第3章 空间向量及其应用【过知识】- 2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020选择性必修第一册）

这是一份第3章 空间向量及其应用【过知识】- 2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020选择性必修第一册），共37页。PPT课件主要包含了知识网络，知识梳理，空间向量基本定理，每两条坐标轴，xOy，yOz，zOx，x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2等内容，欢迎下载使用。

1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.
2.空间向量平行的充要条件
3.空间向量共面的充要条件
5.坐标系： 叫做原点，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面，它们把空间分成八个部分.
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(λx1，λy1，λz1)
x1x2＋y1y2＋z1z2
(x1-x2，y1-y2，z1-z2)
考点1、空间向量的概念与运算
(2)(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是
2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是
解析　如图，根据图形可看出，选项A，D的两向量互为相反向量；
∴选项B的两向量不是相反向量；
∴选项C的两向量互为相反向量.
3.已知向量a＝(2,1,2)，b＝(－2，x,2)，c＝(4，－2,1)，若b⊥(a＋c)，则x的值为A.－2 B.2 C.－6 D.6
解析　因为a＝(2,1,2)，b＝(－2，x,2)，c＝(4，－2,1)，所以a＋c＝(6，－1,3)，又b⊥(a＋c)，所以－12－x＋6＝0，解得x＝－6.
4.在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0，－3)
5.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
考点2、利用空间向量证明位置关系
证明　以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2，2,0)，M(1,1，1)，
又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD.
例2　在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点.(1)求证：BM∥平面PAD；
假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
从而MN⊥BD，MN⊥PB，
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由.
对应练习在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求证：AC⊥BC1；
证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).
(2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1.
解　假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，
所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点.
考点3、利用空间向量计算距离
例3　在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离.
解　如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
对应练习　如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离；
解　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，
设DH⊥平面PEF，垂足为H，则
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解　由题意得，AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，
平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，
考点4、利用空间向量求角的大小
例4　如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝ 点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF和BE所成的角；
∴直线AF和BE所成的角为90°.
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
解　设平面BEC的法向量为n＝(x，y，z)，
对应练习　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF＝ ∠DFE＝∠CEF＝45°.
(1)求异面直线BC，DF所成角的大小；
解　因为四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，所以AF⊥平面DCEF.又∠DFE＝∠CEF＝45°，所以，在平面DCEF内作DO⊥EF，垂足为点O，以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OD所在的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图所示).
∴D(0,0，a)，F(a,0,0)，B(－3a,4a,0)，C(－2a,0，a).
(2)求平面BDE与平面BEC所成角的余弦值.
设平面DBE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
取x1＝1得平面DBE的一个法向量为n1＝(1,0，－3)，设平面CBE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
取x2＝1得平面CBE的一个法向量为n2＝(1,0，－1)，设平面BDE与平面BEC的夹角为θ，