第1章 坐标平面上的直线【过习题】- 2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020年选择性必修第一册）

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单元复习 第1章 坐标平面上的直线1．已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ）A． B．C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定【答案】C【详解】设直线的斜率为，则，，不垂直，A错误；若，则，与矛盾，，不平行，B错误；不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误.故选：C.2．已知直线和的夹角为，则实数m的值是（　    ）A．或 B．或3C．或3 D．或【答案】C【详解】直线和的夹角为，可得，解得或.故选：C3．（2022春·上海闵行·高二校考期末）经过点和的直线的斜率为______．【答案】【详解】经过点和的直线的斜率为.故答案为：4．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）若直线的一个法向量为，则过原点的直线的方程为______.【答案】【详解】若直线的一个法向量为，可设直线方程为，由直线过原点，∴，故所求直线方程为，即.故答案为：5．直线与直线夹角的大小为___________．【答案】【详解】在直线 上任取两点： ，则 的方向向量为 ，在直线 上任取两点： ，则 的方向向量为 ，设两直线的夹角为 ，则 ， ；故答案为： .6．（2022春·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期中）已知，试用表示经过两点直线的倾斜角_____．【答案】【详解】设直线的倾斜角为，∵，则，∴，又∵，则，∴.故答案为：.7．（2020秋·上海徐汇·高二位育中学校考期中）过点且与直线夹角为的直线一般式方程是________.【答案】或【详解】直线的倾斜角为且，则，所以与直线的夹角为，则所求直线的倾斜角为或，当所求直线倾斜角为时，直线为；当所求直线倾斜角为时，直线为，故直线为.综上，所求直线为或.故答案为：或8．（2022秋·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）两条直线和平行，则______【答案】【详解】解：因为直线和平行，所以，解得或，当时，，满足题意；当时，，即，两直线重合，故舍去；故答案为：9．己知，直线，若，则与之间的距离为______.【答案】【详解】由得，解得，则直线，即与之间的距离为故答案为：10．（2022秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是______.【答案】【详解】当时，此时直线方程为，故倾斜角当时，直线的斜率为，由于，所以或，所以倾斜角的范围，综上的范围是，故答案为：11．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）两条平行直线与之间的距离为______.【答案】##0.6【详解】两条平行直线与之间的距离为：.故答案为：.12．）过点，倾斜角为的直线的点方向式方程为__________．【答案】【详解】若倾斜角为，则直线的斜率，则直线的一个方向向量为，又直线过点，故直线的点方向式方程为.故答案为：.13．直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程.【答案】或【详解】由题设可得直线过且其倾斜角为，因为直线与直线的夹角为，故直线的倾斜角为或，若直线的倾斜角为，则直线的方程为；若直线的倾斜角为，则直线的斜率为，其方程为.14．已知，，求当为何值时，与相交、平行或重合．【答案】见解析【详解】已知，.若直线与相交，则，即，解得且且；若直线与平行，则，解得或；若直线与重合，则，解得.综上所述，当或时，；当时，与重合；当且且时，与相交．15．为已知实数， 直线的方程为，直线的方程为. （1）讨论直线与的位置关系；（2）当直线与平行时，求这两条平行线的距离的最大值.【答案】（1）见解析；（2）3.【详解】（1）由题意，列方程组，因为，①当即时，相交；②当即时，，（i）当时，重合；（ii）时，；（2）当时，，此时恒过点，恒过点，所以当与线段垂直时，这两条平行线的距离最大，最大值为.16．（2022秋·上海闵行·高二闵行中学校考期中）已知直线.(1)若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且过点，求直线的方程.【答案】(1)；(2)不存在.【详解】（1）由直线，可得，因为直线与直线垂直，所以，可得，又因为直线过点，可直线的方程为，即，所以直线的方程为；（2）因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，可化为，与直线重合，所以直线不存在.17．（2022秋·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知中，(1)求边所在直线的方程；(2)直线过定点，设该定点为，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）的斜率为,直线方程为,即；（2）即，当时，，故，到边所在直线的距离为,故的面积为.18．（2020秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；③如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点；④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线.【答案】①③⑤【详解】对于①，令，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；对于②，取，，直线经过整点，故②错误；对于③，设直线经过整点，，，当时，直线方程为，经过无穷多个整点；当时，则直线斜率，不妨设为，则直线，它经过无数个整点，故③正确；对于④，当k，b都为有理数时，可能不经过整点，例如，，故④错误；对于⑤，直线只经过一个整点，故⑤正确.故答案为：①③⑤19．（2022秋·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______．【答案】或【详解】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为，令，得，令，得，故所围三角形面积为，即，当时，上式可化为，解得或；当时，上式可化为，方程无解；综上：直线的斜截式方程是或.故答案为：或.20．（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知直线，，若，则的值是___________.【答案】【详解】因为，，，所以当，即时，，，显然不满足题意；当，即时，，由解得或，当时，，舍去；当时，，满足题意；综上：.故答案为：.21．（2022春·上海宝山·高二上海市行知中学校考阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为__________.【答案】或##或【详解】当时，直线与直线互相平行；当时，，因为，所以，解得或故答案为：或22．（2021秋·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为__．【答案】【详解】因为点，则关于轴的对称点为，设关于的对称点为，则，解得，即，所以，，所以的周长为，则当共线时，的周长的值最小，此时三角形周长为.故答案为：．23．已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.【答案】0【详解】因为直线（）与直线互相平行，所以且.又两直线间的距离是，所以，因为，解得：.所以.故答案为：024．（2022秋·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是_____．【答案】【详解】因为直线恒过,和，所以，.由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示由图象可知，或,即或，所以的斜率的取值范围是为.故答案为：.25．（2022秋·上海嘉定·高二校考期中）若三点，，，（）共线，则的值等于___________.【答案】##0.5【详解】由题意知，直线的斜率存在，则.由得：，即，又，∴.故答案为：26．（2020秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期中）已知点.(1)若两点到直线的距离都为，求直线的方程；(2)若两点到直线的距离都为，试根据的取值讨论直线存在的条数，不需写出直线方程.【答案】(1)直线的方程为或或(2)当时，有4条直线符合题意，当时，有3条直线符合题意，当时，有2条直线符合题意.【详解】（1）当A，B在直线l同侧时，由于两点到直线的距离相等，故直线l与直线AB平行，即.设直线l的方程为，则有，解得或故直线l的方程为或；当A，B在直线l两侧时，因为，所以到两点距离都为的直线l恰有一条，为线段AB的中垂线.此时，直线经过AB的中点，且，即.故直线的方程为，化简得.综上：直线的方程为或或.（2）由（1）知，当时，处于A，B两点之间的直线l恰有1条，而处于A，B两点同侧，即平行于直线AB的直线l有2条，故共有3条；当时，处于A，B两点之间的直线l有2条，平行于直线AB的直线l有2条，故共有4条；当时，处于A，B两点之间的直线l不存在，平行于直线AB的直线l有2条，故共有2条.综上：当时，有4条直线符合题意，当时，有3条直线符合题意，当时，有2条直线符合题意.27．设直线l的方程是，其倾斜角为．(1)若，求实数m的取值范围；(2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当，斜率，解得；（2）i.时，，；ii.时，，斜率，，综上，28．已知的三个顶点、、．(1)求边所在直线的方程；(2)边上中线的方程为，且，求点的坐标．【答案】(1)；(2)或．【详解】（1）因为、，所以BC边所在直线的方程为：；（2）BC边上中线AD的方程为，所以有，点A到直线BC的距离为：，，因为，所以有，因此有或，解得：或，所以点A的坐标为：或．29．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.(1)求码头点的坐标；(2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.【答案】(1)；(2)【详解】（1）由已知得，，直线ON方程：设，由及图，得，.（2）直线AQ的方程为即由，解得，即则直线AB 方程，点P到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C，因为，且，，，则直线PC方程为联立，解得轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标为.30．（2022春·上海宝山·高二上海市行知中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.(1)求对角线所在直线方程；(2)已知直线过点，与直线的夹角为，求直线的方程.（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）【答案】(1)(2)或【详解】（1）由题意可知，的中点在直线上，对角线所在直线方程为，即（2）点在直线上，设直线的倾斜角为，直线与直线的夹角为则直线的倾斜角为或，当直线的倾斜角为时，，即故直线的方程为：当直线的倾斜角为时，，则直线的方程为，即31．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）过点的直线分别交与于两点.(1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程.(2)当最小时，求直线的方程；(3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数.【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析【详解】（1）若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即；（2）法一：当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线，，得，得，，，所以，综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为.法二：前面部分同法一，注意到，且反向，所以，综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为.（3）当直线斜率不存在时，，，；当直线斜率存在时，，，，，即，当时，方程有1解，此时；当时，，当时，，方程无解；当时，，，方程有1解；当时，，，对称轴，且，方程有两个大于1的解.当时，，开口向下，，，方程有1个大于1的解，一个小于的解.综上所述：当时，0条；当时，1条；当时，2条.32．（2022秋·上海宝山·高二校考期中）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.(1)若直线与法向量平行，写出直线的方程；(2)求面积的最小值；(3)如图，若点分向量所成的比的值为2，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)；(2)12；(3)证明见解析，定点为.【详解】（1）由题设直线，将点代入得，,故直线（2）设直线的方程为，将点代入得，则，则，当且仅当，结合，即时等号成立.故的面积最小值为12.（3）证明：点分向量所成的比的值为2,即为,设,由,即有,可得,,梯形的面积为,由题意可得梯形的面积为6,设,可得,即,由直线的方程为,将代入上式可得,由解得,则直线经过定点.33．（2020秋·上海徐汇·高二位育中学校考期中）已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.(1)已知，且、是一组“共轭线对”，求、的夹角；(2)已知点、点和点分别是三条直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；(3)已知直线过定点，直线、是“共轭线对”，当实数变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.【答案】(1)；(2)或；(3)【详解】（1），由题可知，设、的夹角为，则所以（2）设直线PQ：，QR：，RP：由题可知，解得或当时，联立可得，当时，联立可得，所以P点的坐标为或.（3）过定点，因为直线、是“共轭线对”，所以，设原点到直线、的距离分别为则当时，又，即.34．（2021秋·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．(1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离；(2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；(3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)或(3)存在，【详解】（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得，，；即，（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，舍去；当直线的斜率存在时，直线的方程为，化为，假设，则，解得或．所以存在直线的方程为或；（3）当时，直线，，由，整理得， ， ， ，即，当时，直线，得，由，即，或，解得或，由题意对任意的参数都有恒成立，所以，综上所述，存在实数满足题目条件，即     35．（2022·上海崇明·统考一模）已知方程组无解，则实数的值等于______.【答案】【详解】由题知，方程组无解，所以直线与直线平行，所以，解得，当时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意，当时，两直线平行，方程组有无解，满足题意，故答案为：36．（2022·上海嘉定·统考一模）直线与直线的夹角大小为________.【答案】##【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．37．（2022·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为______．【答案】##【详解】依题意，点P在线段的中垂线上，点P也在线段的中垂线上，连，而，，，，因此，而，即，有，于是得，直线过中点，而直线斜率为1，则直线的斜率为-1，方程为，直线的方程为，于是得点，令直线交于点，，，，所以.故答案为：38．（2022·上海徐汇·统考一模）已知正实数满足，则的取最小值___________.【答案】【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限，设点，所以，如图所示，点A关于直线对称的点设为，则有解得，所以，由图可知，当在直线时，最小，最小值为，即的最小值为，故答案为：.