中考数学压轴题满分突破训练 专题06 二次函数-周长最大值问题

这是一份中考数学压轴题满分突破训练 专题06 二次函数-周长最大值问题，文件包含专题06二次函数-周长最大值问题解析版docx、专题06二次函数-周长最大值问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。

中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。

第六讲 二次函数--周长最大值问题
目录
必备知识点 1
考点一 三角形周长的最大值 1
考点二 四边形周长的最大值 12

知识导航


必备知识点


考点一 三角形周长的最大值

1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣3，点N（﹣4，﹣5）在该抛物线上．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）连接CN，点P是直线CN下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线CN于点H，在射线CH上有一点G使得PH＝PG．当△PGH周长取得最大值时，求点P的坐标和△PGH周长的最大值；

【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+6x+3；
（2）如图1，过点P作PK⊥CN于点K，设直线CN交x轴于点M，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线CN的解析式为y＝kx+n，把C（0，3）、N（﹣4，﹣5）代入得：
，
解得：，
∴直线CN的解析式为y＝2x+3，
令y＝0，得2x+3＝0，
解得：x＝﹣，
∴M（﹣，0），
∴OM＝，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
在Rt△CMO中，CM＝＝＝，
设P（t，t2+6t+3），则H（t，2t+3），
∴PH＝（2t+3）﹣（t2+6t+3）＝﹣t2﹣4t，
∴PG＝﹣t2﹣4t，
∵PH＝PG，PK⊥HG，
∴HG＝2HK，
∵PK⊥CN，
∴∠PKH＝∠MOC＝90°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHK＝∠MCO，
∴△PHK∽△MCO，
∴＝，即＝
∴HK＝（﹣t2﹣4t），
∴HG＝（﹣t2﹣4t），
∴△PGH周长＝PH+PG+HG＝（﹣t2﹣4t）+（﹣t2﹣4t）+（﹣t2﹣4t）＝﹣（t2+4t）＝﹣（t+2）2+，
∵﹣＜0，﹣4＜t＜0，
∴当t＝﹣2时，△PGH周长取得最大值，此时点P的坐标为（﹣2，﹣5）；

2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x+4的交点分别位于x轴、y轴上的A、B两点，与x轴的另一交点为C（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，过点P作PR⊥x轴交AB于点R．求△PQR周长最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）由题意可知，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（3，0），B（0，4），
将A（3，0），B（0，4），C（﹣2，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．
（2）由（1）知OC＝2，OB＝4，OA＝3，
如图，过点Q作QM⊥PR于点M，

∴∠BOC＝∠QMP＝90°，
∵BC∥PQ，PR∥y轴，
∴∠OBC＝∠QPR，
∴△OBC∽△MPQ，
∴OC：OB＝MQ：PM＝2：4；
∵PR∥y轴，
∴∠OBA＝∠QRP，
∴△OBA∽△MRQ，
∴OB：OA＝MR：QM＝4：3，
设QM＝3m，则PM＝2QM＝6m，RM＝4m，
∴QR＝5m，QP＝3m，PR＝10m，
∴△PQR的周长为PQ+QR+PR＝15m+3m＝（15+3）m＝PR，
若求△PQR的周长的最大值，求出PR的最大值即可；
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+t+4），R（t，﹣t+4），
∴PR＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，PR的最大值为，
此时P（，），△PQR周长的最大值为×＝．
3．如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；
【解答】解：（1）把A（﹣4，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）由y＝﹣x2﹣x+2可得C（0，2），
设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣4，0）代入得：
﹣4k+2＝0，
解得k＝，
∴直线AC解析式为y＝x+2，
设M（x，﹣x2﹣x+2），则N（x，x+2），
∴MN＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，
∵MQ∥x轴，MN∥y轴，
∴∠MQN＝∠CAO，∠NMQ＝∠AOC＝90°，
∴△QMN∽△AOC，
∴＝＝，即＝＝，
∴MQ＝2MN，NQ＝MN，
∴△MNQ周长MN+MQ+NQ＝MN+2MN+MN＝（3+）MN＝（3+）×（﹣x2﹣2x）＝﹣（x+2）2+6+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣2时，△MNQ周长最大值为6+2；
4．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，已知抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，过点B作BD∥AC，交抛物线于点D，点P是抛物线上位于直线AC下方的一个动点，过点P作PN∥y轴，交BD于点N，点M是直线BD上异于点N的一点，且PN＝PM，连接PM，求△PNM的周长最大值以及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线顶点D（﹣1，﹣）．
∴设抛物线为：y＝ax2+x+c＝a（x+1）2﹣＝ax2+2ax+a﹣．
∴2a＝，c＝a﹣．
∴a＝，c＝﹣2．
∴抛物线为：y＝（x+1）2﹣＝x2+x﹣2；

（2）当y＝0时，x2+x﹣2＝0．
解得x＝﹣4或x＝2．
∴A（﹣4，0），B（2，0）．
当x＝0时，y＝﹣2．
∴C（0，﹣2）．
设直线AC的解析式y＝kx﹣2，
代入A（﹣4，0）得，0＝﹣4k﹣2．
解得k＝﹣，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵BD∥AC，
设BD的解析式y＝﹣x+b，
代入B（2，0）得，0＝﹣1+b．
解得b＝1，
∴直线BD的解析式y＝﹣x+1，
∴T（0，1），
过点P作PH⊥MN于H，

∴∠NPH+∠PNM＝90°，
∵∠ABN+∠PNM＝90°，
∴∠NPH＝∠ABN，
∴sin∠NPH＝sin∠ABN，
∴，
∴PN＝NH，
NH＝PN，
∵PN＝PM，PH⊥MN，
∴MN＝2NH，
∴△PNM的周长＝PN+PM+MN＝2PN+PN＝PN，
设P（x，x2+x﹣2），则N（x，﹣x+1），
∴PN＝﹣x+1﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+2）2+4，
∴当x＝﹣2时，PN的值最大值为4，
∴△PNM的周长最大值为PN＝，
此时点P的坐标为（﹣2，﹣2）；
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且∠OBC＝30°．OB＝3OA．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一动点，P点横坐标为m，过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，写出线段PF的长度l关于m的函数关系式；
（3）过点P作PD⊥BC于点D，当△PDF的周长最大时，求出△PDF周长的最大值及此时点P的坐标．

【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+3的表达式知：C（0，3），
∴OC＝3，
∵∠OBC＝30°，
∴OB＝＝3，
∴B（3，0），
又OB＝3OA，即3＝3OA，
∴OA＝，
∴A（﹣，0），
将A（﹣，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，
解得：，
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）延长PF交x轴于点E，如图：

设直线BC表达式为y＝sx+t，将B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得，
∴直线BC的表达式为y＝x+3，
设点P（m，），则点F（m，m+3），
∴PF＝l＝
＝m﹣3
＝；
（3）∵∠OBC＝30°，
∴∠BFE＝60°＝∠PFD，
∵PD⊥BC，
∴∠P＝30°，
在Rt△PDF中，PD＝cos30°⋅PF＝PF，DF＝sin30°⋅PF＝PF，
∴△PDF的周长＝PD+PF+DF＝（+1+）PF＝PF，
∴PF最大时，△PDF的周长最大，
而由（2）知：PF＝l＝＝﹣（x﹣）2+，
∴当m＝时，l最大＝，即PF最大为，
此时，△PDF的周长＝，
∴点P的坐标为（，），△PDF的周长最大值为．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A、B（点A在点B的左侧），其中OA＝1，tan∠ABC＝．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交BC于Q，PH∥x轴交BC于H，求△PQH周长最大值及此时点P的坐标；

【解答】解：（1）由题意得：C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴，
∴OB＝4，
∴B（4，0），A（﹣1，0），
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣3），
∴直线AB的关系式为：y＝﹣3，BC＝5，AB＝5，AC＝，
设点P（a，﹣），
由＝﹣a﹣3得，
x＝a2﹣3a，
∴H点的横坐标为：a2﹣3a，
∴PH＝a﹣（a2﹣3a）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣2）2+4，
∴当a＝2时，PH最大＝4，
当a＝2时，﹣﹣3＝﹣，
∴P（2，），
设△PQH的周长记作l1，△ABC周长记作l，
∵PQ∥AC，PH∥AB，
∴∠PQH＝∠ACB，∠QHP＝∠ABC，
∴△PQH∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴l1最大＝；

考点二 四边形周长的最大值
7．如图，已知直线BC的解析式为y＝x﹣3，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜2．分别过点M，N作x轴的垂线，交线段BC于点D、E．通过计算证明四边形MDEN是平行四边形，并求其周长的最大值；

【解答】解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，
令y＝0，则x＝4，即点B是（4，0）
令x＝0，则y＝﹣3，即点C是（0，﹣3）．
把点B（4，0），点C（0，﹣3）．
代入到抛物线y＝x2+bx+c中．得．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3
（2）∵若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，
∴y1＝m2−m−3，y2＝（4﹣m）2−（4﹣m）−3．
∵直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，
∴D（m，m−3），E（4﹣m，﹣m）．
∴MD＝﹣（m2﹣m﹣3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+4m，
∴EN＝﹣（4﹣m）2+4（4﹣m）＝﹣m2+4m．
∴MD＝EN．
∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，
∴MD∥EN．
∴四边形MDEN为平行四边形．
过D作DF⊥NE于F，则DF＝4﹣2m，如图，

∵B（4，0），C（0，﹣3）．
∴OB＝4，OC＝3．
∴BC＝5．
∵DF∥OB．
∴∠EDF＝∠OBC．
∵∠COB＝∠DFE＝90°，
∴△DFE∽△BOC．
∴＝．
∴＝．
∴DE＝（2﹣m）．
∴平行四边形MDEN的周长＝2MD+2DE＝2（﹣m2+4m）+2×（2﹣m）＝﹣2m2+3m+10．
∵﹣2m2+3m+10＝﹣2（m−）2+，
又﹣2＜0，
∴当m＝时，四边形MDEN的周长有最大值 ．
8．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段OA上有一动点P（不与O、A重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，交抛物线于点M．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点N为线段AB下方抛物线上一动点，点D是线段AB上一动点；
①若四边形CMND是平行四边形，证明：点M、N横坐标之和为定值；
②在点P、N、D运动过程中，平行四边形CMND的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D的坐标，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3；
（2）①如图，过点 D作DF⊥PM于F，

∵四边形CMND是平行四边形，
∴CM∥DN，CD∥MN，
设MN解析式为y＝x﹣3﹣n，
联立方程组得：，
∴0＝x2﹣3x+n，
∴xM+xN＝﹣＝4；
②设点P（m，0），则点C（m，m﹣3），点M（m，m2﹣m﹣3），
∴AP＝4﹣m，MC＝（m﹣3）﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵xM+xN＝4，
∴点N的横坐标为4﹣m，
∴DF＝4﹣2m，
∵点A（4，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵PC∥OB，
∴∠DCF＝∠OBA，
∵cos∠DCF＝cos∠OBA＝＝，
∴DC＝（4﹣2m）＝5﹣，
∵平行四边形CMND的周长＝2×（CM+CD）＝2×（﹣m2+3m+5﹣）＝﹣m2+m+10＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，平行四边形CMND的周长有最小值，
∴点C（，﹣），
则D（，﹣）；
当M，N位置对调，C，D位置对调，也满足题意，
此时：点D（，﹣），C（，﹣）；
综上所述：点D（，﹣）或（，﹣）．
9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

【解答】方法一：
解：（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1，
设M点的横坐标为m，则PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴当m＝﹣2时矩形的周长最大．
∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y＝kx+b，
解得k＝1，b＝3，
∴解析式y＝x+3，当x＝﹣2时，则E（﹣2，1），
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝•AM•EM＝．
10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）直接写出点A的坐标和直线BC的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线第一象限上一点，∠DBA＝∠ACB，求点D的横坐标；
（3）如图2，点M是BC上方抛物线上的动点，过点M作MN∥BC交抛物线于另一点N，过点M作ME∥y轴交BC于点E，过点N作NF∥y轴交BC于点F，求四边形MEFN周长的最大值．

【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝4，
∴A（1，0），B（4，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3；
（2）∵A（1，0），B（4，0），C（0，﹣3），
∴AB＝3，BC＝5，
过点A作AH⊥BC交于点H，过点D作DG⊥x轴交于点G，
设D（t，﹣t2+t﹣3），
∵tan∠OBC＝，
∴＝，
∴AH＝，BH＝，
∴CH＝，
∴tan∠ACB＝＝，
∵∠DBA＝∠ACB，
∴＝＝，
解得t＝，
∴D点的横坐标为；
（3）∵BC的直线解析式为y＝x﹣3，
∵MN∥BC，
设MN的直线解析式为y＝x+h，
设N（n，﹣n2+n﹣3），则F（n，n﹣3），
∴NF＝﹣n2+3n，
联立方程组，
整理得3x2﹣12x+12+4b＝0，
∴xN+xM＝4，
∴xM＝4﹣n，
∴M（4﹣n，﹣n2+n），
∴MN＝|n﹣2|，
∵四边形MEFN是平行四边形，
∴四边形MEFN周长＝2MN+2NF＝2（MN+NF）＝2（|n﹣2|﹣n2+3n），
当n≥2时，四边形MEFN周长＝2（﹣n2+n﹣5）＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，四边形MEFN周长的最大值为；
当0＜n＜2时，四边形MEFN周长＝2（﹣n2+n+5）＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，四边形MEFN周长的最大值为；
综上所述：四边形MEFN周长的最大值为．

11．如图，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，将该抛物线沿直线l：y＝m（0≤m＜）折叠后得到抛物线C2，折痕与抛物线C1，交于点G，H两点．
（1）求抛物线C1的函数袤达式；
（2）如图2，当m＝0时，动点M，N在抛物线C1上，且位于直线l上方（点M在点N的左侧），过M，N分别作y轴的平行线交抛物线C2于点P，Q两点，当四边形MNPQ为矩形时，求该矩形周长的最大值；

【解答】解：（1）将A（1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得，
解得，
∴y＝﹣x2+x﹣2．
（2）当m＝0时，C2图象是C1图象沿x轴翻折，
∴C2解析式为y＝x2﹣x+2，
∵A（1，0），B（4，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
设点M坐标为（t，﹣t2+t﹣2），
则点P坐标为（t，t2﹣t+2），点Q坐标为（5﹣t），
∴MP＝﹣t2+t﹣2﹣（t2﹣t+2）＝﹣t2+5t﹣4，QP＝5﹣t﹣t＝5﹣2t，
∴矩形周长为2（MP+QP）＝2（﹣t2+5t﹣4+5﹣2t）＝2（﹣t2+3t+1）＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，矩形最大周长为．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（2，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），抛物线的对称轴与x轴交于点G，点E（x，y）在抛物线上．当﹣3＜x＜﹣1时，过点E作EF∥x轴，交对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EFGH周长的最大值；
【解答】解：把（﹣3，0），（2，0），（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得：，
解得，
∴；
（2）对称轴为x＝，
∴，
∵﹣3＜x＜﹣1，
∴E在GF左侧，
∴，
令，
解得：x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0）B（2，0），
∴E在x轴的下方，
∴，
∴四边形EFGH周长＝
＝﹣x2﹣3x+5
＝，
∴当时，周长最大，最大值为；