高二下学期期中数学考试模拟卷02-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）

高二下学期期中数学考试模拟卷02

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2023秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知,

故选：B．

2．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）计算：（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

,

故选：C

3．（2023·全国·模拟预测）计划安排甲、乙两个课外兴趣小组到5处水质监测点进行水样采集，每个兴趣小组采集3处水样，每处水样至少有1个兴趣小组进行采集，则不同的安排方法共有（    ）

A．30种 B．32种 C．34种 D．36种

【答案】A

【解析】依题意，每个兴趣小组采集3处水样，

每处水样至少有1个兴趣小组进行采集，可分为两步．

第一步，甲组进行采样，有（种）方法；

第二步，乙组进行采样，有（种）方法．

所以共有（种）不同的安排方法．

故选：A．

4．（2023春·高二课时练习）设随机变量的概率分布列为：

则（    ）A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，，即事件的对立事件是的事件，

所以.

故选：C

5．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的系数为（    ）

A．85 B．5 C．-5 D．-85

【答案】A

【解析】的展开式的通项为，

则，，

从而的展开式中的系数为．

故选：A．

6．（2023春·浙江金华·高二校考阶段练习）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（     ）

A．的极大值为，极小值为

B．的极大值为，极小值为

C．的极大值为，极小值为

D．的极大值为，极小值为

【答案】D

【解析】当时，则，可得；

当时，则，可得；

当时，则，可得；

当时，则，可得；

故三次函数在上单调递增，在上单调递减，

可得的极大值为，极小值为.

故选：D.

7．（2023·福建莆田·统考二模）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（    ）

A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77

【答案】D

【解析】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，

记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥，

所以，

又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，

记事件为“选到绑带式口罩”，则

所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为.

故选：D.

8．（2023春·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知定义在上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】令函数，则，

，故函数是定义在上的增函数，

，即，故有；同理可得．

故选：B

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．

9．（2023秋·湖南衡阳·高二校考期末）下列求导正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【解析】对于，的导数为，故选项正确；

对于，的导数为，故选项正确；

对于，的导数为，故选项错误；

对于，的导数为，故选项正确，

故选：.

10．（2023届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．常数项是 B．各项的系数和是64

C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为

【答案】AC

【解析】二项式的展开式通项为.

令，可得，故常数项是，A正确；

各项的系数和是，B错误；

二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；

奇数项二项式系数和为，D错误.

故选：AC

11．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】随机变量服从两点分布，其中，，

，

，

在A中，，故A正确；

在B中，，故B正确；

在C中，，故C错误；

在D中，，故D错误．

故选：AB．

12．（2023春·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点

B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心

D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【解析】由得，令，则，，所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确，

令，则或，故在单调递增，在单调递减，故是极小值点，是极大值点，故A正确，

由于是的极小值点，且，故只有一个零点，故B错误，

设是的切点，令，解得故和，当切点为时，则切线方程为，当切点为时，切线方程为，故不是切线，故D错误，

故选：AC

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）若随机变量服从两点分布，且，则______．

【答案】0.21

【解析】随机变量服从两点分布，且，

，，

，

故答案为：0.21

14．（2023·全国·高二专题练习）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有________种不同的绿化方案（用数字作答）.

【答案】180

【解析】如图：

从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法，

B有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法；

由D区与B，C花卉颜色不一样，与A区花卉颜色可以同色也可以不同色，

则D有3种颜色花卉摆放方法.

故共有种涂色方法.

故答案为：180

15．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量（单位：套）与销售价格x（单位：元/套）近似满足关系式，其中，则当A系列木版画销售价格定为__________元/套时，月利润最大．

【答案】50

【解析】设A系列木版画的月利润为，则，，

可得，

令，则，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，利润取到极大值，也是最大值，

即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大．

故答案为：50.

16．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）已知数列，令为，，…，中的最大值，则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”.例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若由1，2，3，4，5任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为______.

【答案】50

【解析】当由1，5构成时，则，为的一个排列，

故满足条件的数列有个；

当由2，5构成时，则，为的一个排列，

或，为的一个排列，

故满足条件的数列有个；

当由3，5构成时，则，为的一个排列，

且数字4排在5的后面，

故满足条件的数列有个；

当由4，5构成时，则，为的一个排列，

故满足条件的数列有个.

由分类加法计数原理可得满足条件的数列共有50个.

故答案为：50.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）毕业典礼期间，国际班的7名师生站成一排拍照留念，其中老师1人，男学生4人.在下列各种情况下，有多少种不同的站法？请分别列式计算出结果

(1)前排站3人，后排站4人

(2)老师的左右两边都是女学生

(3)男学生互不相邻

(4)老师不站中间，且女学生不站两端

【解析】（1）解：因为前排站3人，后排站4人，只需全排，将后4人站到后排即可，

即共种；

（2）因为老师1人，男学生4人，所以女学生2人，

将两名女生与一名老师捆绑共种，

再将捆绑后的三位和剩余4人一起排列共有：种，

所以共种；

（3）先将两名女生和一名老师全排，共种，

共有4个空，将4名男生插空有种，

所以共种；

（4）当老师站两端时，先排老师，有2种情况，再在中间5个位置选两个给女生进行排列，再将剩余的4位男生全排列，共种，

当老师不站两端时，且不站中间，则有4种情况，

再选2个男生站两端进行排列，剩下的人全排，

共有种，

所以共有种.

18．（2023·全国·高二专题练习）近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.

(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；

(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率

【解析】（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，

甲购买一盒猕猴桃的概率.

（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：

故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率.

19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)求函数的图象在点的切线方程；

(2)设函数，当时，恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】（1），，，

根据导数的几何意义即可求出，所求切线方程为；

（2）若对任意的，恒成立，

则恒成立，

设，

只需即可，

由，

（ⅰ）当时，，

当时，，函数在上单调递减，

故，满足条件，

（ⅱ）当时，令，解得：，

①    若时，即，在区间上，，

则函数在上单调递增，

，当且仅当时，等号成立，此时不满足条件，

②    若时，即，

函数在上单调递减，在区间上单调递增，

，此时不满足条件，

（ⅲ）当时，由，

所以，

所以，函数在上单调递减，

故，满足条件，

综上可知，实数的取值范围是

20．（2023·陕西西安·统考二模）某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”，为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行了测试，并随机抽取50名学生的成绩进行统计，将其分成以下6组：，整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值；

(2)若将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示这3人中成绩在中的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.

【解析】（1）由题意得：，解得.

（2）成绩在与的学生比例为，

从全校成绩在80分及以上的学生中抽取1人，此人成绩在的概率为，

抽取3人，成绩在中的人数为，

，

则，

的分布列如下：

.

21．（2023·贵州·统考模拟预测）已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若，，求证：.

【解析】（1）解：当时，

所以，

当时，单调递减，当时，单调递增，

所以时取得极小值，且极小值，没有极大值.

（2）要证：，时，，即证，

设，则，

设，则时，

所以，即，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以在上是增函数，

所以，即，即.

22．（2023·江西九江·统考二模）已知函数，．

(1)当时，证明：；

(2)当时，判断零点的个数并说明理由．

【解析】（1）当时，，

设 ，，，

则，

令，解得，

所以当时，，即在上单调递减，

当时，，即在上单调递增，

所以，

因为，

所以，

又因为，，即，

所以，即，

所以．

（2）当时，，

令，得，即，

设，，

则，令，解得，

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增，

所以，

在同一直角坐标系中，画出和的简图，如图所示，

当，单调递减，单调递增，且，，

则与在有一个交点；

当，单调递增，单调递增，且，

则与在没有交点；

当，单调递增，单调递减，且，，

则与在有一个交点；

因为，且在上单调递增， ，

所以当时，，即与在无交点；

因为，且在上单调递减， ，

所以当时，，即与在无交点；

综上所述，与共有2个交点，

即有2个零点．