资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩10页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 专题03 排列与组合（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019） 试卷 2 次下载
- 专题04 二项式定理-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019） 试卷 2 次下载
- 专题06 离散型随机变量的期望与方差（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019） 试卷 2 次下载
- 高二下学期期中数学考试模拟卷01-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019） 试卷 5 次下载
- 高二下学期期中数学考试模拟卷02-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019） 试卷 3 次下载
专题05 条件概率（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）
展开
这是一份专题05 条件概率（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019），文件包含专题05条件概率解析版docx、专题05条件概率原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
专题05 条件概率
知识点1 条件概率的概念
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
【思考】P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？
【答案】P(A|B)＝，其中P(B)>0.
知识点2 概率乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．
知识点3 条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
知识点4 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称该公式为全概率公式．
知识点5 贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有，i＝1,2，…，n
【思考】怎样应用全概率公式和贝叶斯公式？
【答案】如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概率公式，如果所求概率为条件概率P(A|B)，而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式．
【思考】贝叶斯公式的几何意义是什么？
【答案】如图所示，B是由A和两个原因引起的结果，P(A|B)表示原因A在结果B中的比重．
知识点6 求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
知识点7 利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
考点1 利用定义求条件概率
【例1】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.
根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝.
(3)方法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，
第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝.
方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
【解后感悟】利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
【变式1-1】某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.
【变式1-2】设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．
【答案】0.5
【解析】设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，
又P(AB)＝P(B)，
所以P(B|A)＝＝＝0.5.
【变式1-3】从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．
【解析】设A＝“抽到的两张都是假钞”，B＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P(A|B)．
∵P(AB)＝P(A)＝，P(B)＝，
∴P(A|B)＝＝＝＝.
考点2 缩小样本空间求条件概率
【例2】集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
【解析】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
【思维变式】1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
【解析】在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
【解析】甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
【解后感悟】利用缩小样本空间法求条件概率的方法
(1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.
(2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件．
(3)算：利用P(B|A)＝求得结果．
【变式2-1】将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数互不相同”，B＝“出现一个5点”，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝＝.
【变式2-2】袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________，两次都取到白球的概率是________．
【答案】
【解析】第一次取到白球，则还剩下4个小球，2个白球，2个黑球，故第二次取到白球的概率P＝＝，两次都取到白球的概率P＝＝.
【变式2-3】抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
【解析】n(A)＝6×2＝12.
由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10，
其中n(AB)＝6.
所以(1)P(B|A)＝＝＝.
(2)P(A|B)＝＝＝.
考点3 概率的乘法公式
【例3】已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．
【解析】设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.
即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
【解后感悟】概率的乘法公式
(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．
(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.
【变式3-1】已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( )
A．75% B．96% C．72% D．78.125%
【答案】C
【解析】记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%.
记“任选一件产品是一级品”为事件B，由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．
由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%，
故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%.
【变式3-2】有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．
【答案】0.72
【解析】“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活才成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
【变式3-3】一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求：
(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
【解析】设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则＝“第一次取得黑球”，由题意得：
(1)P(A)＝＝0.6.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
(3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝.
考点4 条件概率的性质及应用
【例4】在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【解析】记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.
故获得优秀成绩的概率为.
【解后感悟】条件概率的性质及应用
(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
【变式4-1】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【答案】A
【解析】根据条件概率公式P(B|A)＝，得所求概率为＝0.8.
【变式4-2】有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
【答案】
【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C且B与C互斥．
又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
【变式4-3】设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数．
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
【解析】(1)方程有实根，Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，
又b，c∈{1,2,3,4,5,6}，
∴当b＝2时，c＝1，
当b＝3时，c＝1,2，
当b＝4时，c＝1,2,3,4，
当b＝5时，c＝1,2,3,4,5,6，
当b＝6时，c＝1,2,3,4,5,6，
共19种情况．
故所求的概率为＝.
(2)把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，满足b2≥4c的有序数对记为(b，c)，
则事件A包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，
事件AB包含的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种，
故所求的概率为.
考点5 两个事件的全概率问题
【例5】（2023·河北张家口·高二张家口市第一中学校考期中）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
【解析】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝.
【解后感悟】两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
【变式5-1】（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（ ）(设男子和女子的人数相等)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，
则,
可得.
故选：B.
【变式5-2】某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
【答案】
【解析】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
【变式5-3】某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．
【解析】记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝.
(2)P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
考点6 多个事件的全概率问题
【例6】（2023·菏泽高三模拟）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂的产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中任取一件．
(1)求取到的是次品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．
【解题指导】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
（2）利用条件概率公式和相互独立事件的概率乘法公式即可求解．
【解析】（1）设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件A，
则P（A）＝0.04×0.45＋0.02×0.35＋0.05×0.2＝0.035．
（2）设B表示所取到的产品是由甲机器厂生产的，
且P（B）＝0.45，
∴抽到的是次品，它是由甲机器生产的概率为：
P（B|A）＝.
【解后感悟】化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
【变式6-1】在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（ ）
A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.15
【答案】B
【解析】设事件为“此人是流感患者”，事件分别表示此人来自三个地区，
由已知可得，
，
由全概率公式得
故选：B
【变式6-2】设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______.
【答案】5%
【解析】令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，
由全概率公式得：
，
而，故.
故答案为：5%.
【变式6-3】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
考点7 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用
【例7】某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的．根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
Ⅰ
0.02
0.15
Ⅱ
0.01
0.80
Ⅲ
0.03
0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．
(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少．试求这些概率．
【解析】设A表示取到的是一只次品，Bi(i＝1,2,3)表示所取到的产品是由第i家工厂提供的．
本题的概率树形图如下：
易知，B1，B2，B3是样本空间Ω的一个划分，且有
P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05，
P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.03.
(1)由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5.
(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝＝＝0.24.
同理可得P(B2|A)＝0.64，P(B3|A)＝0.12.以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大．
【解后感悟】条概率树在全概率公式和贝叶斯公式中的应用
对于复杂问题，运用概率树图解法比较方便．先根据题意，画出图形，在图形中用相应的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据图形，找到全概率公式和贝叶斯公式中的量，代入公式求解．
【变式7-1】（2022山师大附中高二月考）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，，．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．
(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．
(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)
【答案】(1)0.083 (2)0.287
【解析】(1)设A＝{取得一个产品是次品}，B1＝{取得一箱是甲厂的}，B2＝{取得一箱是乙厂的}，B3＝{取得一箱是丙厂的}．
三个厂的次品率分别为，，，
∴P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝．
12箱产品中，甲占，乙占，丙占，
由全概率公式得P(A)＝P(A|Bk)P(Bk)＝×＋×＋×≈0.083．
(2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时用贝叶斯公式：
P(B2|A)＝≈≈0.287．
【变式7-2】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
【变式7-3】设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
【解析】设A表示枪已校正，B表示射击中靶．
则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0.9，
P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.4，P(|)＝0.6．
(1)由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)
＝×0.9＋×0.4＝0.7．
(2)由贝叶斯公式可得P(|)＝＝＝0.8
1．（2023春·重庆·高二校联考期中）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
所以,
所以，
故选：C
2．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）从分别标有的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件为第1张为偶数，事件为第2张为偶数，
则，，故.
故选：A
3．（2023春·北京·高二校考阶段练习）小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，则，，
因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是.
故选：B.
4．（2023春·陕西西安·高二校考期中）老师布置了两个数学题，学生做对第一题的概率是，做对第二题的概率是，两道题都做对的概率是，现在抽查一个学生，该生第一题做对了，则该生第二题也做对的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设做对第一题为事件，做对第二题为事件，
由条件可知，，，，
则.
故选：C
5．（2023·江苏·统考一模）“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，,
所以.
故选：D.
6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，有种结果，
其中抽得“引体向上，仰卧起坐”这两项的概率为，5位男生都抽到这两项概率为，
同理， 5位男生都抽到“引体向上，立定跳远”
这两项和5位男生都抽到“仰卧起坐，立定跳远” 这两项的概率都是，
所以5位男生测试项目恰好相同的概率为.
故选：B.
7．（2023·全国·高二专题练习）已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以
.
故选:B.
8．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件为 “取出甲袋”,事件为 “取出红球”, 分两种情况进行讨论.
若取出的是甲袋, 则, 依题意可得 ,
所以 ，
若取出的是乙袋, 则, 依题意可得 , ，
所以，
综上所述, 摸出的球是红球的概率为.
故选：B.
9．（2023春·高二课时练习）某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人．现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.58 B．0.60 C．0.62 D．0.64
【答案】C
【解析】记事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”．由题意知，，，，，，，由全概率公式得，．即任选一名运动员能够晋级的概率为0.62．
故选：C．
10．（2023春·高二课时练习）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64
【答案】C
【解析】设事件表示“乙球员担当前锋”，事件表示“乙球员担当中锋”，事件表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则，
所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为．
故选：C．
11．（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件 B．事件A与事件C是独立事件
C． D．
【答案】CD
【解析】当从甲中取出白球时，乙中取出的可能是红球，也可能是白球，所以选项A错误；
因为甲盒中有3个红球，2个互斥白球，所以，，
若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，
若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，
所以，，，
因为，所以事件A与事件C不是独立事件，
故选项B错误；选项C正确；
因为，故选项D正确.
故选：CD
12．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意，，所以，所以，则A，D错误；
，则B错误；
，则C正确.
故选：ABD.
13．（2023春·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A．事件与相互独立； B．；
C．； D．，，是两两互斥的事件
【答案】BCD
【解析】由题意，
，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．
显然，，，是两两互斥的事件，D正确
且，，
而，A错误，
，，
所以，B正确；
，C正确；
故选：BCD.
14．（2023春·高二课时练习）假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（ ）
A． B．
B． C． D．
【答案】AC
【解析】由题中表格可知,
故,A正确；
，B错误；
,
故C正确；
，D错误，
故选：
15．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件（）相互独立
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】，，
先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，
先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，
先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，，
，B对，
，
，
，C错，
，A错，
，D对．
故选:BD.
16．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知随机事件，有概率，，条件概率，则_____.
【答案】##
【解析】，
于是有，
即，
故答案为：
17．（2023·北京丰台·统考一模）从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则________．
【答案】##
【解析】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法，
其中满足两数之积为正数的有种取法，
满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，
所以，，
所以.
故答案为：
18．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球，甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为________.
【答案】
【解析】由题意，甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球，
共有种情况，其中甲先摸到1个红球，
乙再从剩下的3个红球中摸1个球，共有种情况，
所以在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为.
故答案为：
19．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________．
【答案】
【解析】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应
）则,且两两互斥.
由题意可得：,
20．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）现有n（，）个相同的袋子，每个袋子里面均装有n个除颜色外无其他区别的小球，第k（）个袋中有k个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并从中随机取出一个球，若取出白球的概率是，则___________.
【答案】8
【解析】因为有n个相同的袋子，所以抽到任何一个袋子的概率为，
在第1个袋子中，有1个红球，个白球，取出白球的概率为，
在第2个袋子中，有2个红球，个白球，取出白球的概率为，
在第3个袋子中，有3个红球，个白球，取出白球的概率为，
，
在第个袋子中，有个红球，1个白球，取出白球的概率为，
在第个袋子中，有个红球，0个白球，取出白球的概率为，
所以任取一个袋子，取出白球的概率为：
，
解得.
故答案为：8
专题05 条件概率
知识点1 条件概率的概念
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
【思考】P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？
【答案】P(A|B)＝，其中P(B)>0.
知识点2 概率乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．
知识点3 条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
知识点4 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称该公式为全概率公式．
知识点5 贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有，i＝1,2，…，n
【思考】怎样应用全概率公式和贝叶斯公式？
【答案】如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概率公式，如果所求概率为条件概率P(A|B)，而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式．
【思考】贝叶斯公式的几何意义是什么？
【答案】如图所示，B是由A和两个原因引起的结果，P(A|B)表示原因A在结果B中的比重．
知识点6 求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
知识点7 利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
考点1 利用定义求条件概率
【例1】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.
根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝.
(3)方法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，
第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝.
方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
【解后感悟】利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
【变式1-1】某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.
【变式1-2】设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．
【答案】0.5
【解析】设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，
又P(AB)＝P(B)，
所以P(B|A)＝＝＝0.5.
【变式1-3】从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．
【解析】设A＝“抽到的两张都是假钞”，B＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P(A|B)．
∵P(AB)＝P(A)＝，P(B)＝，
∴P(A|B)＝＝＝＝.
考点2 缩小样本空间求条件概率
【例2】集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
【解析】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
【思维变式】1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
【解析】在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
【解析】甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
【解后感悟】利用缩小样本空间法求条件概率的方法
(1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.
(2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件．
(3)算：利用P(B|A)＝求得结果．
【变式2-1】将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数互不相同”，B＝“出现一个5点”，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝＝.
【变式2-2】袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________，两次都取到白球的概率是________．
【答案】
【解析】第一次取到白球，则还剩下4个小球，2个白球，2个黑球，故第二次取到白球的概率P＝＝，两次都取到白球的概率P＝＝.
【变式2-3】抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
【解析】n(A)＝6×2＝12.
由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10，
其中n(AB)＝6.
所以(1)P(B|A)＝＝＝.
(2)P(A|B)＝＝＝.
考点3 概率的乘法公式
【例3】已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．
【解析】设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.
即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
【解后感悟】概率的乘法公式
(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．
(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.
【变式3-1】已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( )
A．75% B．96% C．72% D．78.125%
【答案】C
【解析】记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－4%＝96%.
记“任选一件产品是一级品”为事件B，由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．
由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%，
故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%.
【变式3-2】有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．
【答案】0.72
【解析】“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活才成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
【变式3-3】一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求：
(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
【解析】设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则＝“第一次取得黑球”，由题意得：
(1)P(A)＝＝0.6.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
(3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝.
考点4 条件概率的性质及应用
【例4】在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【解析】记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.
故获得优秀成绩的概率为.
【解后感悟】条件概率的性质及应用
(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
【变式4-1】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【答案】A
【解析】根据条件概率公式P(B|A)＝，得所求概率为＝0.8.
【变式4-2】有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
【答案】
【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C且B与C互斥．
又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
【变式4-3】设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数．
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
【解析】(1)方程有实根，Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，
又b，c∈{1,2,3,4,5,6}，
∴当b＝2时，c＝1，
当b＝3时，c＝1,2，
当b＝4时，c＝1,2,3,4，
当b＝5时，c＝1,2,3,4,5,6，
当b＝6时，c＝1,2,3,4,5,6，
共19种情况．
故所求的概率为＝.
(2)把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，满足b2≥4c的有序数对记为(b，c)，
则事件A包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，
事件AB包含的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种，
故所求的概率为.
考点5 两个事件的全概率问题
【例5】（2023·河北张家口·高二张家口市第一中学校考期中）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
【解析】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝.
【解后感悟】两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
【变式5-1】（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（ ）(设男子和女子的人数相等)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设“男子”， “女子”， “这人有色盲”，
则,
可得.
故选：B.
【变式5-2】某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
【答案】
【解析】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
【变式5-3】某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．
【解析】记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝.
(2)P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
考点6 多个事件的全概率问题
【例6】（2023·菏泽高三模拟）设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂的产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中任取一件．
(1)求取到的是次品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．
【解题指导】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
（2）利用条件概率公式和相互独立事件的概率乘法公式即可求解．
【解析】（1）设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件A，
则P（A）＝0.04×0.45＋0.02×0.35＋0.05×0.2＝0.035．
（2）设B表示所取到的产品是由甲机器厂生产的，
且P（B）＝0.45，
∴抽到的是次品，它是由甲机器生产的概率为：
P（B|A）＝.
【解后感悟】化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
【变式6-1】在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（ ）
A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.15
【答案】B
【解析】设事件为“此人是流感患者”，事件分别表示此人来自三个地区，
由已知可得，
，
由全概率公式得
故选：B
【变式6-2】设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______.
【答案】5%
【解析】令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，
由全概率公式得：
，
而，故.
故答案为：5%.
【变式6-3】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
考点7 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用
【例7】某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的．根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
Ⅰ
0.02
0.15
Ⅱ
0.01
0.80
Ⅲ
0.03
0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．
(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少．试求这些概率．
【解析】设A表示取到的是一只次品，Bi(i＝1,2,3)表示所取到的产品是由第i家工厂提供的．
本题的概率树形图如下：
易知，B1，B2，B3是样本空间Ω的一个划分，且有
P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05，
P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.03.
(1)由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5.
(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝＝＝0.24.
同理可得P(B2|A)＝0.64，P(B3|A)＝0.12.以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大．
【解后感悟】条概率树在全概率公式和贝叶斯公式中的应用
对于复杂问题，运用概率树图解法比较方便．先根据题意，画出图形，在图形中用相应的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据图形，找到全概率公式和贝叶斯公式中的量，代入公式求解．
【变式7-1】（2022山师大附中高二月考）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，，．现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．
(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．
(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)
【答案】(1)0.083 (2)0.287
【解析】(1)设A＝{取得一个产品是次品}，B1＝{取得一箱是甲厂的}，B2＝{取得一箱是乙厂的}，B3＝{取得一箱是丙厂的}．
三个厂的次品率分别为，，，
∴P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝．
12箱产品中，甲占，乙占，丙占，
由全概率公式得P(A)＝P(A|Bk)P(Bk)＝×＋×＋×≈0.083．
(2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时用贝叶斯公式：
P(B2|A)＝≈≈0.287．
【变式7-2】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
【变式7-3】设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
【解析】设A表示枪已校正，B表示射击中靶．
则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0.9，
P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.4，P(|)＝0.6．
(1)由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)
＝×0.9＋×0.4＝0.7．
(2)由贝叶斯公式可得P(|)＝＝＝0.8
1．（2023春·重庆·高二校联考期中）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
所以,
所以，
故选：C
2．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）从分别标有的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件为第1张为偶数，事件为第2张为偶数，
则，，故.
故选：A
3．（2023春·北京·高二校考阶段练习）小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，则，，
因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是.
故选：B.
4．（2023春·陕西西安·高二校考期中）老师布置了两个数学题，学生做对第一题的概率是，做对第二题的概率是，两道题都做对的概率是，现在抽查一个学生，该生第一题做对了，则该生第二题也做对的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设做对第一题为事件，做对第二题为事件，
由条件可知，，，，
则.
故选：C
5．（2023·江苏·统考一模）“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，,
所以.
故选：D.
6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，有种结果，
其中抽得“引体向上，仰卧起坐”这两项的概率为，5位男生都抽到这两项概率为，
同理， 5位男生都抽到“引体向上，立定跳远”
这两项和5位男生都抽到“仰卧起坐，立定跳远” 这两项的概率都是，
所以5位男生测试项目恰好相同的概率为.
故选：B.
7．（2023·全国·高二专题练习）已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以
.
故选:B.
8．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件为 “取出甲袋”,事件为 “取出红球”, 分两种情况进行讨论.
若取出的是甲袋, 则, 依题意可得 ,
所以 ，
若取出的是乙袋, 则, 依题意可得 , ，
所以，
综上所述, 摸出的球是红球的概率为.
故选：B.
9．（2023春·高二课时练习）某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人．现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.58 B．0.60 C．0.62 D．0.64
【答案】C
【解析】记事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”．由题意知，，，，，，，由全概率公式得，．即任选一名运动员能够晋级的概率为0.62．
故选：C．
10．（2023春·高二课时练习）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64
【答案】C
【解析】设事件表示“乙球员担当前锋”，事件表示“乙球员担当中锋”，事件表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则，
所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为．
故选：C．
11．（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中学校考期中）甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件 B．事件A与事件C是独立事件
C． D．
【答案】CD
【解析】当从甲中取出白球时，乙中取出的可能是红球，也可能是白球，所以选项A错误；
因为甲盒中有3个红球，2个互斥白球，所以，，
若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，
若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，
所以，，，
因为，所以事件A与事件C不是独立事件，
故选项B错误；选项C正确；
因为，故选项D正确.
故选：CD
12．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意，，所以，所以，则A，D错误；
，则B错误；
，则C正确.
故选：ABD.
13．（2023春·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A．事件与相互独立； B．；
C．； D．，，是两两互斥的事件
【答案】BCD
【解析】由题意，
，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．
显然，，，是两两互斥的事件，D正确
且，，
而，A错误，
，，
所以，B正确；
，C正确；
故选：BCD.
14．（2023春·高二课时练习）假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（ ）
A． B．
B． C． D．
【答案】AC
【解析】由题中表格可知,
故,A正确；
，B错误；
,
故C正确；
，D错误，
故选：
15．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件（）相互独立
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】，，
先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，
先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，
先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，，
，B对，
，
，
，C错，
，A错，
，D对．
故选:BD.
16．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知随机事件，有概率，，条件概率，则_____.
【答案】##
【解析】，
于是有，
即，
故答案为：
17．（2023·北京丰台·统考一模）从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则________．
【答案】##
【解析】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法，
其中满足两数之积为正数的有种取法，
满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，
所以，，
所以.
故答案为：
18．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球，甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为________.
【答案】
【解析】由题意，甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球，
共有种情况，其中甲先摸到1个红球，
乙再从剩下的3个红球中摸1个球，共有种情况，
所以在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为.
故答案为：
19．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________．
【答案】
【解析】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应
）则,且两两互斥.
由题意可得：,
20．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）现有n（，）个相同的袋子，每个袋子里面均装有n个除颜色外无其他区别的小球，第k（）个袋中有k个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并从中随机取出一个球，若取出白球的概率是，则___________.
【答案】8
【解析】因为有n个相同的袋子，所以抽到任何一个袋子的概率为，
在第1个袋子中，有1个红球，个白球，取出白球的概率为，
在第2个袋子中，有2个红球，个白球，取出白球的概率为，
在第3个袋子中，有3个红球，个白球，取出白球的概率为，
，
在第个袋子中，有个红球，1个白球，取出白球的概率为，
在第个袋子中，有个红球，0个白球，取出白球的概率为，
所以任取一个袋子，取出白球的概率为：
，
解得.
故答案为：8
相关试卷
专题13 概率综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）： 这是一份专题13 概率综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册），文件包含专题13概率综合原卷版docx、专题13概率综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
专题12 统计综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）： 这是一份专题12 统计综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册），文件包含专题12统计综合原卷版docx、专题12统计综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
专题06 离散型随机变量的期望与方差（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）： 这是一份专题06 离散型随机变量的期望与方差（知识串讲 热考题型 专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019），文件包含专题06离散型随机变量的期望与方差解析版docx、专题06离散型随机变量的期望与方差原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
