中考数学压轴题满分突破训练 专题05 二次函数-线段最大值问题

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中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。

第五讲 二次函数--线段最大值问题
目录
必备知识点 1
考点一 单个线段的最大值 1
考点二 线段之和的最大值 6
考点三 线段之差的最大值 24
考点四 线段之比的最大值 27

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必备知识点


考点一 单个线段的最大值

1．如图1，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点C在y轴上，点B的纵坐标为﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+交于C点，点C在y轴上，
∴C（0，），
将点A（3，2），C（0，）代入y＝﹣+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+；
（2）设D（t，﹣t2+t+），则E（t，﹣t+），
∴DE＝﹣t2+t++t﹣＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∴当t＝2时，DE的长度最大为2，
此时D（2，），
∵y＝﹣+x+＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的解析式为直线x＝1，
∵C（0，），
∴C点、D点关于直线x＝1对称，
连接AC交对称轴于点P，
∴PD＝PC，
∴PD+PA＝PC+PA≥AC，
∴当C、P、A三点共线时，PA+PD的值最小，
∴AC＝，
∴PA+PD的最小值为；
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；


【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．

设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；

3．如图1，在直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交BC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），OC＝3，
∵tan∠CAO＝2，
∴，
∴AO＝，
∴，
∵B（4，0），
∴设，
将C（0，3）代入得：，
∴，即，
（2）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，如图：

∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴∠PEF＝∠CBO，∠EFP＝∠BCO，
∴△CBO∼△FEP，
∴，
∴，
∴，
设，
由B（4，0）、C（0，3）得直线BC解析式为：，
∴，
∵PF＝yP﹣yF，
∴，
∴＝﹣（m﹣2）2+，
∴，此时；

考点二 线段之和的最大值
4．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），tan∠CBO＝．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）∵点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵tan∠CBO＝＝，
∴OB＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
由抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将点C（0，3）代入解析式为a×（0+2）×（0﹣6）＝3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3．
（2）过点P作PF∥x轴交BC于点F，
∵PE∥BC，
∴四边形PEBF为平行四边形，
∴PF＝BE，
∴PD+BE＝PD+PF，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则点D的坐标为（m，﹣m+3），
∴PD＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m，
∵PF∥x轴，
∴点F和点P的纵坐标相等，即﹣x+3＝﹣m2+m+3，
∴x＝m2﹣2m，
∴点F的坐标为（m2﹣2m，﹣m2+m+3），
∴PF＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，
∴PD+BE＝﹣m2+m+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，PD+BE的最大值为，
此时，点P的坐标为（3，）；
5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求A、C两点的坐标；
（2）连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
【解答】解：（1）在中，
令x＝0，．
∴C，
令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1，
∵xA＜xB，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）∵PE⊥x轴，y⊥x轴，
∴PE∥y轴，
∴∠PED＝∠ACO，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴△PED∽△ACO，
∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，
在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当PE最大时，PD+DE最大，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），，
∴，
∴直线．
设，﹣3＜m＜0，
∴，
∴，
∵，﹣3＜m＜0，
∴时，，
∴，
∴．

6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求PD+PH的最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）由题意可设二次函数的交点式为y＝a（x+4）（x﹣1），
将点C（0，3）代入函数解析式，得﹣4a＝3，
∴a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+3），则点D的坐标为（﹣3﹣x，﹣x2﹣x+3），点H的坐标为（x，x+3），
∴PD＝﹣3﹣x﹣x＝﹣3﹣2x，PH＝﹣x2﹣x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴PD+PH＝﹣3﹣2x+（﹣x2﹣3x）＝﹣x2﹣5x﹣3＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，PD+PH有最大值，
此时，点P的坐标为（﹣，）；
7．已知，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣8.0）、B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E、G是直线AC上方抛物线上的点，点E位于抛物线对称轴的左侧，设点G的横坐标为g，则点E的横坐标比点G的横坐标g小2．过E作EF∥x轴，交抛物线于点F，过G作GH∥x轴，交直线AC于点H，当EF+2GH的值最大时，求EF+2GH的最大值及此时点E的坐标；

【解答】解：（1）把A（﹣8.0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
由A（﹣8，0），C（0，4）得直线AC解析式为y＝x+4，
∵点G的横坐标为g，
∴G（g，﹣g2﹣g+4），
在y＝x+4中，令y＝﹣g2﹣g+4得x＝﹣g2﹣3g，
∴H（﹣g2﹣3g，﹣g2﹣g+4），
∴GH＝﹣g2﹣3g﹣g＝﹣g2﹣4g，
∵点E的横坐标比点G的横坐标g小2，
∴xE＝g﹣2，
∵抛物线y＝﹣x2﹣x+4对称轴为直线x＝﹣3，
∴EF＝2[﹣3﹣（g﹣2）]＝﹣2﹣2g，
∴EF+2GH＝﹣2﹣2g+2（﹣g2﹣4g）＝﹣g2﹣10g﹣2＝﹣（g+5）2+23，
∵﹣1＜0，
∴当g＝﹣5时，EF+2GH最大值为23，
此时xE＝g﹣2＝﹣5﹣2＝﹣7，
在y＝﹣x2﹣x+4中，令x＝﹣7得y＝，
∴E（﹣7，）；
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（，0），直线y＝x+与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和PG+PQ的最大值；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（，0）两点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣．
（2）如图，过点P作PE∥x轴交CD于点E，

∴∠DEP＝45°，
∴△PGE是等腰直角三角形，
∴PE＝PG，
设点P（t，t2﹣t﹣），则Q（t，0），E（t2﹣t﹣3，t2﹣t﹣），
∴PQ＝﹣t2+t+，PE＝t﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴PG+PQ＝PE+PQ
＝﹣t2+t+3+（﹣t2+t+）
＝﹣2（t﹣1）2+，
∵﹣2＜0，
∴当点P（1，﹣3）时，PG+PQ的最大值为．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交直线BC于点D；是否存在点M，使得MD+DC取得最大值，若存在请求出它的最大值及点M的坐标；若不存在，请说明理由；


【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴﹣＝﹣，
∴b＝3a，
∴y＝ax2+3ax+c，
将A（1，0）、C（0，4）代入y＝ax2+3ax+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）存在点M，使得MD+DC取得最大值，理由如下；
令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，
∴x＝﹣4或x＝1，
∴B（﹣4，0），
∵OB＝OC＝4，
∴∠CBO＝45°，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+4，
设M（m，﹣m2﹣3m+4），则D（m，m+4），
∵MN⊥x轴，
∴MD＝﹣m2﹣4m，
如图1，过点D作DG⊥y轴交于点G，
∵∠DCG＝45°，
∴CD2＝2DG2，
∴DG＝CD，
∵DG＝﹣m，
∴MD+DC＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，MD+DC有最大值，
此时M（﹣，）；

10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交直线BC于点N，求PN+CN的最大值，并求出此时点P的坐标；


【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2+bx+c得，
，解得：b＝﹣a+3，
∵函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，即b＝2a，
∴﹣a+3＝2a，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
过点C作直线PM的垂线，垂足为点H，
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴△CHN是等腰直角三角形，
∴CN＝CH，
∴PN+CN＝PN+2CH，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PN＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，CH＝﹣x，
∴PN+CN＝﹣x2﹣3x+2（﹣x）＝﹣x2﹣5x＝﹣（x+）2+，
∴PN+CN的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，﹣）．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，过点D作DE∥AC交x轴于点E．求的最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）∵，令x＝0，y＝4；令y＝0，得x＝2，
∴B（2，0），C（0，4），
将A（，0），B（2，0），C（0，4）代入解析式y＝ax2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．
（2）如图，延长PD交x轴于点F，

设P（t，﹣t2+t+4），D（t，﹣t+4），
∴PD＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t，
DF＝﹣t+4，
在Rt△AOC中，OA＝，OC＝4，
∴AC＝3，
∴sin∠CAO＝＝＝，
∵PD∥y轴，DE∥AC，
∴∠DEF＝∠CAO，
∴sin∠DEF＝sin∠CAO＝，
∴DE＝DF，
∴DE＝DF，
∴PD+＝（﹣t2+2t）+（﹣t+4）
＝﹣t2+t+6
＝﹣（t﹣）2+，
∴P（，）．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣6，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BD交y轴于点G，作直线OD，点P为线段BD上方的抛物线上任意一点，过点P作PE∥y轴交BD于点E，过点P作PF⊥直线OD于点F．当PE+PF为最大时，求这个最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣6，0），B（4，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2x+4；
（2）在y＝x2x+4中，令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），
∵抛物线y＝x2x+4的对称轴为直线x＝﹣1，且点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（﹣2，4），
设直线BD的解析式为y＝k（x﹣4），把D（﹣2，4）代入得，k（﹣2﹣4）＝4，
解得：k＝﹣，
∴直线BD的解析式为y＝x+，
同理，直线OD的解析式为y＝﹣2x，
设P（m，m2m+4），
∵PE∥y轴，
∴E（m，m+），
∴PE＝m2m+4﹣（m+）＝m2+m+，
如图1，过点D作DW⊥x轴于点W，延长PE交直线DO于点H，
∵PH∥DG，
∴∠PHF＝∠ODW，
∵D（﹣2，4），
∴OW＝2，DW＝4，
在Rt△ODW中，OD＝＝＝2，
∵sin∠ODW＝＝＝，
∴sin∠PHF＝sin∠ODW＝，
∴＝，
∴PF＝PH，
∵H（m，﹣2m），
∴PH＝m2m+4﹣（﹣2m）＝m2+m+4，
∴PF＝（m2+m+4），
∴PE+PF＝m2+m++×（m2+m+4）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
∵点P为线段BD上方的抛物线上任意一点，
∴﹣2＜m＜4，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，PE+PF的值最大，最大值为，
此时，点P的坐标为（，）；

13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接AC
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BC，点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，过点P作PN∥AC交x轴于点N，求PN+PM的最大值及此时点P的坐标；


【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），B（4，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+x+4；
（2）设P（t，t2+t+4）（0＜t＜4），
如图，过点P作PG⊥x轴于点G，则∠PGN＝90°，PG＝t2+t+4，
∵抛物线y＝x2+x+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵OA＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵PN∥AC，
∴∠PNG＝∠CAO，
∵∠PGN＝∠COA＝90°，
∴△PNG∽△CAO，
∴＝＝＝，
∴PG＝PN，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵PM∥x轴，
∴点M的纵坐标为t2+t+4，
∴﹣x+4＝t2+t+4，
解得：x＝t2﹣t，
∴M（t2﹣t，t2+t+4），
∴PM＝t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+2t，
∴PN+PM＝PG+PM＝t2+t+4+（﹣t2+2t）＝﹣t2+3t+4＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣1＜0，0＜t＜4，
∴当t＝时，PN+PM有最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）；

14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点D，求PE+BE的最大值以及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，过点E作x轴的平行线，过点P作PJ⊥x轴于J，并与过E点的平行线交点H，过点B作BK⊥EH的延长线于K，

则可得四边形HKBJ为矩形，
由（1）可得C（0，3），
则有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，
∵AC∥DP，EK∥x轴，KB⊥x轴，CO⊥x轴，
∴∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，
∴，，
∴，，
∴PH＝，，
∴+＝PH+BK＝PH+HJ＝PJ，
∵当P在抛物线的顶点时，有PJ的最大值，
∴当P在抛物线顶点时，有+最大值，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
求得抛物线的顶点坐标为（1，4），
∵当P点坐标为（1，4）时，PJ＝4，
∴当+最大时，P点坐标为（1，4），
∴＝2•（+）＝8，此时点P的坐标为（1，4）．

考点三 线段之差的最大值
15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，6），其中AB＝8，tan∠CAB＝3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．

【解答】解：（1）∵C（0，6），＝tan∠CAB＝3，
∴AO＝＝2，A（﹣2，0），B（6，0），
∴，解得，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6．
（2）如图1，作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K．
设直线BC的函数表达式为y＝kx+6，则6k+6＝0，解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+6；
设直线AC的函数表达式为y＝px+6，则﹣2p+6＝0，解得p＝3，
∴y＝3x+6．
设P（m，m2+2m+6），由PD∥AC，设直线PD的函数表达式为y＝3x+n，
则m2+2m+6＝3m+n，解得n＝m2﹣m+6，
∴y＝3xm2﹣m+6．
由，得，
∴E（，）．
∵AC＝＝2，BC＝＝6，且△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，
∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝1：1：，
∴PE＝EI，
∴PE＝10EI＝10（m﹣﹣）＝m﹣m2，
∵BE＝BK，
∴BE＝2BK＝2（6﹣﹣）＝12﹣﹣，
∴BE＝m﹣m2﹣（12﹣﹣）＝﹣m2+8m﹣12＝﹣（m﹣4）2+4，
∴当m＝4时，BE的最大值，最大值为4，此时P（4，6）．

16．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），直线BC的解析式为y＝x﹣3．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段BC上有一动点D，过点D作DE⊥BC交抛物线于点E，过点E作y轴的平行线交BC于点F．求EF﹣DE的最大值，以及此时点E的坐标；
【解答】解：（1）对y＝x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，﹣3）代入得，﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点B（3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∵EF∥y，
∴∠EFD＝∠OCB＝45°，
∵ED⊥BC，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝EF，
∴EF﹣＝EF﹣×EF＝EF，
∴当EF取最大时，EF﹣DE取得最大值，
设点E的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则点F的坐标为（x，x﹣3），
∴EF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）+，
∴x＝时，EF的最大值为，
∴EF﹣DE的最大值为×＝，点E的坐标为（，﹣）；

考点四 线段之比的最大值
17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，4），顶点为点G，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接AP交BC于点M．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标；
（2）当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；

【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，
得，
∴，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+4，
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣2）2+，
∴顶点G的坐标为（2，）；

（2）过点A作x轴的垂线交直线BC于点F，过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，

∴AF∥PE，
∴△PEM∽△AFM，
∴，
∵B（6，0），C（0，4），
设直线BC的解析为y＝kx+4，
∴6k+4＝0，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），
∴PE＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+2t，
∵A（﹣2，0），
x＝﹣2时，y＝﹣x+4＝，
∴F（﹣2，），
∴AF＝，
∴＝，
∴当PE取得最大值时，取得最大值，
∵PE＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣3）2+3，
∴当t＝3时，PE有最大值3，
∴＝＝，
∴的最大值，此时P（3，5）；

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点E，当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；

【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4．
（2）如图1，作PG⊥x轴于点G，交BC与点F，
抛物线y＝x2﹣x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的函数表达式为y＝kx﹣4，则4k﹣4＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，
设P（x，x2﹣x﹣4），则F（x，x﹣4），
∴PF＝x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x，
∵PF∥OC，
∴△PEF∽△OEC，
∴＝＝（﹣x2+2x）＝﹣（x﹣2）2+，
∴当x＝2时，的值最大，最大值为，此时P（2，﹣4），
∴点P的坐标为（2，﹣4），的最大值为．