专题02 导数在研究函数中的应用（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）

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专题02 导数在研究函数中的应用



知识点1函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减

知识点2利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
知识点3函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
知识点4函数极值的定义
（1）极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点5函数极值的求法与步骤
（1）求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
（2）求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
知识点6函数最值的定义

（1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
（2）对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
知识点7求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

考点1 函数图象与导函数图象的关系

【例1】如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）

A． B．
C． D．

【解后感悟】(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
【变式1-1】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（    ）

A．在上单调递增
B．曲线在处的切线斜率取得最大值
C．在处取得极小值
D．在处取得最大值

【变式1-2】已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（    ）

A．B．C． D．

【变式1-3】设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（    ）

A． B．C． D．

考点2 利用导数求函数的单调区间

【例2】7．写出函数的严格增区间：____________．

【解后感悟】求函数y＝f(x)的单调区间常用解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．
【变式2-1】函数的单调递减区间是（    ）
A． B． C． D．

【变式2-2】已知函数，函数的单调递减区间为（    ）．
A． B． C． D．

【变式2-3】已知函数，则函数的单调递增区间是_____________．

.
考点3 由单调性利用导数求参数的取值范围

【例3】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

【解后感悟】(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养．
【变式3-1】函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

【变式3-2】已知函数的单调递减区间为，则（    ）.
A． B．
C． D．

【变式3-3】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．

考点4 求函数的极值

【例4】已知函数，则的极小值为（    ）
A．2 B． C． D．

【解后感悟】函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
【变式4-1】已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（    ）
A． B．
C．在处取得极小值 D．无极大值

【变式4-2】已知函数，则的极大值为________________

【变式4-3】函数的极大值为___________.


考点5 由极值求参数的值或取值范围

【例5】1．已知函数和有相同的极大值，则（    ）
A．0 B．2 C． D．

【解后感悟】已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
【变式5-1】已知函数有极值，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

【变式5-2】已知函数在上有3个极值点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

【变式5-3】已知函数在上无极值点，则实数的取值范围是_________．


考点6 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题

【例6】已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．

【解后感悟】　(1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．
【变式6-1】已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．有两个零点 B．点是曲线的对称中心
C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线

【变式6-2】已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ）
A． B． C． D．

【变式6-3】已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．


考点7 不含参函数的最值问题

【例7】（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．

【解后感悟】求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
(4)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
【变式7-1】（2023·高二校考课时练习）函数在区间上的最大值是（    ）
A．0 B． C． D．

【变式7-2】（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2

【变式7-3】（2023春·新疆喀什·高二校考阶段练习）函数在区间上的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．


考点8 含参函数的最值问题

【例8】（2023·河北张家口·高二张家口市第一中学校考期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求在区间上的最小值．

【解后感悟】含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
【变式8-1】（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值．

【变式8-2】（2023·陕西咸阳·统考二模）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在的最小值.


考点9 由函数的最值求参数问题

【例9】（2023·高二校考课时练习）已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（    ）
A． B． C． D．

【解后感悟】已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题
【变式9-1】（2022春·湖北襄阳·高二校考阶段练习）若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是___________.

【变式9-2】（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.

【变式9-3】（2023·高二校考课时练习）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是____________．


考点10 不等式恒成立问题

【例10】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数 ， 若对任意恒成立， 则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

【解后感悟】分离参数求解不等式恒成立问题的步骤

【变式10-1】（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式对任意都成立，则实数的最大值为（    ）
A． B． C． D．-1

【变式10-2】（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知，均为正实数，不等式恒成立，则的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．

【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．


考点11 导数在实际问题中的应用

【例11】3．（2023·云南昆明·统考一模）某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（    ）
A． B．8 C． D．9

【解后感悟】利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
【变式11-1】（2023春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）把一个周长为的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高为（    ）
A．1 B． C．2 D．

【变式11-2】（2023·全国·模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为的圆形纸片上剪出一个扇形，制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（    ）
A． B． C． D．

【变式11-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）如图，一块边长为的正三角形铁片上有三块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器，则容器的容积最大为（    ）

A． B． C． D．



1．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）下列关于函数的说法正确的是（    ）
A．增函数 B．减函数
C．在上单增，在上单减 D．在上单减，在上单增

2．（2023·高二单元测试）已知函数，则下列选项正确的是（    ）
A． B．
C． D．

3．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

4．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

5．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递增
C．为的极小值点
D．为的极大值点

6．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）已知，下列说法正确的是（    ）
A．无零点 B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．的极小值点为

7．（2023春·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）已知在处取得极小值，则的值为（   ）
A．2 B． C． D．

8．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（    ）
A． B． C． D．

9．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）已知函数，则的极值点个数为（    ）
A．由参数确定 B．0 C．1 D．2

10．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，）

11．（2023春·广西梧州·高二校考阶段练习）已知函数，下列说法中正确的有（    ）
A．函数的极大值为，极小值为
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调增区间为
D．曲线在点处的切线方程为

12．（2023·高二校考课时练习）若函数，则（    ）
A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值
C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值

13．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（    ）
A． B．
C．在处取得极小值 D．无极大值

14．（2023春·福建泉州·高二泉州五中校考期中）是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ）
A． B．
C． D．

15．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（   ）
A． B．
C． D．

16．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是___________.


17．（2023春·河南·高二校联考期末）若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为______．

18．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是___________．

19．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）在上的最大值是________.

20．（2023·甘肃定西·高三校考期末）若是函数的极值点，则______.

21．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数.
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)讨论函数的单调性.

22．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知曲线．
(1)求曲线的单调区间和极值；
(2)求曲线在上的最值．

23．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的值．

24．（2023·陕西渭南·统考三模）已知函数．
(1)求在上的单调区间；
(2)设，试判断在上的零点个数，并说明理由．

25．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，e是自然对数的底数，为实数．
(1)若函数的图象在处的切线方程过点，求实数a的值．
(2)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围．