中考数学二轮专题第09讲 四边形的存在性(教师版)

这是一份中考数学二轮专题第09讲 四边形的存在性(教师版)，共21页。试卷主要包含了平行四边形四顶点的坐标关系，平行四边形点的存在性问题解法等内容，欢迎下载使用。

中点坐标公式
如图1，在平面直角坐标系中，若点，，
且为线段中点，则点坐标为.


图1 图2


证明如下：
如图2，分别过点A，C作y轴平行线，过点B作x轴平行线，
分别交于点D和点E，则由图可得：，
即，解得，
故点的坐标为，可巧记为“中点对应平均数”.




一、平行四边形四顶点的坐标关系
如图3，在平行四边形ABCD中，有，
即相对两顶点的横纵坐标之和相等；
或者也可记为，
即对边两顶点之间的水平距离与垂直距离分别相等； 图3

证明：如图4，因为M点既是AC中点，也是BD中点，
由中点坐标公式可得：
，，
故有成立， 图4
利用此关系可以在二次函数解答题中进行相关点坐标求解.


二、平行四边形点的存在性问题解法
第一步：写出或设出三个顶点的坐标；
第二步：以“哪两个顶点相对”为分类标准，分三类讨论，利用上述模型，求出第四个顶点的坐标；
第三步：将第四个顶点坐标代入相应的函数关系式即可。








【例题1】（贵阳中考）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．
（1）a　＞　0，b2﹣4ac　＞　0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）a＞0，b2﹣4ac＞0；
（2）∵直线x＝2是对称轴，A（﹣2，0），
∴B（6，0），
∵点C（0，﹣4），将A，B，C的坐标分别代入y＝ax2+bx+c，
解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣4，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（3）存在，理由为：
（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，
则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y＝x2﹣x﹣4关于直线x＝2对称，
∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC＝4，
∴E的纵坐标为﹣4，
∴存在点E（4，﹣4）；
（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，
则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC＝E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，
∵AC∥E′F′，∴∠CAO＝∠E′F′G，
又∵∠COA＝∠E′GF′＝90°，AC＝E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G＝CO＝4，∴点E′的纵坐标是4，
∴4＝x2﹣x﹣4，
解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴点E′的坐标为（2+2，4），同理可得点E″的坐标为（2﹣2，4），
综上，点E的坐标为（4，﹣4），（2+2，4），（2﹣2，4）．
【例题2】已知如图，矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）求∠PCB的度数；
（2）若P，A两点在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．

【解析】（1）在Rt△OAC中，OA＝，OC＝1，则∠OAC＝30°，∠OCA＝60°；
根据折叠的性质知：OA＝AP＝，∠ACO＝∠ACP＝60°；
∵∠BCA＝∠OAC＝30°，且∠ACP＝60°，
∴∠PCB＝30°．
（2）过P作PQ⊥OA于Q；
Rt△PAQ中，∠PAQ＝60°，AP＝；
∴OQ＝AQ＝，PQ＝，
所以P（，）；
将P、A代入抛物线的解析式中，得：
，解得；即y＝﹣x2+x+1；
当x＝0时，y＝1，故C（0，1）在抛物线的图象上．
（3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，
∴过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，
把y＝1代入抛物线解析式得点D的坐标为（，1）
把y＝0代入抛物线解析式得点E的坐标为（﹣，0）
∴M（，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）；
②若DE是平行四边形的边，
过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，∴DE＝AN＝＝＝2，
∵tan∠EAN＝，∴∠EAN＝30°，
∵∠DEA＝∠EAN，∴∠DEA＝30°，∴M（，0），N（0，﹣1）；
同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，
∴M（﹣，0），N（0，1）．
【例题3】（2020•河南模拟）如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段EM的最大值；
（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，则点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），
抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，
故抛物线的表达式为：y＝3ax2+10x+12，
将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+10x+12；
（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），
EM＝（﹣2x2+10x+12）﹣（﹣2x+12）＝﹣2x2+12x，
∵﹣2＜0，故EM有最大值，最大值为18，此时x＝3；

（3）y＝﹣2x2+10x+12，令y＝0，则x＝﹣1或6，故点A（﹣1，0），
由（2）知，x＝3，则点M（3，6），设点P的横坐标为：m，点Q的坐标为：（，s），
①当AM是边时，
当点A向右平移4个单位向上平移6个单位得到点M，
同样，点P（Q）向右平移4个单位向上平移6个单位得到点得到点Q（P），
即m±4＝，解得：m＝﹣或，故点P（﹣，﹣）或（，﹣）；
②当AM是对角线时，
由中点公式得：﹣1+2＝m+，解得：m＝﹣，故点P（﹣，）；
综上，点P的坐标为：（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．


【例题4】如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，且CM＝1，过点N作ND⊥x轴于点D，且DN＝1．已知点P是x轴（除原点O外）上一点．
（1）直接写出M、N的坐标及k的值；
（2）将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由；
（3）当点P滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点S，使得以P、S、M、N四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点S的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由题意M（1，4），n（4，1），
∵点M在y＝上，∴k＝4；
（2）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；
如图1，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，
过Q作QH⊥x轴于H，易得：△COP≌△PHQ，
∴CO＝PH，OP＝QH，
由（2）知：反比例函数的解析式：y＝；当x＝1时，y＝4，
∴M（1，4），∴OC＝PH＝4，设P（x，0），∴Q（x+4，x），
当点Q落在反比例函数的图象上时，
x（x+4）＝4，x2+4x+4＝8，x＝﹣2±2，
当x＝﹣2+2时，x+4＝2+2，如图1，Q（2+2，﹣2+2）；
当x＝﹣2﹣2时，x+4＝2﹣2，如图2，Q（2﹣2，﹣2﹣2）；
如图3，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，设P（x，0）
过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，
易得：△CPG≌△PQH，
∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，∴Q（x﹣4，﹣x），
同理得：﹣x（x﹣4）＝4，解得：x1＝x2＝2，∴Q（﹣2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．
（3）当MN为平行四边形对角线时，根据MN的中点的纵坐标为，可得点S的纵坐标为5，即S（，5）；
当MN为平行四边形的边时，易知点S的纵坐标为3，即S（，3）；故点S坐标为（，5）或（，3）．

【例题5】（2020•安阳模拟）如图，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的横坐标；
（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发沿线段BC由B向C运动，P，Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P，Q同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使P，Q运动过程中的某些时刻t，以C，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．

【解析】（1）直线解析式y＝x﹣4，
令x＝0，得y＝﹣4；令y＝0，得x＝4．
∴A（4，0）、B（0，﹣4）．
∵点A、B在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，解得，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣4．
（2）设M（x，y），
令y＝x2﹣x﹣4＝0，解得：x＝﹣3或x＝4，∴C（﹣3，0）．
①当BM⊥BC时，如答图2﹣1所示．
∵∠ABO＝45°，
∴∠MBA+∠CBO＝45°，故点M满足条件．
过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E＝x，OE＝﹣y，
∴BE＝4+y．
∵tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，∴，
∴直线BM1的解析式为：y＝x﹣4，∴∴（舍去），
∴点M1的坐标（，﹣）
②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2﹣2所示．
∵∠ABO＝∠MBA+∠MBO＝45°，∠MBO＝∠CBO，
∴∠MBA+∠CBO＝45°，
故点M满足条件．
过点M2作M2E⊥y轴于点E，
则M2E＝x，OE＝y，
∴BE＝4+y．
∵tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，∴，
∴直线BM2的解析式为：y＝x﹣4，∴∴（舍去），
∴点M2的坐标（5，），综上所述：点M的横坐标为：或5；
（3）设∠BCO＝θ，则tanθ＝，sinθ＝，cosθ＝．
假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t．
①若以CQ为菱形对角线，如答图3﹣1．此时BQ＝t，菱形边长＝t．
∴CE＝CQ＝（5﹣t）．在Rt△PCE中，cosθ＝＝＝，解得t＝．

②若以PQ为菱形对角线，如答图3﹣2．此时BQ＝t，菱形边长＝t．
∵BQ＝CQ＝t，∴t＝，
③若以CP为菱形对角线，如答图3﹣3．此时BQ＝t，菱形边长＝5﹣t．
在Rt△CEQ中，cosθ＝＝＝，
解得t＝．
综上所述，当t＝或或时，以C，D，P，Q为顶点的四边形为菱形．


1．（2016•扬州）如图1，二次函数y＝ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，
则有解得，∴二次函数y＝x2﹣2x，
（2）由（1）得，B（1，﹣1），
∵A（﹣1，3），
∴直线AB解析式为y＝﹣2x+1，AB＝2，
设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或，
∴P（1+，2）和（1﹣，2）
②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或
∴P（1+，4）或（1﹣，4）．
故答案为P（1+，2）或（1﹣，2）或P（1+，4）或（1﹣，4）．






2．（2018春•吴中区期中）如图1，已知直线y＝2x分别与双曲线y＝，y＝交于第一象限内P，Q两点，且OQ＝PQ．

（1）则P点坐标是　（2，4）　；k＝　2　．
（2）如图2，若点A是双曲线y＝在第一象限图象上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y＝于点B，C；
①连接BC，请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化，若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；
②若点D是直线y＝2x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A，B，C，D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．
【解析】（1）过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1，
联立 ，解得：或．
∵x＞0，∴点P的坐标为（2，4）．∴OF＝2，PF＝4．
∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，∴QE∥PF．
∴△OEQ∽△OFP．
∴＝＝．
∵OQ＝PQ
∴OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝4．
∴OE＝1，EQ＝2．∴点Q的坐标为（1，2）．
∵点Q（1，2）在双曲线y＝上，∴k＝1×2＝2．∴k的值为2．
故答案为（2，4），2．
（2）①如图2，
设点A的坐标为（a，b），
∵点A（a，b）在双曲线y＝上，∴b＝．
∵AB∥x轴，AC∥y轴，
∴xC＝xA＝a，yB＝yA＝b＝．
∵点B、C在双曲线y＝上，∴xB＝＝，yC＝．
∴点B的坐标为（，），点C的坐标为（a，）．
∴AB＝a﹣＝，AC＝﹣＝．
∴S△ABC＝•AB•AC＝××＝．
∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于．
②当AC为平行四边形的一边，
Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴AC∥BD，AC＝BD．
∴xD＝xB＝．∴yD＝2xD＝．∴DB＝﹣．
∵AC＝﹣＝，∴＝﹣．解得：a＝±2．
经检验：a＝±2是该方程的解．
∵a＞0，∴a＝2．∴b＝＝．∴点A的坐标为（2，）．
Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4，
∵四边形ACDB是平行四边形，∴AC∥BD，AC＝BD．∴xD＝xB＝a．
∴yD＝2xD＝．∴DB＝﹣．
∵AC＝，∴＝﹣，解得：a＝±2．
经检验：a＝±2是该方程的解．
∵a＞0，∴a＝2．∴b＝＝4．∴点A的坐标为（2，4）．
当AC为平行四边形的对角线，
此时点B、点C都在点Q的左边，如图5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．∴yD＝yC＝．∴xD＝＝．∴CD＝﹣a．
∵AB＝a﹣＝，∴＝﹣a．解得：a＝±．
经检验：a＝±是该方程的解．
∵a＞0，∴a＝．∴b＝＝4．∴点A的坐标为（，4 ）．
综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为
（2，）或（2，4）或（，4 ）．
3．（2019春•常熟市期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝﹣在第二象限内的图象相交于点A，与x轴的负半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C．

（1）求∠BCO的度数；
（2）若y轴上一点M的纵坐标是4，且AM＝BM，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，点Q是平面直角坐标系中的一点，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
【解析】（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象交x轴于B，交y轴于C，则B（b，0），C（0，b），
∴OB＝OC＝﹣b，
∵∠BOC＝90°
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°．

（2）如图1中，作MN⊥AB于N．
∵M（0，4），MN⊥AC，直线AC的解析式为y＝﹣x+b，
∴直线MN的解析式为y＝x+4，
由，解得，∴N（，），
∵MA＝MB，MN⊥AB，
∴NA＝BN，设A（m，n），
则有，解得，∴A（﹣4，b+4），
∵点A在y＝﹣上，∴﹣4（b+4）＝﹣4，
∴b＝﹣3，∴A（﹣4，1）．

（3）如图2中，
由（2）可知A（﹣4，1），M（0，4），∴AM＝＝5，
当菱形以AM为边时，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q（﹣4，﹣4），Q′（﹣4，6），
当A，Q关于y轴对称时，也满足条件，此时Q（4，1）
当AM为菱形的对角线时，设P″（0，b），
则有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，
∴b＝﹣．∴AQ″＝MP″＝，∴Q″（﹣4，），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣4，﹣4）或（﹣4，6）或（﹣4，）或（4，1）．
5．（2013•黔西南州模拟）已知抛物线经过点A（2，0），设顶点为P，与X轴的另一交点B．
（1）求b的值和点P、点B的坐标；
（2）在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+6经过A（2，0），
∴0＝×22+b×2+6，解得b＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+6．
∵y＝x2﹣4x+6＝（x2﹣8x）+6＝（x﹣4）2﹣2，
∴顶点P的坐标为（4，﹣2），
令y＝0，得x2﹣4x+6＝0，解得x1＝2，x2＝6．
∴点B的坐标是（6，0）；
（2）在直线y＝x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形．理由如下：
设直线PB的解析式为y＝kx+b，
把B（6，0），P（4，﹣2）分别代入，得
，解得，
∴直线PB的解析式为y＝x﹣6．
∵直线OD的解析式为y＝x，
∴直线PB∥OD．
设直线OP的解析式为y＝mx，把P（4，﹣2）代入，
得4m＝﹣2，解得m＝﹣．
如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形．
设直线BD的解析式为y＝﹣x+n，
将B（6，0）代入，得0＝﹣3+n，解得n＝3，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．
解方程组，得，
∴D点的坐标为（2，2）．

5．（2017•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．
（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；
（2）求△ABC外接圆的半径；
（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．

【解析】
（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0可得y＝﹣3，
又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，
∴C（0，3），
设曲线N的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C的坐标代入可得，解得，
∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）设△ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，
∵B（3，0），C（0，3），
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，
又线段AB的垂直平分线为曲线N的对称轴，即x＝1，
∴M（1，1），
∴MB＝＝，
即△ABC外接圆的半径为；

（3）设Q（t，0），则BQ＝|t﹣3|
①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，
∴P点纵坐标为3，
即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，
当点P在曲线M上时，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝3可解得x＝1+或x＝1﹣，
∴PC＝1+或PC＝﹣1，
当x＝1+时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ＝t﹣3，
∴t﹣3＝1+，解得t＝4+，
当x＝1﹣时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ＝3﹣t，
∴3﹣t＝﹣1，解得t＝4﹣，
∴Q点坐标为（4+，0）或（4﹣，0）；
当点P在曲线N上时，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3可求得x＝0（舍去）或x＝2，
∴PC＝2，
此时Q点在B点的右侧，则BQ＝t﹣3，
∴t﹣3＝2，解得t＝5，
∴Q点坐标为（5，0）；
②当BC为平行四边形的对角线时，
∵B（3，0），C（0，3），
∴线段BC的中点为（，），设P（x，y），
∴x+t＝3，y+0＝3，解得x＝3﹣t，y＝3，
∴P（3﹣t，3），
当点P在曲线M上时，则有3＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，
∴Q点坐标为（2+，0）或（2﹣，0）；
当点P在曲线N上时，则有3＝﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t＝3（Q、B重合，舍去）或t＝1，
∴Q点坐标为（1，0）；
综上Q点坐标为（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．









6．（2020•山西模拟）综合与探究．
如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．
（1）求A，B，C三点的坐标及直线BE的解析式．
（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求OAPD面积的最大值．
（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
将B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，∴y＝﹣x+2；
（2）由题意可设AD的解析式为y＝﹣x+m，
将A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，∴y＝﹣x﹣，
联立，解得：，，∴D（3，﹣2），
过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．
∴S△APD＝S△APN+S△DPN＝PN•AF+PN•FG＝PN（AF+FG）＝PN•AG＝×4PN＝2PN，
设P（a，﹣a2﹣a﹣2），则N（a，﹣a﹣），
∴PN＝﹣a2+a+，
∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，
∴当a＝1时，△APD的面积最大，最大值为4；

（3）存在；
①当PD与AQ为平行四边形的对边时，
∵AQ∥PD，AQ在x轴上，
∴P（0，﹣2），
∴PD＝3，
∴AQ＝3，
∵A（﹣1，0），
∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；
②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，
PD与AQ的中点在x轴上，
∴P点的纵坐标为2，
∴P（，2）或P（，2），
∴PD的中点为（，0）或（，0），
∵Q点与A点关于PD的中点对称，
∴Q（，0）或Q（，0）；
综上所述：点Q的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．

7．（2016•南充）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝，求点Q的坐标；
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线为y＝a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+5．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），
则AF＝m+5，AE＝EM＝m+6，FG＝（m+5），FM＝＝，
∵sin∠AMF＝，∴＝，
∴＝，整理得到2m2+19m+44＝0，
∴（m+4）（2m+11）＝0，∴m＝﹣4或﹣5.5（舍弃），
∴点Q坐标（﹣4，）．
（3）①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F（m，0），
∵直线AC解析式为y＝x+5，
∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），
∵QN＝PM，
∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5＝m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，解得m＝﹣3+或﹣3﹣（舍弃），
此时M（﹣2+，3+），
当MN是对角线时，点N在点A的左侧时，设点F（m，0）．
∴m+5﹣（﹣m2﹣m+5）＝[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]﹣（m+6），
解得m＝﹣3﹣或﹣3+（舍弃），
此时M（﹣2﹣，3﹣）
②当MN为边时，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），
由题意：﹣m2﹣m+6＝﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，解得m＝﹣3．
∴点M坐标（﹣2，3），
综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．

8．（2017春•亭湖区校级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+1交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥AB，垂足为点C，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线AB上方的抛物线上，用含m的代数式表示线段PC的长，并求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；
（3）若P是抛物线上任意一点，且满足0°＜∠PAB≤45°，请直接写出：
①点P的横坐标m的取值范围；
②纵坐标为整数的点P为“巧点”，求“巧点”的个数．

【解析】（1）由题意A（0，1），B（4，3），
把A（0，1），B（4，3）代入y＝﹣x2+bx+c得到，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．

（2）作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．
由题意D（﹣2，0），A（0，1），
设P（m，﹣m2+m+1），则E（m，m+1），PE＝﹣m2+4m
∴OA＝1，OD＝2，AD＝，
∵PF∥OA，
∴∠DAO＝∠DEF＝∠PEC，
∵∠AOD＝∠PCE＝90°，
∴△PCE∽△DOA，
∴＝，∴＝，∴PC＝﹣（m2﹣4m），
∵PC＝﹣（m2﹣4m）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，∴m＝2时，PC有最大值．最大值为，此时P（2，6）；
（3）①如图2中，取点F（1，4），连接AF、FB，
∵A（0，1），B（4，3），
∴AF＝＝，FB＝＝，AB＝＝2，
∴AF＝FB，AF2+BF2＝AB2，
∴△FAB是等腰直角三角形，
∴∠FAB＝45°，设直线AF交抛物线于P，
∴直线AF的解析式为y＝3x+1，
由解得或，
∵A（0，1），
∴P（，），
当P′A⊥PA时，
直线P′A的解析式为y＝﹣+1，
，解得或，
∴P′（，﹣）
∴观察图象可知，满足条件0°＜∠PAB≤45°的点P的横坐标≤m＜4或4＜m≤．

②观察图象可知点P的纵坐标的范围3＜yp≤或﹣≤yP＜3
∴整数yp为4，5，6，0，1，2，又点P的横坐标≤m＜4或4＜m≤．
∴对应的点P有7个，对应的点P的纵坐标为0，1，2，4，5，6，6，
∴“巧点”的个数为7个．