第3章 空间向量及其应用【过习题】- 2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020选择性必修第一册）

单元复习 第3章 空间向量及其应用

1．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列可以表示空间任何向量的一组向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】对于A，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，故A错误；

对于B，显然不是共面向量，即其可以作为空间向量一个基底，故B正确；

对于C，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，故C错误；

对于D，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，故D错误．

即A，C，D选项都是共面向量，因此不能作为空间向量一个基底．

故选：B．

2．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为在平行六面体中，，

所以.

故选：A.

3．（2021秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）已知向量，且与互相垂直，则的值是__．

【答案】##

【详解】因为与互相垂直，所以，解得．

故答案为：

4．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______

【答案】6

【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

又因为，所以，可得，即得.

故答案为：6.

5．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知不共面，，，，若，则______．

【答案】

【详解】由题意，向量不共面，，，，

则

因为，

则，解得，

所以.

故答案为：.

6．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）在空间直角坐标系中，点关于yOz平面的对称点的坐标是______.

【答案】

【详解】关于yOz平面的对称点横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标保持不变，

所以点关于yOz平面的对称点的坐标是，

故答案为: .

7．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）若，，则__________

【答案】

【详解】由，，

则，

故答案为：.

8．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知点是点关于坐标平面yoz内的对称点，则__________

【答案】3

【详解】因为点是点关于坐标平面yoz内的对称点，

所以点坐标为,

所以，所以.

故答案为：3

9．（2022春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__．

【答案】

【详解】由题意可得：，

所以向量在向量上的投影向量为．

故答案为：.

10．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知空间向量，则两向量的夹角是___________.

【答案】

【详解】

则两向量的夹角是

故答案为：

11．（2022秋·上海静安·高二校考期末）设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系为______.

【答案】直线在平面内或平行于平面

【详解】依题意，，则，

所以直线与平面的位置关系是直线在平面内或平行于平面.

故答案为：直线在平面内或平行于平面

12．（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）如图，在长方体中，设，，，则______．

【答案】

【详解】

由

故答案为：

13．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）空间两点和间的距离为__．

【答案】

【详解】

故答案为：.

14．（2023秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知，，则___________.

【答案】24

【详解】因为，，

所以.

所以.

故答案为：24

15．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________．

【答案】##

【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

可得，

因为，则，

所以，

因为平面，平面，平面，平面，

所以 平面， 平面，

又，平面，

所以平面 平面，

所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，

设平面的法向量为，则，

令，可得，所以，

又因为，所以．

所以平面与平面的距离为．

故答案为：．

16．（2023秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）已知四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点，设，.

(1)用向量、、表示、；

(2)判断与是否垂直；

(3)求异面直线BD与CE所成的角.

【答案】(1)，

(2)与不垂直

(3)

【详解】（1）由题知，

，

.

（2）由（1）和题设知，，且两两的夹角为

，

所以，与不垂直.

（3）设异面直线BD与CE所成的角为，

则,

又四面体的各棱长均为1，

D是棱OA的中点，E是棱AB的中点，

所以，,

所以，

因此，异面直线BD与CE所成的角为：.

17．（2021秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末）（1）已知O是平面ABC外一点，求证：P在平面ABC上的充要条件是“存在实数x，y，z，使，且”；

（2）如图所示，在平行六面体中，，，，，与平面交于点K．设，，．

①用，，表示；

②求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

【答案】（1） 证明见解析；（2）① ；② ．

【详解】（1）若且，

则

，

由空间向量基本定理，得，，三个向量共面，

说明点在平面内．

反之，如果点在平面内，则存在，使得，

，即；

令，则且.

所以P在平面ABC上的充要条件是“存在实数x，y，z，使，且”.

（2）①，因为与平面交于点K，

设，由（1）得，所以，

所以；

②，，

因为，，，，

所以，同理

所以，

，，

设异面直线与所成角的大小为，则，

所以异面直线与所成角的大小为．

18．（2022秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧棱的中点.

(1)求正四棱锥的体积；

(2)求直线与平面所成角的大小.

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）设，则是的中点，

连接，由于是的中点，所以，，

由于平面，所以平面，

所以.

（2）依题意可知两两相互垂直，

以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

，

，

设平面的法向量为，

则，故可设，

设直线与平面所成角为，

则，

由于，所以.

19．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（    ）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

【答案】C

【详解】由，，可知.

又平面，平面，，则平面.

因，平面，则平面.

故，即是直角三角形.

故选：C

20．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）在平行六面体中，，，，则___________.

【答案】

【详解】设,，，则，

，

又因为，

所以，则.

故答案为：.

21．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为_____________

【答案】

【详解】如图，建立空间直角坐标系，

根据题意可得：两动点间距离最小值坐标分别为，，，

由空间两点间距离公式可得

，

因为，所以当时，取最小值，

故答案为：.

22．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，请运用空间向量方法（建系如图）.求解下列问题:

(1)求异面直线与所成角的大小;

(2)求到平面的距离.

【答案】(1)；(2)

【详解】（1）根据题意，得，，，，，，，，

.

则，，

设异面直线与所成的角为，则，

所以，则，

所以异面直线与所成的角为.

（2）由（1）得，，，

设是平面的一个法向量，则，即，

取，则，故，

所以点E到平面的距离为.

23．已知正三棱柱的所有棱长为，是中点，求：

(1)直线与所成角的大小；

(2)直线与平面所成角的大小；

(3)二面角的大小；

(4)点到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【详解】（1）如图，过点作，

因为三棱柱为正三棱柱，

所以两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，

则，

所以，，

设直线与所成角的大小，，

直线与所成角大小为.

（2）设平面的法向量为，则，，即，取，得，

直线的一个方向向量，

设与也即与平面所成角为，

所以，则．

（3）平面的一个法向量，

设夹角为，则，

由图可知所求是锐二面角，所以二面角大小为．

（4）平面的法向量，，

则．

24．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．

(1)求证：平面平面；

(2)当的长为何值时，二面角的大小为？

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面平面，

∴平面．

∵平面，∴，

又为圆O的直径，∴，

而，平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

∴，，

设平面的法向量为，则，

即，令，可得

取平面的一个法向量为，

，即，解得，

则当的长为时，二面角的大小为．

25．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与

(1)求异面直线与成角余弦值；

(2)求平面与平面的夹角正弦值；

(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.

【答案】(1)；

(2)；

(3)表面积为，体积为.

【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系.

则由题意可得，，，，，，，.

又分别是的中点，所以，.

所以，，

则，

所以异面直线与成角余弦值为.

（2）解：由（1）可得，，，，.

设是平面的一个法向量，

则，

即，

令，可得是平面的一个法向量.

设是平面的一个法向量，

因为

则，

即，取，可得是平面的一个法向量.

则，

所以平面与平面的夹角正弦值为.

（3）解：由（1）（2）可得，，，，，，.

所以，

所以∥且，所以四边形为平行四边形.

又，

所以，即，

所以四边形为菱形.

又，，

所以.

设是平面的一个法向量，则，

即，取，

则是平面的一个法向量.

又，所以点到平面的距离.

所以四棱锥的体积，

四棱锥的体积

因为，，.

所以在方向上的投影为，

所以点到直线的距离.

同理可得点到直线的距离.

所以四棱锥的侧面积.

所以埃舍尔体的表面积为，体积为.

26．（2023·上海黄浦·统考一模）已知向量，，若，则mn的值为______.

【答案】-2

【详解】∵，

∴，解得：，，

∴.

故答案为：.

27．（2022·上海长宁·统考一模）若，则三棱锥O—ABC的体积为___________.

【答案】

【详解】根据已知可得：，即，

又，

故△的面积；

不妨取平面的一个法向量，

则点到平面的距离，

故三棱锥O—ABC的体积.

故答案为：.

28．（2022·上海青浦·统考一模）已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．

【答案】

【详解】依题意，，，

，而，则，

所以以、为一组邻边的平行四边形的面积.

故答案为：

29．（2023·上海静安·统考一模）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是____________．

【答案】     五    

【详解】点关于坐标平面的对称点为，根据卦限在空间中的位置，所以点在第五卦限.

由已知可得，，所以

故答案为：五；

30．（2023·上海·统考模拟预测）正方体的边长为1，点分别为边的中点，是侧面上动点，若直线与面的交点位于内（包括边界），则所有满足要求的点构成的图形面积为__________.

【答案】##

【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，

设，可得，

设平面的法向量为，则有，

令，则，即，

设直线与面的交点为，

则，

∵点在直线上，可设，

则，即，

故，则，

又∵点在面上，则，解得，

故，

则，

设，

则，解得，

若点位于内（包括边界），则，整理得，

如图，在面中，即，

作出相应的区域，可得，

故点构成的图形面积为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

（1）根据三点共线：若在直线上，可设，用表示点的坐标；

（2）根据共面向量：点位于内（包括边界），则.

31．（2023·上海·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：

取中点，连接，

因为正三棱柱，

所以，且，

因为为线段的中点，

所以且.

所以且，

因为为中点，所以.

所以且.

所以四边形是平行四边形.

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）解：

分别取中点，连接，

因为是正三棱柱，

所以，平面，.

所以平面.

所以，.

以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

则.

所以.

设平面的法向量为，

所以，即，

令，解得，所以.

设直线与平面所成角为，，

则，

所以.

即直线与平面所成角为.

32．（2023·上海·统考模拟预测）已知三棱锥中，平面，，M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F．

(1)求直线与平面所成角的大小；

(2)证明：平面，并求直线到平面的距离．

【答案】(1)；(2)2

【详解】（1）因为平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

所以，设平面，

设直线与平面所成角为，

则.

直线与平面所成角的大小为

（2）因为平面平面，平面平面，

平面平面，所以，

同理，M为中点，

所以分别为的中点，

因为，平面，平面，

所以平面，

因为平面，平面，所以，

，平面，

所以平面，又因为平面，

直线到平面的距离为.

33．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．

(1)求证：；

(2)求点到侧面的距离；

(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在满足条件的点，1

【分析】（1）由已知条件可证平面，即可得到；

（2）以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求解；

（3）假设存在满足条件的点E，并，利用向量的加减运算，求出，利用线面夹角公式得出，求得，即可求出的长.

【详解】（1）证明：由点在底面ABC上的投影为AC的中点，知平面ABC，

又平面ABC，故，

因是以AC为斜边的等腰直角三角形，故，

而，平面，，故平面，

由平面，得．

（2）由点，为AC的中点，侧面为菱形，知，

由是以AC为斜边的等腰直角三角形，，可得，，

由（1）知直线，，两两垂直，故以点为坐标原点，

直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，取，得，

又，故点到平面的距离为：

（3）假设存在满足条件的点E，并，

则，

于是，由直线DE与侧面所成角的正弦值为，

可得，

即，解得．

又，故．

因此存在满足条件的点，且．