，CH=2OF，
∴∠HCA=∠OFA=90°，
∴∠AHC+∠CAH=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠ADC+∠BAD=90°，
又∵∠ADC=∠AHC，
∴∠CAH=∠DAB，
∴，
∴CH=BD，
∴BD=2OF；
（2）如图，连接BC，

∵，
∴∠ADC=∠BCA，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∵∠ADC+∠ADP=180°，
∴∠ADB=∠ADP，
∵PA是⊙O切线，
∴∠PAH=90°，
∴∠PAD+∠DAH=90°，
∵∠ACH=90°=∠ACD+∠HCD，∠HCD=∠HAD，
∴∠PAD=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠PAD=∠ABD，
∴△ADP∽△BDA，
∴，
∴AD2=PD•BD=3×1=3，
∴AD=．
20．（2020•新会区一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形．
（2）求证：∠DHF=∠DEF．

【解析】（1）∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF∥AB且EF=AB，
∵点D是AB的中点，
即EF∥AD且EF=AD，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）连接DH、DF，
∵AH⊥BC于H，点D、F分别是AB、CA的中点，
∴DH=AB，FH=AC，
∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴EF=AB，DE=AC，
∴DH=EF，FH=DE，
∴===1，
∴△DFE∽△FDH，
∴∠DHF=∠DEF．

21．（2020•长沙模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD的平分线BG交AC于E，交CD于F，且DG⊥BG．
（1）求证：BF=2DG；
（2）若BE=，求BF的长．

【解析】（1）证明：延长DG、BC交于点H，
∵BG平分∠CBD，
∴∠1=∠2，
∵DG⊥BG，
∴∠BGD=∠BGH=90°，
又∵BG=BG，
∴△BGD≌△BGH（ASA），
∴BD=BH，
∴DH=2DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCF=∠DCH=90°，
又∵∠BGD=90°，∠3=∠4，
∴∠2=∠5，
∴△BCF≌△DCH（ASA），
∴BF=DH，
∴BF=2DG；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠BDC=45°，
∴∠BCE=∠BDF，
又∵∠1=∠2，
∴△BEC∽△BFD，
∴，
∵BE=，
∴BF=．

22．（2020•金昌一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E是边BC的中点．
（1）求证：BC2=BD•BA；
（2）求证：ED是⊙O的切线．

【解析】证明：（1）∵AC是⊙O是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=180°﹣90°=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BDC=∠ACB，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
即BC2=BD•BA；

（2）连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC，
∴DE为直角Rt△DCB斜边的中线，
∴DE=CE=BC，
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

23．（2020•合肥二模）如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE=CE，点D为边BC上一点，GD=GB，连接AD交BE于点F．
（1）求证：∠ABE=∠EAF；
（2）求证：AE2=EF•EC；
（3）若CG=2AG，AD=2AF，BC=5，求AE的长．

【解析】（1）证明：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠C，
∵AG⊥BD，BG=GD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABD=∠ABE+∠EBC，∠ADB=∠DAC+∠C，
∴∠ABE=∠DAC，
即∠ABE=∠EAF．

（2）证明：∵∠AEF=∠BEA，∠EAF=∠ABE，
∴△AEF∽△BEA，
∴=，
∴AE2=EF•EB，
∵EB=EC，
∴AE2=EF•EC．

（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．
∵AG垂直平分线段BD，
∴JB=JD，
∴∠JBD=∠JDG，
∵∠JBD=∠C，
∴∠JDB=∠C，
∴DJ∥AC，
∴∠AEF=∠DJF，
∵AF=DF，∠AFE=∠DFJ，
∴△AFE≌△DFJ（AAS），
∴EF=FJ，AE=DJ，
∵AF=DF，
∴四边形AJDE是平行四边形，
∴DE∥AG，
∵AG⊥BC，
∴ED⊥BC，
∵EB=EC，
∴BD=DC=，
∴BG=DG=，
∵tan∠JDG=tan∠C===，
∴JG=，
∵∠JGD=90°，
∴DJ===，
∴AE=DJ=．

24．（2020•亳州二模）在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE、AF交于点M．
（1）如图1，E为AB的中点，AF⊥BC交BC于点F，过点E作EN⊥AF交AF于点N，，直接写出的值是　　；
（2）如图2，∠B=90°，∠ADE=∠BAF，求证：△AEM∽△AFB；
（3）如图3，∠B=60°，AB=AD，∠ADE=∠BAF，求证：．

【解析】（1）∵EN⊥AF，BF⊥AF，
∴EN∥BF，
又∵E为AB的中点，
∴BF=2EN，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，
∵∠ADE=∠BAF，∴∠BAD﹣∠BAF=∠ABC﹣∠BAF
∴∠AED=∠AFB，
又∵∠BAF=∠MAE，∴△AEM∽△AFB；
（3）证明：如图，连接AC，过点B作BP∥AC交AF的延长线于点P，

∴△BFP∽△CFA，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=60°，∴∠PBC=∠ACB=60°，
∴∠ABP=120°，∴∠DAE=∠ABP，
在△ADE与△BAP中，，
∴△ADE≌△BAP（ASA），∴AE=BP，
又∵AC=AD，∴．