第1章 坐标平面上的直线【过知识】（课件）-2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020选择性必修第一册）

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y－y0＝k(x－x0)
a(x－x0) +b(y－y0)＝0
4.两条直线的位置关系
重合⇔方程组有____________；平行⇔方程组________；相交⇔方程组有__________.
(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔__________.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2__________.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔__________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线__________.
考点1、直线的倾斜角与斜率
解析　(1)直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，
法二　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
对应练习（1）若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　)A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
例2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，
例2 求适合下列条件的直线方程：(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
例2 求适合下列条件的直线方程：(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
（4） 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0（5）直线l的方向向量为(－1,2)，直线l的倾斜角为α，则tan 2α的值是
解析　∵直线l的方向向量为m＝(－1,2)，∴直线l的斜率等于－2，
考点3、两条直线的位置关系
例3 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)当l1∥l2时，求a的值；
解　(1)　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
例3 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(2)当l1⊥l2时，求a的值.
(2)法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；
法二　∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，
(1)(2019·河北五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　(1)由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).
类型1　相交直线系方程例4 (一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
法二　设所求l的直线为：4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.法三　设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
类型2　平行直线系方程例5 求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程.
解　设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
对应练习 已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.
类型3　垂直直线系方程例6 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.
考点4、直线的交点与距离问题
例7 (1)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________.
例7 (2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
对应练习（1）已知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点A(m，n)，则点A到直线x＋y－3＝0的距离为________.
对应练习(2)(一题多解)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________.
解析(2)法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4).∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
（3）求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.
解　设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.