第十章 空间直线与平面【过知识】- 2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020必修第三册）

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点、线、面之间关系的符号表示：
【注意】平面的特征：无限延展，无厚度.
三个公理、三个推论：公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：两条相交直线确定一个平面．推论3：两条平行直线确定一个平面．
【注意】搞清楚公理及其推论的基本应用：公理1是判定直线在平面内的依据；公理2是判定两个平面相交的依据，同时应注意其内容的完整性，即当两个平面有一个公共点时，首先可得到这两个平面相交，其次是这两个平面有且只有一条公共直线（即交线），还有就是这个公共点在公共直线上或称公共直线经过公共点；公理3以及三个推论都是确定平面的依据，应注意由于三点共线时，经过他们可以作无数个平面，因此公理3中“三点不共线”的条件必不可少.
空间直线与直线的位置关系（1）两条直线的位置关系
空间两条异面直线的画法：
异面直线的判定 ：不平行、不相交的直线．
【注意】证明两条直线异面一般采用反证法.
（2）公理4：平行于同一直线的两条直线相互平行．（3）等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角） 相等．（4）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．
（5）异面直线所成的角及两条异面直线间的距离
（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角．
空间直线与平面的位置关系

（1）直线与平面平行：直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
（3）直线与平面所成的角：定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角．【规定】（1）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角；（2）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是0的角.
空间平面和平面的位置关系
（1）平面与平面平行：平面和平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．平面和平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
（3）平面与平面垂直：平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.平面和平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
空间有关点、线、面间的距离：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）异面直线的距离（4）直线到平面的距离（5）平面到平面的距离．
考点1、空间中点、线、面的位置关系
例1 已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是 A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
[解析] 如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，令底面A′B′C′D′＝α.对于A，令m＝AB，n＝BC，满足m∥α，n∥α，但m∥n不成立，故错误；对于B，令m＝AA′，n＝A′B′，满足m⊥α，m⊥n，但n∥α不成立，故错误；对于D，令m＝AB，n＝AD，满足m∥α，m⊥n，但n⊥α不成立，故错误．故选C．
对应练习1.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作A.0个 B.1个C.0个或1个 D.1个或2个
解析　平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：①直线与平面相交，可以作0个平行平面；②直线与平面平行，可以作1个平行平面.
2.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.
解析　对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.
3.下列命题正确的是A.平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥βB.若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
解析　A项，平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β，故A错误；B项，直线m与平面α内的一条直线平行，也可能m⊂α，故B错误；C项，平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂直于β，故C错误；D项，a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确.
考点2、空间中证明问题
例2 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；
证明：　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，PA在平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
证明：　(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(2)BE∥平面PAD；
(3)因为AB⊥AD，AB∥CD，所以CD⊥AD，又∵平面PAD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD.∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，CD⊥AD， 又∵EF∥PD，BE∥AD，∴CD⊥EF，CD⊥BE，又∵EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
对应练习　1.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明　∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC.又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC.∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC.∵N为EC的中点，EC＝2BD，∴NC∥BD，NC＝BD.∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC.又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC.又∵MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.
2.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AC⊥平面BCE；
证明　在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.
(2)求证：AD⊥AE.
证明　因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABEF.又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.
考点3、空间中角的计算
例3　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；
解　∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO⊂平面ABO，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.
∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角为30°.
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
解　如图，作OE⊥BC于E，连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
解　由(1)可知OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
对应练习1.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为_______.
解析　连接BC1，AD1，∵MN∥BC1∥AD1，∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解　∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
3.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A­PD­C平面角的大小；
解　(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A­PD­C平面角的度数为90°.
3.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(2)求二面角B­PA­C平面角的大小．
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA．∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B­PA­C平面角的度数为45°.
2021上海17题（仅完成（2））
2019上海17题（仅完成（1））