单元复习01 直线与方程【过习题】（分级培优练）- 2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第一册）

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单元复习01 直线与方程

一、单选题
1．直线的倾斜角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由直线方程得出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案.
【解析】由直线，可得，斜率为
直线的倾斜角为，则
所以，则
故选：B
2．若直线与直线平行，则实数a的值为（       ）
A．0 B．－1 C．1 D．－1或1
【答案】B
【分析】结合已知条件利用直线的平行关系求解即可.
【解析】因为直线与直线平行，
所以，解得，
当 时，易知两条直线重合，不符合题意；
当时，符合题意.
综上所述，实数a的值为.
故选：B.
3．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(       )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．
【解析】由解得，故两直线交点为(－1，2)，
故直线方程是：，即．
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设对称点为，由与点所在的直线垂直于且中点在直线上列方程组即可求解.
【解析】设对称点为，
由题意可得，解得，即对称点为，
故选：B.
5．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（       ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】根据平行线间距离求值.
【解析】与间距离，
与间距离，
又由正方形可知，
即，
解得，
故选：D.
6．已知点，，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，作出图形，数形结合求解即可.
【解析】解：如图，因为过点的直线与线段有公共点，
所以直线的倾斜角在介于直线与直线的倾斜角之间，
因为点在直线上，
所以点是直线与直线的交点，
由图可知点的轨迹为线段，
由于，故直线的方程为，与联立得，即
所以实数的取值范围为
故选：D


二、多选题
7．对于直线，下列说法正确的有（       ）
A．直线l过点 B．直线l与直线垂直
C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的倾斜角为45°
【答案】AB
【分析】根据直线的斜截式，结合直线斜率与倾斜角的关系、直线方向向量的定义、互相垂直两直线的性质逐一判断即可.
【解析】解析：直线化成斜截式为，所以当时，，A对；直线l的斜率为﹣1，倾斜角为135°，D错；直线的斜率为1，，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为，C错．
故选：AB．
8．下列说法正确的是（       ）
A．直线的倾斜角是0°
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形面积为4
D．经过，两点的直线方程为
【答案】BCD
【分析】根据直线的倾斜角、对称点、截距、两点求直线方程等知识确定正确选项.
【解析】直线的倾斜角是，A选项错误.
和的中点在直线上，且，
所以点关于直线的对称点为，B选项正确.
直线可化为，所以横截距为，纵截距为，
所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，C选项正确.
经过，两点的直线方程为，D选项正确.
故选：BCD
9．（多选）已知直线，其中，则（       ）
A．当时，直线l与直线垂直
B．若直线l与直线平行，则
C．直线l过定点
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【分析】对于A，通过两直线的斜率关系判断即可，对于B，由两直线平行，列方程求解，对于C，直接求解定点判断，对于D，由直线方程求出直线l在两坐标轴上的截距判断
【解析】对于A，当时，直线l的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为，所以当时，直线l与直线垂直，所以A正确，
对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误，
对于C，当时，，与无关，故直线l过定点，所以C正确，
对于D，当时，直线l的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，
故选：AC
10．，是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况说法错误的是（       ）
A．无论k，，如何，总是无解
B．无论k，，如何，总有唯一解
C．存在k，，使，是方程组的一组解
D．存在k，，使之有无穷多解
【答案】ACD
【分析】利用代入法，结合直线斜率的公式，直线与直线的位置关系逐一判断即可.
【解析】由题意则，
因为直线的斜率存在，所以，，
因此直线不平行，
所以方程组总有唯一解．故A，D错误，B正确．
若是方程组的一组解，则
则点，在直线，即上，
但已知这两个点在直线上，这两条直线不是同一条直线，
所以不可能是方程组的一组解，C错误．
故选：ACD

三、填空题
11．已知①直线的倾斜角为30°；②直线不经过坐标原点．写出一个同时满足①②的直线方程：________．（用一般式方程表示）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意可知直线的斜率为，再由于直线不过原点，可求出直线方程
【解析】由题意得，直线斜率为，
又直线不经过坐标原点，即一般式方程中的常数项非零，
所以符合题意的一个直线方程为．
故答案为：（答案不唯一）
12．已知直线，，若，则实数______．
【答案】
【分析】由直线垂直可得到关于实数a的方程，解方程即可.
【解析】由直线垂直可得：，解得：.
故答案为：．
13．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为______．
【答案】
【分析】分别算出重心坐标和垂心坐标即可求得欧拉线方程.
【解析】设的重心为，垂心为
由重心坐标公式得，所以
由题，的边上的高线所在直线方程为，
直线，，所以的边上的高线所在直线方程为
所以
所以欧拉线的方程为，即.
故答案为：
14．已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为________．
【答案】
【分析】作B关于l的对称点，利用对称关系求出其坐标，则由图可得，从而可求得结果
【解析】如图，作B关于l的对称点，设，
则，解得，
所以．
因为与B关于l对称，所以，
所以，
当且仅当P为与l的交点时取等号．
所以的最大值为，
故答案为：


四、解答题
15．直线经过两条直线和的交点，且_____．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①与直线平行，②直线在轴上的截距为．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选①可设直线的方程，求出交点并代入即可求解；选②，由点斜式求解即可；
（2）求出直线与坐标轴的交点，结合面积公式即可求解
(1)
解：选①直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
直线与直线平行．
可设直线的方程，把代入可得，
直线的方程为，
选②直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
由题意可知直线的斜率存在，设为且，
则过，
代入即解得，
直线的方程，
(2)
解：在直线中，
令可得，
令可得，
所以直线与坐标轴围成的三角形面积．
16．已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：
(1)相交；
(2)平行；
(3)垂直．
【答案】(1)且；
(2)；
(3).

【分析】（1）由直线平行的判定，要使直线相交只需，即可求值.
（2）由直线平行的判定有，注意验证直线是否存在重合的情况，即可得解.
（3）由直线垂直的判定有，即可求值.
(1)
直线相交，则，即，
所以且.
(2)
直线相交，则，即，
所以或.
当时，，，符合题设；
当时，，，两线重合，不合题设；
综上，.
(3)
直线垂直，则，可得.
17．已知直线的斜率为，且直线经过直线所过的定点.
(1)求直线的一般式方程；
(2)若直线平行于直线，且点到直线的距离为3，写出直线的斜截式方程.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）先求得直线过的定点坐标，再利用点斜式写出方程即可；
（2）根据直线平行于直线，设直线，再利用点到直线的距离为3求解.
(1)
解：根据题意，直线，
即，过定点，
因为直线的斜率为，且过点，
其方程为，即，
所以直线的一般式方程为；
(2)
根据题意，若直线平行于直线，
设直线，
则，解得或.
∴直线斜截式方程为：，或


一、单选题
1．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【解析】依题意，，解得或，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
2．直线的斜率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直线的一般方程转化为直线的斜截式方程，根据的范围求出的范围，进而求出范围即可求解.
【解析】当时，直线的斜率为，
因为，所以时，或，
由得，
当即时，直线的斜率为.
因为，所以或，即或.
所以直线的斜率的取值范围为.
综上所述，直线的斜率的取值范围为.
故选：A.
3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（       ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
【解析】如图所示，

设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
4．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，将表示成a的函数，求出函数的值域的作答.
【解析】依题意，，直线l的方向向量，则有，
解得，因此，，
因当时，取最小值，则有，
所以的取值范围是.
故选：D
5．直线l：y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x＋10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l有
A．6条 B．7条 C．8条 D．无数条
【答案】B
【解析】试题分析：，所以 值有7个，直线有7条
故选：B
考点：直线交点
6．已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：
①；
②当时，有最小值，无最大值；
③；
④当且时，的取值范围是.
正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由与的位置关系有，数形结合法判断位置，结合的几何意义判断、的范围，应用点线距离公式有判断③.
【解析】将代入有，
而与在的两侧，则，①错误；

由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分，
所以，故无最值，②错误；
由上图知：在直线左上方，则，③正确；
由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分，
而表示与连线的斜率，由图知：，④正确.
故选：B
7．已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得直线（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【解析】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线与x轴的交点为M，
由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：

此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有．
③若点M在点A的左侧，

则，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 1，∴，化简可得，
故有1．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选：B．
8．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.
【解析】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，
由得点，由得点，而，，
于是得，
而表示动点到定点与的距离的和，
显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，
当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得取最小值，
所以，当直线l3方程为：时，取最小值.
故选：C

二、多选题
9．下面说法中正确的是（       ）
A．经过定点斜率存在的直线才可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过定点且斜率存在的直线才可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点，的直线的斜率都等于
【答案】AC
【分析】A，根据点斜式方程的概念可判断正误；B，直线不能表示斜率为零的直线，故错误；C，根据斜截式方程的概念可判断正误；D，当两个点的横坐标相同时，直线斜率不存在，故选项错误.
【解析】对于A，由直线方程的点斜式知，A项正确；
对于B，该方程不能表示过点P且平行于x轴的直线，
即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B项不正确；
对于C，斜截式只能表示斜率存在的直线，所以C项正确；
对于D，时，经过两个不同的点，的直线的斜率不存在，
所以D项不正确．
故选：AC.
10．已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（       ）
A．存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直
【答案】ABD
【分析】当时可判断A；直线与均过点可判断B；当时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于可判断D，进而可得正确选项.
【解析】对于A：当时，直线：，此时直线的倾斜角为，故选项A正确；
对于B，直线与均过点，所以对任意的，与都有公共点，故选项B正确；
对于C，当时，直线为，即与重合，故选项C错误；
对于D，直线的斜率为，若的斜率存在，则斜率为，所以与不可能垂直，所以对任意的，与都不垂直，故选项D不正确；
故选：ABD.
11．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的为（       ）
A．存在实数，使得点在直线上；
B．若，则过的直线与直线平行；
C．若，则直线经过的中点；
D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；
【答案】BCD
【分析】对于A，点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断A不正确．
对于B，当时，若，则，整理得，再结合不在直线上科判断，当时，若，可判断故，进而得到，再综合得答案．
对于C，若，即可得到，即可判断C．
对于D，若，则，或，根据点与直线的位置关系即可判定D．
【解析】解：对于A选项，若点在直线上则，
不存在实数，使点在直线上，故A不正确；
对于B选项，当时，若，则，整理得，此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上，故过、两点的直线与直线平行；当时，若，则，整理得，此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾，故，所以， 即，所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确；
对于C选项，若，则
即，，
直线经过线段的中点，即C正确；
对于D选项，若，则，或，
所以，且，
所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等，所以直线与线段不平行．故D正确．
故选：BCD．
12．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为（　　）

A．若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个
B．若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个
C．若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个
D．若，则点M在一条过点O的直线上
【答案】ABC
【分析】根据点M的“距离坐标”的定义逐一判断即可.
【解析】A. 若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确.
B. 若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确.
C. 若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个，如图，故正确.

D. 若，则点M在的轨迹是两条过O的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确.

故选：ABC.

三、填空题
13．设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是_________.
【答案】
【解析】利用倾斜角与斜率关系图象得解.
【解析】
由图得当时，
故答案为：
【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键.
14．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为___________.
【答案】
【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求.
【解析】∵直线，
∴，
由，得，
∴直线恒过定点，
可设直线方程为，则，，
又，即，当且仅当时取等号，
∴，
当面积最小时，直线的方程为，即.
故答案为：.
15．定义点到直线的有向距离.已知点到直线l的有向距离分别是，给出以下命题：①若，则直线与直线l平行；②若，则直线与直线l平行；③若，则直线与直线l垂直；④若，则直线与直线l相交.其中正确命题的个数是_______.
【答案】1
【分析】设点的坐标分别为，求出，可知当时，命题①②③均不正确，当时，在直线的两边，可以判断命题④正确.
【解析】设点的坐标分别为，则，，
若，则，即，
所以，若，
即，则点都在直线l上，
此时直线与直线l重合，故命题①②③均不正确，
当时，在直线的两边，则直线与直线l相交，故命题④正确.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键，综合性较强.
16．已知a，，曲线，若两条曲线在区间上至少有一个公共点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】由题意两条曲线在区间上至少有一个公共点，得到有解，转化为关于a，b的直线方程，得到表示原点到点的距离的平方，转化为，巧换元，构造函数，利用函数的单调性质，求出最值．
【解析】曲线，
，
，
，
于是可以看作关于a，b的直线方程，
则是该直线上的点，
表示原点到点的距离的平方，
设原点到直线的距离为d，
根据点到直线的距离公式得到，
，
令，则，则，
，
设，
可知函数在上为减函数，
当时，，
当时，最小值为．
故答案为:．
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于，根据点到直线距离公式，结合题意，得到，利用换元法，进行求解即可.

四、解答题
17．已知△ABC的三个顶点A(m，n)、B(2，1)、C(－2，3).
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD的方程为2x－3y+6=0，且，求点A的坐标.
【答案】(1)；
(2)或.

【分析】（1）运用直线两点式方程直接求解即可；
（2）根据两点间距离公式、点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可.
(1)
因为B(2，1)、C(－2，3)，所以BC边所在直线的方程为：
；
(2)
BC边上中线AD的方程为2x－3y+6=0，所以有，
点A到直线BC的距离为：，
，因为 ，
所以有，
因此有或 ，解得：或，
所以点A的坐标为：或.
18．已知直线，.
(1)若直线l与直线垂直，求实数的值
(2)若直线l在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线l的方程.
【答案】(1)或
(2)或

【分析】（1）根据直线垂直的充要条件列方程求解即可；
（2）求出在坐标轴上的截距，由条件求出，即可得出直线方程.
(1)
因为直线l与直线垂直，
所以，解得或.
(2)
令，得，令，，
由题意知，解得或，
所以直线l的方程为或.
19．已知两条直线=0.
(1)求证:直线过定点，并求出该定点的坐标；
(2)若a=0，直线l与垂直，且______，求直线l的方程.
从以下三个条件中选择一个补充在____上面问题中，使满足条件的直线l有且仅有一条，并作答.条件①:直线l过坐标原点；条件②:坐标原点到直线l的距离为1；条件③:直线l与交点的横坐标为2.
【答案】(1)证明见解析，定点为
(2)答案见解析

【分析】（1）变换方程得到，得到，解得答案.
（2）考虑选择条件①，条件②，条件③，根据题意计算直线方程，结合唯一性得到答案.
(1)
，即，，则，故直线过定点.
当时，代入验证成立.
(2)
当时，，直线斜率为，则直线的斜率为，
设直线方程为：，即.
选择条件①：，则直线方程为，满足条件；
选择条件②：，解得，不唯一，不满足；
选择条件③：，故交点为，代入直线方程得到，，
故直线方程为：.
综上所述：选择条件①或③，可得直线方程为.
20．已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）①的最小值为，；②.
【分析】（1）整理已知方程，使得的系数等于即可求解；
（2）①求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，由等号成立的条件可得的值，进而可得直线的方程；②设直线的倾斜角为，则，可得，，再利用三角函数的性质计算 的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程.
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以经过的定点坐标；
（2）直线：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面积
，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
此时直线的方程为：即；
②设直线的倾斜角为，则，可得，，
所以，
令，
因为，可得，，
，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以
，所以，此时，
可得，所以，
所以直线的方程为.
21．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长AB为2，宽AD为1，AB，AD边分别为x轴正半轴，y轴正半轴，以A为坐标原点，将矩形折叠，使A点落在线段DC上包括端点.


（1）若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在直线方程；
（2）当时，求折痕长的最大值；
（3）当时，折痕为线段PQ，设，试求t的最大值
【答案】（1）；（2）  ；（3）．
【分析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A点落在G点，则斜率相乘为，从而得到G点的坐标关于的表达式，写出折痕所在的直线方程
（2）当，分析可得折痕交在和轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于的表达式，结合的范围求出最大值
（3）当时，折痕交在和轴上，求出PQ的表达式，代入求出关于的表达式，结合的范围求出的最大值
【解析】（1）①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程；
②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为，
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有，
故G点坐标为，
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标，即线段OG的中点为，
折痕所在的直线方程，即，
由①②得折痕所在的直线方程为：；
（2）当时，折痕的长为2，
当折痕刚好经过B点时，将代入直线方程得：，或（此时，A点不在线段DC上，舍）
当时，折痕两个端点一定在和轴上，直线交BC于点，交y轴于，

折痕长度的最大值为 ，
而，
故折痕长度的最大值为  ；
当时，折痕的两个端点一定在和轴上，直线交DC于，交x轴于，
，
，
，
当且仅当时取“”号，
当时，t取最大值，t的最大值是．
【点睛】本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题．
22．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数

（1）设，求面积的最小值；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在；
【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为，
和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S
，再利用基本不等式求最值，计算得结论；
(2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论．
【解析】(1)因为直线l过点，且斜率为k，
所以直线l的方程为
因为直线l与，分别交于点M，N，所以，
因此由得，即，
由得，即
又因为M，N的纵坐标均为正数，
所以，即
而，因此
又因为当时，直线OA的方程为，
，，且，
所以点M到直线OA的距离为，
点N到直线OA的距离为，
因此面积
令，则且，
因此
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以S的最小值为，即面积的最小值为
(2)存在实数，使得的值与k无关．
由(1)知：，，且
因此，，
所以
又因为，所以当时，为定值，
因此存在实数，使得的值与k无关．

一、单选题
1．如果，，那么直线不经过的象限是（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限.
【解析】由题设，直线可写成，又，，
∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限.
故选：A.
2．若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两直线垂直求出，再利用基本不等式求出的最大值．
【解析】解：由直线与直线互相垂直
所以
即
又a、b为正实数，所以
即，当且仅当a，b时取“＝”；
所以的最大值为．
故选：B
【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.
3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(       )
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒
【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为，
∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，
故选：D﹒
4．已知直线：，：，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当时，根据斜率的乘积等于可得；当时，根据求出，再根据必要不充分条件的概念可得答案.
【解析】当时，，，，所以；
当时，可得，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若为无理数，则在过点的所有直线中
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
【答案】C
【分析】根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可求解．
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点，，由于也在此直线上，
当时，则为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当时，直线的斜率存在，且有，
又为无理数，而为有理数，所以，
所以，
所以满足条件的直线只有一条，且直线的方程是，所以只有C选项正确.
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点､分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离（       ）


A．最大值为2 B．最大值为
C．最大值为 D．最大值为
【答案】C
【分析】取中点为，为直角三角形，故，显然，，当且仅当､､三点共线时，等号成立，继而得解.
【解析】依题意，，，.
取中点为，由于为直角三角形，故


由于为直角三角形，故
显然，，当且仅当､､三点共线时，等号成立.
因此，最大值为.
故选：C.

二、多选题
7．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(       )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．
【解析】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．
8．对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法正确的是（     ）
A．若点C是线段AB的中点，则
B．在中，若，则
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
【答案】ACD
【分析】对于AC，根据距离的新定义分析判断，对于B，举例判断，对于D，根据距离的新定义结合图形分析判断
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，取，则，而，不满足，故B错误；
对于C，设，则，因为
，
同理，所以，故C正确；
对于D，设正方形ABCD的边长为a，当正方形的边与坐标轴平行时，易知，如图，设AB与x轴的夹角为，由图可知
，故D正确.
故选：ACD


三、解答题
9．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值：
（1）直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）代入点到的方程，求解出的第一个关系式，再根据垂直关系求得第二个的关系式，从而求解出的值；
（2）根据两直线平行得到的第一个关系式，再根据原点到两直线的距离相等得到第二个的关系式，从而求解出的值.
【解析】（1）因为过点，所以，
又因为，所以，所以，所以；
（2）因为，所以，所以，
又因为标原点到的距离相等，所以，所以
当时，；当时，，
所以或.
【点睛】本题考查根据直线的位置关系求解参数值，难度一般.已知（不重合），若，则有；若，则有.
10．已知两直线和的交点.
（1）求经过点和点的直线的方程；
（2）求经过点且与垂直的直线的方程．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）首先联立方程组得到交点的坐标，计算出的斜率，先写成点斜式再化为一般式；（2）由垂直条件求出斜率，先写成点斜式再化为一般式.
试题解析：（1）联解得，，，，即.
（2）由垂直条件知斜率，
直线方程为：
11．如图，为信号源点，、、是三个居民区，已知、都在的正东方向上，，，在的北偏西45°方向上，，现要经过点铺设一条总光缆直线（在直线的上方），并从、、分别铺设三条最短分支光缆连接到总光缆，假设铺设每条分支光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为1元/，设，（），铺设三条分支光缆的总费用为（元）.

（1）求关于的函数表达式；
（2）求的最小值及此时的值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】(1)对直线的斜率是否存在分类讨论，求出三点到直线的距离，铺设三条分光缆的总费用即可求关于的函数表达式；
(2)由（1）中的表达式利用换元法，利用基本不等式，可求的最小值及此时的值．
【解析】(1) 以点位坐标原点，为轴建立直角坐标系,
则，
当直线的斜率不存在，即时，
三点到直线的距离分别为10，20，5
所以此时=,
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，,
三点到直线的距离分别为:，
所以
.
所以
(2) 当直线的斜率不存在时，=,
当直线的斜率存在时，

设，
当即时，=.
当即时，.
因为当时(当且仅当时取等号)
当时, (当且仅当时取等号)
所以的最小值为
此时.
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，属于中档题．
12．已知，函数的图象为曲线.、是上的两点，在第一象限，在第二象限.设点、.
(1)若到和到直线的距离相等，求的值；
(2)已知，证明：为定值，并求出此定值（用表示）；
(3)设，且直线、的斜率之和为.求原点到直线距离的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)

【分析】（1）根据函数表达式可设，结合两点间距离公式可得，整理即可求解；
（2）设，，则可得到，，由平行关系可得，整理即可证明；
（3）设直线、的斜率分别为、（），代入函数表达式可得，的坐标，即可得到直线的表达式，利用点到直线距离公式，进而求解.
(1)
设（），由题意，.
而，由知，，故.
(2)
设，（，），则，，
故由，得，即，
由于，故，
所以为定值.
(3)
由题，设直线、的斜率分别为、（），
则，，
故直线的方程为，
设，则，
所以到直线距离为，
当时，，故.