第4章 数列（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020选择性必修第一册）

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第4章 数列（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、填空题(共54分)

1．(本题4分)设是等差数列， 且，若，则______.

2．(本题4分)已知等比数列的前n项和为，公比．若，则__________．

3．(本题4分)设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________．

4．(本题4分)用数学归纳法证明等式的过程中，由递推到时，左边增加的项数为______．

5．(本题4分)已知等比数列的前3项和为，则___________.

6．(本题4分)已知等差数列中，，，则该数列前6项的和为______.

7．(本题5分)等差数列中，，前项和为，若，则______.

8．(本题5分)已知等比数列的前n项和为，若，则k的值为______．

9．(本题5分)已知3个等差数列{}，{}，{}，其中数列{}的前n项和记为，已知，写出一组符合条件的{}与{}的通项公式___________．

10．(本题5分)数列满足，若，数列的前n项和为，则使不等式成立的n的最小值为_______________．

11．(本题5分)某社团专门研究密码问题.社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，但密码的编写方式不变，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后的前位数字.编码方式如下：

①为某社员的首拼声母对应的英文字母在个英文字母中的位置；

②若为偶数，则在正偶数数列中依次插人数值为的项得到新数列，即、、、、、、、、、、；若为奇数.则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即、、、、、、、、、、；

③为数列的前项和.

如当值社员姓康，则在个英文字母中排第位，所以.

前项中有、、所以有个奇数.故，所以密码为，若今天当值社员姓唐（在个英语字母中排第位），则当日密码为_________.

12．(本题5分)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，人们把函数，称为高斯函数（其中表示不超过x的最大整数，例如：，）．已知数列的首项，前n项和记为．若k为函数，值域内的任意元素，且当整数时，都有成立，则的通项公式为______．

二、单选题(共20分)

13．(本题5分)记为等差数列的前项和.若，则的公差为（    ）

A．3 B． C． D．6

14．(本题5分)设等差数列的前项和为，若，则（　　）

A．28 B．148 C．168 D．248

15．(本题5分)已知正项数列满足，且，为前100项和，下列说法正确的是（    ）

A．                     B．

C．                      D．

16．(本题5分)已知，，，，为各项都大于零的等比数列，公比，则（    ）

A．

B．

C．

D．与的大小关系不能由已知条件确定

三、解答题(共76分)

17．(本题14分)已知数列{an}中，a1＝1，an+1

（1）求证：数列{}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）设数列{an}满足：bn，求{an}的前n项和Tn．

18．(本题14分)类似巴比伦算法，对于给定的正实数，为了计算的近似值，构造如下数列：选定首项，由递推式得到数列，利用数列可以计算的近似值.

(1)设，计算的值（精确到；

(2)当时，证明：（可以不加证明地使用下面结论：）

(3)当时，用数列计算的近似值时，于第步停止，即使用作为的近似值.若要求，请你估计正整数的值.

19．(本题14分)已知是由正整数组成的无穷数列．设，其中，，这里表示这n个数中最大的数， 表示中最小的数．

(1)若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；

(2)设是正整数．证明：（）的充分必要条件为是公比为的等比数列；

(3)证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．

20．(本题16分)已知数列的前项和为，数列是首项为3，公比为3的等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围；

(3)若，是否存在正整数，使得依次成等差数列？若存在，求出所有的有序数组；若不存在，说明理由.

21．(本题18分)对给定实数p，若数列满足以下三个条件：①，；②对任意正整数n，；③对任意正整数m､n，.则称数列为“数列”.

(1)对前4项为2､､0､2的数列，可以是数列吗？说明理由；

(2)若是数列，求的值；

(3)是否存在常数p，使得存在数列，对任意正整数n，均满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.