单元复习05 导数及其应用【过知识】-2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第一册）

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y－y0＝f′(x0)(x－x0) 　
2．基本初等函数的导数公式
f′(x)±g′(x)　
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 ∙ 数学探索数学探索1 极值点偏移问题数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题
数学探索1 极值点偏移问题
极值点偏移问题一般与函数的单调性、极值与最值问题等相结合,在高考试题中多作为解答题的?轴题出现,命题主要有两个方面:一是有关极值点或极值的不等式的证明;二是有关极值差的取值范围的求解.此类问题中所涉及的函数多为含参函数,并且命题的形式多,难度较大.只要掌握这类问题的实质,巧妙消元、消参、构造函数,问题便能迎刃而解.示例6 已知函数 f(?)=ln ?-??(?>0),?为常数,若函数f(?)有两个零点?1,?2(?1≠?2).证明:?1?2>e2.
则G'(s)=(s-1)es+1,G″(s)=ses>0(G″(s)为G'(s)的导函数),故G'(s)在(0,+∞)上单调递增,所以G'(s)>G'(0)=0,从而G(s)在(0,+∞)上单调递增,所以G(s)>G(0)=0,所以②式成立,故t1+t2>2,即?1?2>e2.
点评 该解法的关键是巧妙引入变量s,然后利用等量关系,把t1,t2消掉,从而构造相应的函数,转化所证问题.解题要点如下.(1)取差构元:记s=t2-t1,则t2=t1+s,利用该式消掉t2.(2)巧解消参:利用g(t1)=g(t2),构造方程,解之,利用s表示t1.(3)构造函数:依据消参之后所得不等式的形式,构造关于s的函数G(s).(4)转化求解:利用导数研究函数G(s)的单调性和最小值,从而证得结论.
所以F(?)>0对任意的?∈(0,1]恒成立,即g(1+?)>g(1-?)对任意的?∈(0,1]恒成立,由0g(1-(1-t1))=g(t1)=g(t2),即g(2-t1)>g(t2),又2-t1,t2∈(1,+∞),且g(?)在(1,+∞)上单调递减,所以2-t12,即?1?2>e2.
点评 上述解题过程中用到的解法就是解决极值点偏移问题的最基本的方法,解题过程中有以下四个解题要点:(1)求函数g(?)的极值点?0;(2)构造函数F(?)=g(?0+?)-g(?0-?);(3)确定函数F(?)的单调性;(4)确定g(?0+?)与g(?0-?)的大小关系.
3.极值点偏移问题的解法
数学探索2 利用洛必达法则求解不等式恒成立问题